Relación 2

Relación 2: Semántica proposicional

Nota. En todos los ejercicios hay que razonar la respuesta.

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Ejercicio 1. Clasificar las fórmulas siguientes en tautologías, contingentes y contradicciones. ¿Cuáles son satisfacibles? ¿Cuáles son insatisfacibles?

1. p → (q → r ∧ q)
2. q → ((p ∧ ¬p) → r)
3. (p ↔ q) ∧ (p → ¬q) ∧ p
4. (p ∧ r) ∨ (¬ p ∧ q) → ¬ q

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Solución:

• Contingente y satisfacible: 1,2 Y 4
• Contradicción e insatisfacible: 3

2ª Solución del 1º apartado:

Por el método de Quine, sabemos que no es tautología porque para la valoración I(p)=1, I(q)=1, I(r)=0 obtenemos que la fórmula es insatisfacible. Es contingente ya que para la valoración I(p)=0, I(q)=1, I(r)=0 la fórmula es satisfacible.

2ª Solución del 2º apartado:

La subfófmula (p ∧ ¬p) siempre será falsa, por lo tanto la fórmula solo será cierta cuando I(q)=0, independientemente de lo que valga r. Contingente.

2ª Solución del 3º apartado:

p | q | fórmula 
0 | 0 |    0
0 | 1 |    0
1 | 0 |    0
1 | 1 |    0

Contradicción, su tabla de verdad siempre vale 0.

Comentario: Las tablas también se pueden escribir como sigue

p	q	fórmula
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	0

2ª Solución del 4º apartado:

Al realizar su tabla de verdad, obtenemos que es cierta para algunos casos y falsas para otros, por lo tanto la fórmula es contingente.

Otra solución

   1. Contingente y satisfactible
   2. Contingente y satisfactible
   3. Contradicción, por tanto insatisfactible
   4. Contingente y satisfactible
  

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Ejercicio 2. Un rey somete a un prisionero a la siguiente prueba: lo enfrenta a dos puertas, de las que el prisionero debe elegir una, y entrar en la habitación correspondiente. Se informa al prisionero que en cada una de las habitaciones puede haber un tigre o una dama. Como es natural, el prisionero debe elegir la puerta que le lleva a la dama (entre otras cosas, para no ser devorado por el tigre). Para ayudarle, en cada puerta hay un letrero:

• puerta 1: en esta habitación hay una dama y en la otra un tigre.
• puerta 2: en una de estas habitaciones hay una dama y en una de estas habitaciones hay un tigre.

Sabiendo que uno de los carteles dice la verdad y el otro no, determinar la puerta que debe de elegir el prisionero.

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Solución 1: La pista correcta es la de la pista uno, por lo tanto, será la primera puerta la que salve al prisionero.

Solución 2: Uno de los dos carteles dice la verdad, lógicamente es el segundo, puesto que lo dice el enunciado. Por lo tanto, la primera puerta no dice la verdad, y el prisionero debería entrar en la puerta 2 si quiere seguir con vida.

Solución 3 Si hacemos el ejemplo con fórmulas tendríamos:

p= en esta habitación hay una dama
q= en la otra hay un tigre
r= en una de estas habitaciones hay una dama
s= en una de estas habitaciones hay un tigre

De manera que el cartel de puerta 1= p & q, esta fórmula si admite hipótesis del tipo ~p & q, p & ~q, ~p & ~q de las cuales la única cierta es la primera La fórmula el cartel de la puerta 2= r & s no admite mas hipótesis puesto que ~r y ~s son contradicciones y siempre es verdad por tanto Pienso que por eliminación el cartel de la puerta 1 miente y debe elegir la puerta 2

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Ejercicio 3. ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?

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Solución: S = { p ^ ¬p , q ^ ¬q, r}.

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Ejercicio 4. ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo.

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Solución 1: p → q ^ ¬q: no es satisfascible F: contraejemplo no válido

Solución 2: Sí, ya que el único modelo de F, al ser atómica, es 1, y para que F → G sea satisfascible, G no puede dar 0. Por tanto, G tiene que ser satisfascible.

Solución 3:

Para que F -> G sea satisfactible, partiendo de que F es satisfactible ( es decir puede ser "1" en la fórmula anterior ) G debe ser "1" para que la implicación sea "1". Por tanto G es satisfactible.

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Ejercicio 5. Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:

1. Si F es una fórmula satisfacible, entonces todas las subfórmulas de F son satisfacibles.
2. Existen fórmulas válidas tales que todas sus subfórmulas son válidas.

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Solución del 1º apartado Sea F = p ^ ¬p → q. F es tautología, pero la subfórmula p ^ ¬p es insatisfacible.

Solución del 2º apartado p v p