La serie 1 – 2 + 3 – 4 + ···

En este ejercicio se considerará la serie

Definir las funciones

tales que

  • serie es lalista de los términos de la serie anterior; es decir,

  • (sumaSerie n) es la suma de los n primeros términos de la serie. Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck que

  • la suma de la serie se puede hacer tan grande como se desee; es decir, que para todo número a existe un n tal que la suma de los n primeros términos de la serie es mayor que a;
  • la suma de la serie se puede hacer tan pequeña como se desee; es decir, que para todo número a existe un n tal que la suma de los n primeros términos de la serie es menor que a.

Soluciones

Clausura respecto del valor absoluto de las diferencias

Dado un conjunto de números enteros positivos S su clausura del valor absoluto de la diferencia de pares es el menor conjunto T tal que T contiene a S y para cualquier par de elementos x e y de T (con x distinto de y) el valor absoluto de (x-y) también es un elemento de T. Por ejemplo, si S = {12, 30}, entonces

  • 12 ∈ T, porque 12 ∈ S
  • 30 ∈ T, porque 20 ∈ S
  • 18 = |12 – 30| ∈ T
  • 6 = |18 – 12| ∈ T
  • 24 = |30 – 6| ∈ T

Por tanto, T = {12, 30, 18, 6, 24}.

Definir las funciones

tales que

  • (clausura xs) es la clausura del conjunto de enteros positivos xs respecto del valor absoluto de la diferencia de pares. Por ejemplo,

  • (longitudClausura xs) es el número de elementos de la clausura del conjunto de enteros positivos xs respecto del valor absoluto de la diferencia de pares. Por ejemplo,

Soluciones

Números en potencias de dos

Las potencias de dos son

Se observa que la primera potencia de dos que contiene al 638 es la 14 ya que 2^14 = 16384.

Definir la función

tal que (potenciasContenedoras x) es la lista de las potencias de 2 que contienen a x. Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck si todos los números naturales están contenenidos en alguna potencia de 2.

Soluciones

Buenos primos

La sucesión de los números primos es

Las parejas de primos equidistantes de 5 en dicha sucesión son (3, 7) y (2, 11). Se observa que el cuadrado de 5 es mayor que el producto de los elementos de dichas parejas; es decir,

En cambio, el 7 tiene una pareja de primos equidistantes (la (5, 11)) cuyo producto es mayor que el cuadrado de 7.

Un buen primo es un número primo cuyo cuadrado es mayor que el producto de dos primos cualesquiera equidistantes de él en la sucesión de primos. Por ejemplo, 5 es un buen primo pero 7 no lo es.

Definir las funciones

tales que

  • (esBuenPrimo n) se verifica si n es un buen primo. Por ejemplo,

  • buenosPrimos es la lista de los buenos primos. Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck que la lista de los buenos primos es infinita; es decir, para cualquier entero positivo n existe un número mayor que n que es un buen primo.

Soluciones

Números equidigitales

Un número equidigital es un número natural que tiene el mismo número de dígitos que el número de dígitos en su factorización prima, incluidos los exponentes mayores que 1. Por ejemplo,

  • 10 es equidigital ya que tiene 2 dígitos al igual que su factorización prima (2 x 5).
  • 25 es equidigital ya que tiene 2 dígitos al igual que su factorización prima (5^2).
  • 121 es equidigital ya que tiene 3 dígitos al igual que su factorización prima (11^2).
  • 175 es equidigital ya que tiene 3 dígitos al igual que su factorización prima (5^2 x 7).
  • 1125 es equidigital ya que tiene 4 dígitos al igual que su factorización prima (3^2 x 5^3).
  • 2021 es equidigital ya que tiene 4 dígitos al igual que su factorización prima (43 x 47).
  • 3072 es equidigital ya que tiene 4 dígitos al igual que su factorización prima (3 x 2^10).

Definir las funciones

tal que

  • (esEquidigital x) se verifica si x es un número equidigital. Por ejemplo.

  • equidigitales es la lista de los números equidigitales. Por ejemplo,

Comprobar con QuickChek que el conjunto de los números equidigitales es infinito; es decir, para cada entero n existe un equidigital mayor que n.

Soluciones