Números para los que mcm(1,2,…n-1) = mcm(1,2,…,n)

Un número n es especial si mcm(1,2,…,n-1) = mcm(1,2,…,n). Por ejemplo, el 6 es especial ya que

Definir la sucesión

cuyos términos son los números especiales. Por ejemplo,

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Cálculo de la suma 1*1! + 2*2! + 3*3! + … + n*n!

Definir la función

tal que (suma n) es la suma 1·1! + 2·2! + 3·3! + ... + n·n!. Por ejemplo,

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Cálculo aproximado de integrales definidas

La integral definida de una función f entre los límites a y b puede calcularse mediante la regla del rectángulo usando la fórmula

con a+n*h+h/2 <= b < a+(n+1)*h+h/2 y usando valores pequeños para h.

Definir la función

tal que (integral a b f h) es el valor de dicha expresión. Por ejemplo, el cálculo de la integral de f(x) = x^3 entre 0 y 1, con paso 0.01, es

Otros ejemplos son

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Menor número con una cantidad dada de divisores

El menor número con 2 divisores es el 2, ya que tiene 2 divisores (el 1 y el 2) y el anterior al 2 (el 1) sólo tiene 1 divisor (el 1).

El menor número con 4 divisores es el 6, ya que tiene 4 divisores (el 1, 2, 3 y 6) y sus anteriores (el 1, 2, 3, 4 y 5) tienen menos de 4 divisores (tienen 1, 1, 1, 3 y 1, respectivamente).

El menor número con 8 divisores es el 24, ya que tiene 8 divisores (el 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24) y sus anteriores (del 1 al 23) tienen menos de 8 divisores.

El menor número con 16 divisores es el 120, ya que tiene 16 divisores (el 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 y 120) y sus anteriores (del 1 al 119) tienen menos de 16 divisores.

Definir la función

tal que (menor n) es el menor número con 2^n divisores. Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck que, para todo k >=0, (menor (2^k)) es un divisor de (menor (2^(k+1))).

Nota: Este ejercicio está basado en el problema N1 de la Olimpíada Internacional de Matemáticas (IMO) del 2011.

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Distancia esperada entre dos puntos de un cuadrado unitario

Definir, por simulación, la función

tal que (distanciaEsperada n) es la distancia esperada entre n puntos del cuadrado unitario de vértices opuestos (0,0) y (1,1), elegidos aleatoriamente. Por ejemplo,

El valor exacto de la distancia esperada es

Definir la función

tal que (graficaDistanciaEsperada ns) dibuja las gráficas de los pares (n, distanciaEsperada n) para n en la lista creciente ns junto con la recta y = ve, donde ve es el valor exacto. Por ejemplo, (graficaDistanciaEsperada [10,30..4000]) dibuja

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