Relación definida por un árbol

Los árboles binarios con valores en las hojas y en los nodos se definen por

Por ejemplo, el árbol

se pueden representar por

Un árbol binario define una relación binaria donde un elemento x está relacionado con y si x es el padre de y. Por ejemplo, la relación definida por el árbol anterior es [(10,8),(8,3),(8,5),(10,2),(2,2),(2,0)].

Definir la función

tal que (relacionDelArbol a) es la relación binaria definida por el árbol a. Por ejemplo,

Soluciones

Sucesión de Lichtenberg

La sucesión de Lichtenberg esta formada por la representación decimal de los números binarios de la sucesión de dígitos 0 y 1 alternados Los primeros términos de ambas sucesiones son

Definir las funciones

tales que

  • lichtenberg es la lista cuyos elementos son los términos de la sucesión de Lichtenberg. Por ejemplo,

  • (graficaLichtenberg n) dibuja la gráfica del número de dígitos de los n primeros términos de la sucesión de Lichtenberg. Por ejemlo, (graficaLichtenberg 100) dibuja
    Sucesion_de_Lichtenberg

Comprobar con QuickCheck que todos los términos de la sucesión de Lichtenberg, a partir del 4º, son números compuestos.

Soluciones

Sucesión de dígitos 0 y 1 alternados

Los primeros términos de la sucesión de los dígitos 0 y 1 alternados son

Definir la lista

tal que sus elementos son los términos de la sucesión de los dígitos 0 y 1 alternados. Por ejemplo,

Soluciones

Números como diferencias de potencias

El número 45 se puede escribir de tres formas como diferencia de los cuadrados de dos números naturales:

Definir la función

tal que (diferencias x n) es la lista de pares tales que la diferencia de sus potencias n-ésima es x. Por ejemplo,

Soluciones

Sumas parciales de Nicómaco

Nicómaco de Gerasa vivió en Palestina entre los siglos I y II de nuestra era. Escribió Arithmetike eisagoge (Introducción a la aritmética) que es el primer trabajo en donde se trata la Aritmética de forma separada a la Geometría. En el tratado se encuentra la siguiente proposición: «si se escriben los números impares

entonces el primero es el cubo de 1; la suma de los dos siguientes, el cubo de 2; la suma de los tres siguientes, el cubo de 3; y así sucesivamente.»

Definir las siguientes funciones

tales que

  • (listasParciales xs) es la lista obtenido agrupando los elementos de la lista infinita xs de forma que la primera tiene 0 elementos; la segunda, el primer elemento de xs; la tercera, los dos siguientes; y así sucesivamente. Por ejemplo,

  • (sumasParciales xs) es la lista de las sumas parciales de la lista infinita xs. Por ejemplo,

Comprobar con QuickChek la propiedad de Nicómaco; es decir, que para todo número natural n, el término n-ésimo de (sumasParciales [1,3..]) es el cubo de n.

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