Relación 2

Relación 2: Semántica proposicional

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Ejercicio 1. Clasificar las fórmulas siguientes en tautologías, contingentes y contradicciones. ¿Cuáles son satisfacibles? ¿Cuáles son insatisfacibles?

1. p → (q → r ∧ q)
2. q → (p ∧ ¬p) → r
3. (p ↔ q) ∧ (p → ¬q) ∧ p
4. (p ∧ r) ∨ (¬ p ∧ q) → ¬ q

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Solución:

• Contingente y satisfacible: 1,2 Y 4
• Contradicción e insatisfacible: 3

"Solución ampliada:" a) Por el método de Quine, sabemos que no es tautología porque para la valoración I(p)=1, I(q)=1, I(r)=0 obtenemos que la fórmula es insatisfacible. Es CONTINGENTE ya que para la valoración I(p)=0, I(q)=1, I(r)=0 la fórmula es satisfacible.

b) La subfófmula (p ∧ ¬p) siempre será falsa, por lo tanto la fórmula solo será cierta cuando I(q)=0, independientemente de lo que valga r. CONTINGENTE.

c) p | q | fórmula

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   0 | 0 |    0
   0 | 1 |    0
   1 | 0 |    0
   1 | 1 |    0

   CONTRADICCIÓN , su tabla de verdad siempre vale 0.

d) Al realizar su tabla de verdad, obtenemos que es cierta para algunos casos y falsas para otros, por lo tanto la fórmula es CONTINGENTE.

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Ejercicio 2. Un rey somete a un prisionero a la siguiente prueba: lo enfrenta a dos puertas, de las que el prisionero debe elegir una, y entrar en la habitación correspondiente. Se informa al prisionero que en cada una de las habitaciones puede haber un tigre o una dama. Como es natural, el prisionero debe elegir la puerta que le lleva a la dama (entre otras cosas, para no ser devorado por el tigre). Para ayudarle, en cada puerta hay un letrero:

• puerta 1: en esta habitación hay una dama y en la otra un tigre.
• puerta 2: en una de estas habitaciones hay una dama y en una de estas habitaciones hay un tigre.

Sabiendo que uno de los carteles dice la verdad y el otro no, determinar la puerta que debe de elegir el prisionero.

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Solución: La pista correcta es la de la pista uno, por lo tanto, será la primera puerta la que salve al prisionero.

Comentario: Hay que razonar la respuesta.

Solución: Uno de los dos carteles dice la verdad, lógicamente es el segundo, puesto que lo dice el enunciado. Por lo tanto, la primera puerta no dice la verdad, y el prisionero debería entrar en la puerta 2 si quiere seguir con vida.

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Ejercicio 3. ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?

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Solución: S = { p ^ ¬p , q ^ ¬q, r}.

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Ejercicio 4. ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo.

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Solución 1: p → q ^ ¬q: no es satisfascible F: contraejemplo no válido

Solución 2: Sí, ya que el único modelo de F, al ser atómica, es 1, y para que F → G sea satisfascible, G no puede dar 0. Por tanto, G tiene que ser satisfascible.

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Ejercicio 5. Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:

1. Si F es una fórmula satisfacible, entonces todas las subfórmulas de F son satisfacibles.
2. Existen fórmulas válidas tales que todas sus subfórmulas son válidas.

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Solución:

1. Sea F = p ^ ¬p → q. F es tautología, pero la subfórmula p ^ ¬p es insatisfacible.
2. p v p