Diferencia entre revisiones de «Relación 2»
De Lógica informática (2014-15)
(→Relación 2: Semántica proposicional) |
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=== Relación 2: Semántica proposicional === | === Relación 2: Semántica proposicional === | ||
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| + | '''Nota,''' En todos los ejercicios hay que '''razonar''' la respuesta. | ||
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# p → (q → r ∧ q) | # p → (q → r ∧ q) | ||
| − | # q → (p ∧ ¬p) → r | + | # q → ((p ∧ ¬p) → r) |
# (p ↔ q) ∧ (p → ¬q) ∧ p | # (p ↔ q) ∧ (p → ¬q) ∧ p | ||
# (p ∧ r) ∨ (¬ p ∧ q) → ¬ q | # (p ∧ r) ∨ (¬ p ∧ q) → ¬ q | ||
| Línea 15: | Línea 17: | ||
* Contradicción e insatisfacible: 3 | * Contradicción e insatisfacible: 3 | ||
| − | '''Solución | + | '''2ª Solución del 1º apartado:''' |
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| + | Por el método de Quine, sabemos que no es tautología porque para la valoración I(p)=1, I(q)=1, I(r)=0 obtenemos que la fórmula es insatisfacible. | ||
| + | Es contingente ya que para la valoración I(p)=0, I(q)=1, I(r)=0 la fórmula es satisfacible. | ||
| − | + | '''2ª Solución del 2º apartado:''' | |
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| − | + | La subfófmula (p ∧ ¬p) siempre será falsa, por lo tanto la fórmula solo será cierta cuando I(q)=0, independientemente de lo que valga r. Contingente. | |
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| + | '''2ª Solución del 3º apartado:''' | ||
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p | q | fórmula | p | q | fórmula | ||
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||
| Línea 29: | Línea 34: | ||
1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | ||
| − | + | Contradicción, su tabla de verdad siempre vale 0. | |
| − | + | '''2ª Solución del 4º apartado:''' | |
| + | |||
| + | Al realizar su tabla de verdad, obtenemos que es cierta para algunos casos y falsas para otros, por lo tanto la fórmula es contingente. | ||
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| − | '''Solución:''' La pista correcta es la de la pista uno, por lo tanto, será la primera puerta la que salve al prisionero. | + | '''Solución 1:''' La pista correcta es la de la pista uno, por lo tanto, será la primera puerta la que salve al prisionero. |
| − | + | '''Solución 2:''' Uno de los dos carteles dice la verdad, lógicamente es el segundo, puesto que lo dice el enunciado. Por lo tanto, la primera puerta | |
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| − | '''Solución:''' Uno de los dos carteles dice la verdad, lógicamente es el segundo, puesto que lo dice el enunciado. Por lo tanto, la primera puerta | ||
no dice la verdad, y el prisionero debería entrar en la puerta 2 si quiere seguir con vida. | no dice la verdad, y el prisionero debería entrar en la puerta 2 si quiere seguir con vida. | ||
| Línea 71: | Línea 76: | ||
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| − | '''Solución | + | '''Solución del 1º apartado''' |
| − | + | Sea F = p ^ ¬p → q. F es tautología, pero la subfórmula p ^ ¬p es insatisfacible. | |
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| + | '''Solución del 2º apartado''' | ||
| + | p v p | ||
Revisión del 14:18 3 oct 2014
Relación 2: Semántica proposicional
Nota, En todos los ejercicios hay que razonar la respuesta.
Ejercicio 1. Clasificar las fórmulas siguientes en tautologías, contingentes y contradicciones. ¿Cuáles son satisfacibles? ¿Cuáles son insatisfacibles?
- p → (q → r ∧ q)
- q → ((p ∧ ¬p) → r)
- (p ↔ q) ∧ (p → ¬q) ∧ p
- (p ∧ r) ∨ (¬ p ∧ q) → ¬ q
Solución:
- Contingente y satisfacible: 1,2 Y 4
- Contradicción e insatisfacible: 3
2ª Solución del 1º apartado:
Por el método de Quine, sabemos que no es tautología porque para la valoración I(p)=1, I(q)=1, I(r)=0 obtenemos que la fórmula es insatisfacible. Es contingente ya que para la valoración I(p)=0, I(q)=1, I(r)=0 la fórmula es satisfacible.
2ª Solución del 2º apartado:
La subfófmula (p ∧ ¬p) siempre será falsa, por lo tanto la fórmula solo será cierta cuando I(q)=0, independientemente de lo que valga r. Contingente.
2ª Solución del 3º apartado:
p | q | fórmula 0 | 0 | 0 0 | 1 | 0 1 | 0 | 0 1 | 1 | 0
Contradicción, su tabla de verdad siempre vale 0.
2ª Solución del 4º apartado:
Al realizar su tabla de verdad, obtenemos que es cierta para algunos casos y falsas para otros, por lo tanto la fórmula es contingente.
Ejercicio 2. Un rey somete a un prisionero a la siguiente prueba: lo enfrenta a dos puertas, de las que el prisionero debe elegir una, y entrar en la habitación correspondiente. Se informa al prisionero que en cada una de las habitaciones puede haber un tigre o una dama. Como es natural, el prisionero debe elegir la puerta que le lleva a la dama (entre otras cosas, para no ser devorado por el tigre). Para ayudarle, en cada puerta hay un letrero:
- puerta 1: en esta habitación hay una dama y en la otra un tigre.
- puerta 2: en una de estas habitaciones hay una dama y en una de estas habitaciones hay un tigre.
Sabiendo que uno de los carteles dice la verdad y el otro no, determinar la puerta que debe de elegir el prisionero.
Solución 1: La pista correcta es la de la pista uno, por lo tanto, será la primera puerta la que salve al prisionero.
Solución 2: Uno de los dos carteles dice la verdad, lógicamente es el segundo, puesto que lo dice el enunciado. Por lo tanto, la primera puerta no dice la verdad, y el prisionero debería entrar en la puerta 2 si quiere seguir con vida.
Ejercicio 3. ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?
Solución: S = { p ^ ¬p , q ^ ¬q, r}.
Ejercicio 4. ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo.
Solución 1: p → q ^ ¬q: no es satisfascible F: contraejemplo no válido
Solución 2: Sí, ya que el único modelo de F, al ser atómica, es 1, y para que F → G sea satisfascible, G no puede dar 0. Por tanto, G tiene que ser satisfascible.
Ejercicio 5. Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:
- Si F es una fórmula satisfacible, entonces todas las subfórmulas de F son satisfacibles.
- Existen fórmulas válidas tales que todas sus subfórmulas son válidas.
Solución del 1º apartado Sea F = p ^ ¬p → q. F es tautología, pero la subfórmula p ^ ¬p es insatisfacible.
Solución del 2º apartado p v p