Lógica informática (2014-15) - Contribuciones del usuario [es]

Relación 1

2014-09-30T18:16:02Z

Lizesqsaa:

=== Relación 1: Representación del conocimiento proposicional ===

----
'''Ejercicio 1.''' Formalizar el siguiente argumento
<blockquote>
''Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número x no acaba en 0. Por lo tanto, x no es divisible por 10.''
</blockquote>
Usando los símbolos D: el número es divisible por 10 y C: el número acaba en cero.
----

'''Solución 1:''' ¬C ⊧ ¬D

'''Solución 2:''' D → C, ¬C ⊧ ¬D

'''Solución 3:''' D → C, ¬C ⊧ ¬D

----
'''Ejercicio 2.''' Formalizar el siguiente argumento
<blockquote>
''Si la válvula está abierta o la monitorización está preparada, entonces se envía una señal de reconocimiento y un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador. Si se envía un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador o el sistema está en estado normal, entonces se aceptan las órdenes del operador. Por lo tanto, si la válvula está abierta, entonces se aceptan las órdenes del operador.''
</blockquote>
Usando los símbolos V: La válvula está abierta, P: La monitorización está preparada, R: Envía una señal de reconocimiento, F: Envía un mensaje de funcionamiento, A: Se aceptan órdenes del operador y N: El sistema está en estado normal.
----

'''Solución 1:''' V ∨ P → R ∧ F, F ∨ N → A ⊧ V → A

'''Solución 2:''' V ∨ P → R ∧ F, (F ∨ N → A) ⊧ V → A

----
'''Ejercicio 3.''' Formalizar el siguiente argumento
<blockquote>
''Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. Por lo tanto, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece constante.''
</blockquote>
Usando los símbolos T: La temperatura permanece constante, P: La presión atmosférica permanece constante y L: Llueve
----

'''Solución 1: ''' T ∧ P → ¬L ⊧ L → ¬P

'''Solución 2: ''' T ∧ P → ¬L, T ⊧ L → ¬P

'''Solución 3: ''' T ∧ P → ¬L, T ⊧ L ↔ ¬P

----
'''Ejercicio 4.''' Formalizar el siguiente argumento
<blockquote>
''En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el paciente ha mejorado considerablemente en el caso, y sólo en el caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco B, el paciente ha mejorado considerablemente.''
</blockquote>
Usando los símbolos A: Hemos empleado el fármaco A, B: Hemos empleado el fármaco B y M: El paciente ha mejorado notablemente.
----

'''Solución 1:''' A → M ∧ ¬B, A ∨ B ⊧ ¬B → M

'''Solución 2:''' A ∧ ¬B → M, A ∨ B ⊧ ¬B → M

'''Solución 3:''' A → M ∧ ¬B, A ∨ B ⊧ ¬B → M

----
'''Ejercicio 5.''' Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones

* nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,
: nv(p → p ∨ q) = 3.
* prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,
: prof(p → p ∨ q) = 2.

Demostrar por inducción, que para toda fórmula F,
: nv(F) ≤ 2^prof(F)
----

'''Solución 1:'''
:.Si F es atómica nv(F)=1 y prof(F)= 0 nv(F) ≤ 2^prof(F), 1≤1 si se cumple
:.Suponiendo F tiene 2 variables
:nv(F)=2 prof(F)=1
:nv(F) ≤ 2^prof(F), 2≤2 si se cumple
:.Si F tiene N+1 variables
:nv(F)=N+1 prof(F)=N
:nv(F) ≤ 2^prof(F)
:N+1 ≤ 2^N
:1≤ 2^N-N se cumple para todo N≥0

Relación 1

2014-09-30T18:15:10Z

Lizesqsaa:

=== Relación 1: Representación del conocimiento proposicional ===

----
'''Ejercicio 1.''' Formalizar el siguiente argumento
<blockquote>
''Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número x no acaba en 0. Por lo tanto, x no es divisible por 10.''
</blockquote>
Usando los símbolos D: el número es divisible por 10 y C: el número acaba en cero.
----

'''Solución 1:''' ¬C ⊧ ¬D

'''Solución 2:''' D → C, ¬C ⊧ ¬D

'''Solución 3:''' D → C, ¬C ⊧ ¬D

----
'''Ejercicio 2.''' Formalizar el siguiente argumento
<blockquote>
''Si la válvula está abierta o la monitorización está preparada, entonces se envía una señal de reconocimiento y un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador. Si se envía un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador o el sistema está en estado normal, entonces se aceptan las órdenes del operador. Por lo tanto, si la válvula está abierta, entonces se aceptan las órdenes del operador.''
</blockquote>
Usando los símbolos V: La válvula está abierta, P: La monitorización está preparada, R: Envía una señal de reconocimiento, F: Envía un mensaje de funcionamiento, A: Se aceptan órdenes del operador y N: El sistema está en estado normal.
----

'''Solución 1:''' V ∨ P → R ∧ F, F ∨ N → A ⊧ V → A

'''Solución 2:''' V ∨ P → R ∧ F, (F ∨ N → A) ⊧ V → A

----
'''Ejercicio 3.''' Formalizar el siguiente argumento
<blockquote>
''Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. Por lo tanto, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece constante.''
</blockquote>
Usando los símbolos T: La temperatura permanece constante, P: La presión atmosférica permanece constante y L: Llueve
----

'''Solución 1: ''' T ∧ P → ¬L ⊧ L → ¬P

'''Solución 2: ''' T ∧ P → ¬L, T ⊧ L → ¬P

'''Solución 3: ''' T ∧ P → ¬L, T ⊧ L ↔ ¬P

----
'''Ejercicio 4.''' Formalizar el siguiente argumento
<blockquote>
''En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el paciente ha mejorado considerablemente en el caso, y sólo en el caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco B, el paciente ha mejorado considerablemente.''
</blockquote>
Usando los símbolos A: Hemos empleado el fármaco A, B: Hemos empleado el fármaco B y M: El paciente ha mejorado notablemente.
----

'''Solución 1:''' A → M ∧ ¬B, A ∨ B ⊧ ¬B → M

'''Solución 2:''' A ∧ ¬B → M, A ∨ B ⊧ ¬B → M

'''Solución 3:''' A → M ∧ ¬B, A ∨ B ⊧ ¬B → M

----
'''Ejercicio 5.''' Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones

* nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,
: nv(p → p ∨ q) = 3.
* prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,
: prof(p → p ∨ q) = 2.

Demostrar por inducción, que para toda fórmula F,
: nv(F) ≤ 2^prof(F)
----

'''Solución 1:''' .Si F es atómica nv(F)=1 y prof(F)= 0 nv(F) ≤ 2^prof(F), 1≤1 si se cumple
:.Suponiendo F tiene 2 variables
:nv(F)=2 prof(F)=1
:nv(F) ≤ 2^prof(F), 2≤2 si se cumple
:.Si F tiene N+1 variables
:nv(F)=N+1 prof(F)=N
:nv(F) ≤ 2^prof(F)
:N+1 ≤ 2^N
:1≤ 2^N-N se cumple para todo N≥0

Relación 1

2014-09-30T18:13:53Z

Lizesqsaa:

=== Relación 1: Representación del conocimiento proposicional ===

----
'''Ejercicio 1.''' Formalizar el siguiente argumento
<blockquote>
''Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número x no acaba en 0. Por lo tanto, x no es divisible por 10.''
</blockquote>
Usando los símbolos D: el número es divisible por 10 y C: el número acaba en cero.
----

'''Solución 1:''' ¬C ⊧ ¬D

'''Solución 2:''' D → C, ¬C ⊧ ¬D

'''Solución 3:''' D → C, ¬C ⊧ ¬D

----
'''Ejercicio 2.''' Formalizar el siguiente argumento
<blockquote>
''Si la válvula está abierta o la monitorización está preparada, entonces se envía una señal de reconocimiento y un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador. Si se envía un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador o el sistema está en estado normal, entonces se aceptan las órdenes del operador. Por lo tanto, si la válvula está abierta, entonces se aceptan las órdenes del operador.''
</blockquote>
Usando los símbolos V: La válvula está abierta, P: La monitorización está preparada, R: Envía una señal de reconocimiento, F: Envía un mensaje de funcionamiento, A: Se aceptan órdenes del operador y N: El sistema está en estado normal.
----

'''Solución 1:''' V ∨ P → R ∧ F, F ∨ N → A ⊧ V → A

'''Solución 2:''' V ∨ P → R ∧ F, (F ∨ N → A) ⊧ V → A

----
'''Ejercicio 3.''' Formalizar el siguiente argumento
<blockquote>
''Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. Por lo tanto, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece constante.''
</blockquote>
Usando los símbolos T: La temperatura permanece constante, P: La presión atmosférica permanece constante y L: Llueve
----

'''Solución 1: ''' T ∧ P → ¬L ⊧ L → ¬P

'''Solución 2: ''' T ∧ P → ¬L, T ⊧ L → ¬P

'''Solución 3: ''' T ∧ P → ¬L, T ⊧ L ↔ ¬P

----
'''Ejercicio 4.''' Formalizar el siguiente argumento
<blockquote>
''En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el paciente ha mejorado considerablemente en el caso, y sólo en el caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco B, el paciente ha mejorado considerablemente.''
</blockquote>
Usando los símbolos A: Hemos empleado el fármaco A, B: Hemos empleado el fármaco B y M: El paciente ha mejorado notablemente.
----

'''Solución 1:''' A → M ∧ ¬B, A ∨ B ⊧ ¬B → M

'''Solución 2:''' A ∧ ¬B → M, A ∨ B ⊧ ¬B → M

'''Solución 3:''' A → M ∧ ¬B, A ∨ B ⊧ ¬B → M

----
'''Ejercicio 5.''' Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones

* nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,
: nv(p → p ∨ q) = 3.
* prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,
: prof(p → p ∨ q) = 2.

Demostrar por inducción, que para toda fórmula F,
: nv(F) ≤ 2^prof(F)
----

'''Solución 1:''' .Si F es atómica nv(F)=1 y prof(F)= 0 nv(F) ≤ 2^prof(F), 1≤1 si se cumple
.Suponiendo F tiene 2 variables
nv(F)=2 prof(F)=1
nv(F) ≤ 2^prof(F), 2≤2 si se cumple
.Si F tiene N+1 variables
nv(F)=N+1 prof(F)=N
nv(F) ≤ 2^prof(F)
N+1 ≤ 2^N
1≤ 2^N-N se cumple para todo N≥0

Relación 1

2014-09-30T18:12:12Z

Lizesqsaa:

=== Relación 1: Representación del conocimiento proposicional ===

----
'''Ejercicio 1.''' Formalizar el siguiente argumento
<blockquote>
''Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número x no acaba en 0. Por lo tanto, x no es divisible por 10.''
</blockquote>
Usando los símbolos D: el número es divisible por 10 y C: el número acaba en cero.
----

'''Solución 1:''' ¬C ⊧ ¬D

'''Solución 2:''' D → C, ¬C ⊧ ¬D

'''Solución 3:''' D → C, ¬C ⊧ ¬D

----
'''Ejercicio 2.''' Formalizar el siguiente argumento
<blockquote>
''Si la válvula está abierta o la monitorización está preparada, entonces se envía una señal de reconocimiento y un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador. Si se envía un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador o el sistema está en estado normal, entonces se aceptan las órdenes del operador. Por lo tanto, si la válvula está abierta, entonces se aceptan las órdenes del operador.''
</blockquote>
Usando los símbolos V: La válvula está abierta, P: La monitorización está preparada, R: Envía una señal de reconocimiento, F: Envía un mensaje de funcionamiento, A: Se aceptan órdenes del operador y N: El sistema está en estado normal.
----

'''Solución 1:''' V ∨ P → R ∧ F, F ∨ N → A ⊧ V → A

'''Solución 2:''' V ∨ P → R ∧ F, (F ∨ N → A) ⊧ V → A

----
'''Ejercicio 3.''' Formalizar el siguiente argumento
<blockquote>
''Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. Por lo tanto, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece constante.''
</blockquote>
Usando los símbolos T: La temperatura permanece constante, P: La presión atmosférica permanece constante y L: Llueve
----

'''Solución 1: ''' T ∧ P → ¬L ⊧ L → ¬P

'''Solución 2: ''' T ∧ P → ¬L, T ⊧ L → ¬P

'''Solución 3: ''' T ∧ P → ¬L, T ⊧ L ↔ ¬P

----
'''Ejercicio 4.''' Formalizar el siguiente argumento
<blockquote>
''En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el paciente ha mejorado considerablemente en el caso, y sólo en el caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco B, el paciente ha mejorado considerablemente.''
</blockquote>
Usando los símbolos A: Hemos empleado el fármaco A, B: Hemos empleado el fármaco B y M: El paciente ha mejorado notablemente.
----

'''Solución 1:''' A → M ∧ ¬B, A ∨ B ⊧ ¬B → M

'''Solución 2:''' A ∧ ¬B → M, A ∨ B ⊧ ¬B → M

'''Solución 3:''' A → M ∧ ¬B, A ∨ B ⊧ ¬B → M

----
'''Ejercicio 5.''' Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones

* nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,
: nv(p → p ∨ q) = 3.
* prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,
: prof(p → p ∨ q) = 2.

Demostrar por inducción, que para toda fórmula F,
: nv(F) ≤ 2^prof(F)
----

'''Solución 1:''' .Si F es atómica
nv(F)=1 y prof(F)= 0
nv(F) ≤ 2^prof(F), 1≤1 si se cumple

.Suponiendo F tiene 2 variables
nv(F)=2 prof(F)=1
nv(F) ≤ 2^prof(F), 2≤2 si se cumple

.Si F tiene N+1 variables
nv(F)=N+1 prof(F)=N
nv(F) ≤ 2^prof(F)
N+1 ≤ 2^N
1≤ 2^N-N se cumple para todo N≥0

Relación 1

2014-09-30T18:11:39Z

Lizesqsaa:

=== Relación 1: Representación del conocimiento proposicional ===

----
'''Ejercicio 1.''' Formalizar el siguiente argumento
<blockquote>
''Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número x no acaba en 0. Por lo tanto, x no es divisible por 10.''
</blockquote>
Usando los símbolos D: el número es divisible por 10 y C: el número acaba en cero.
----

'''Solución 1:''' ¬C ⊧ ¬D

'''Solución 2:''' D → C, ¬C ⊧ ¬D

'''Solución 3:''' D → C, ¬C ⊧ ¬D

----
'''Ejercicio 2.''' Formalizar el siguiente argumento
<blockquote>
''Si la válvula está abierta o la monitorización está preparada, entonces se envía una señal de reconocimiento y un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador. Si se envía un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador o el sistema está en estado normal, entonces se aceptan las órdenes del operador. Por lo tanto, si la válvula está abierta, entonces se aceptan las órdenes del operador.''
</blockquote>
Usando los símbolos V: La válvula está abierta, P: La monitorización está preparada, R: Envía una señal de reconocimiento, F: Envía un mensaje de funcionamiento, A: Se aceptan órdenes del operador y N: El sistema está en estado normal.
----

'''Solución 1:''' V ∨ P → R ∧ F, F ∨ N → A ⊧ V → A

'''Solución 2:''' V ∨ P → R ∧ F, (F ∨ N → A) ⊧ V → A

----
'''Ejercicio 3.''' Formalizar el siguiente argumento
<blockquote>
''Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. Por lo tanto, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece constante.''
</blockquote>
Usando los símbolos T: La temperatura permanece constante, P: La presión atmosférica permanece constante y L: Llueve
----

'''Solución 1: ''' T ∧ P → ¬L ⊧ L → ¬P

'''Solución 2: ''' T ∧ P → ¬L, T ⊧ L → ¬P

'''Solución 3: ''' T ∧ P → ¬L, T ⊧ L ↔ ¬P

----
'''Ejercicio 4.''' Formalizar el siguiente argumento
<blockquote>
''En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el paciente ha mejorado considerablemente en el caso, y sólo en el caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco B, el paciente ha mejorado considerablemente.''
</blockquote>
Usando los símbolos A: Hemos empleado el fármaco A, B: Hemos empleado el fármaco B y M: El paciente ha mejorado notablemente.
----

'''Solución 1:''' A → M ∧ ¬B, A ∨ B ⊧ ¬B → M

'''Solución 2:''' A ∧ ¬B → M, A ∨ B ⊧ ¬B → M

'''Solución 3:''' A → M ∧ ¬B, A ∨ B ⊧ ¬B → M

----
'''Ejercicio 5.''' Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones

* nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,
: nv(p → p ∨ q) = 3.
* prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,
: prof(p → p ∨ q) = 2.

Demostrar por inducción, que para toda fórmula F,
: nv(F) ≤ 2^prof(F)
----

'''Solución 1:''' .Si F es atómica
nv(F)=1 y prof(F)= 0
nv(F) ≤ 2^prof(F), 1≤1 si se cumple

.Suponiendo F tiene 2 variables
nv(F)=2 prof(F)=1
nv(F) ≤ 2^prof(F), 2≤2 si se cumple

.Si F tiene N+1 variables
nv(F)=N+1 prof(F)=N
nv(F) ≤ 2^prof(F)
N+1 ≤ 2^N
1≤ 2^N-N se cumple para todo N≥0

Relación 2

2014-09-30T18:10:29Z

Lizesqsaa:

=== Relación 2: Semántica proposicional ===

----
'''Ejercicio 1.''' Clasificar las fórmulas siguientes en tautologías, contingentes y contradicciones. ¿Cuáles son satisfacibles? ¿Cuáles son insatisfacibles?

# p → (q → r ∧ q)
# q → (p ∧ ¬p) → r
# (p ↔ q) ∧ (p → ¬q) ∧ p
# (p ∧ r) ∨ (¬ p ∧ q) → ¬ q

----

'''Solución1:''' CONTINGENTE Y SATISFACIBLE: 1,2 Y 4 CONTRADICCION E INSATISFACIBLE: 3

----
'''Ejercicio 2.''' Un rey somete a un prisionero a la siguiente prueba: lo enfrenta a dos puertas, de las que el prisionero debe elegir una, y entrar en la habitación correspondiente. Se informa al prisionero que en cada una de las habitaciones puede haber un tigre o una dama. Como es natural, el prisionero debe elegir la puerta que le lleva a la dama (entre otras cosas, para no ser devorado por el tigre). Para ayudarle, en cada puerta hay un letrero:

* puerta 1: en esta habitación hay una dama y en la otra un tigre.
* puerta 2: en una de estas habitaciones hay una dama y en una de estas habitaciones hay un tigre.

Sabiendo que uno de los carteles dice la verdad y el otro no, determinar la puerta que debe de elegir el prisionero.
----

'''Solución:'''

----
'''Ejercicio 3.''' ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?
----

'''Solución:'''

----
'''Ejercicio 4.''' ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo.
----

'''Solución:'''

----
'''Ejercicio 5.''' Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:

# Si F es una fórmula satisfacible, entonces todas las subfórmulas de F son satisfacibles.
# Existen fórmulas válidas tales que todas sus subfórmulas son válidas.
----

'''Solución:'''

Relación 2

2014-09-30T18:10:05Z

Lizesqsaa:

=== Relación 2: Semántica proposicional ===

----
'''Ejercicio 1.''' Clasificar las fórmulas siguientes en tautologías, contingentes y contradicciones. ¿Cuáles son satisfacibles? ¿Cuáles son insatisfacibles?

# p → (q → r ∧ q)
# q → (p ∧ ¬p) → r
# (p ↔ q) ∧ (p → ¬q) ∧ p
# (p ∧ r) ∨ (¬ p ∧ q) → ¬ q

----

'''Solución1:''' CONTINGENTE Y SATISFACIBLE: 1,2 Y 4
CONTRADICCION E INSATISFACIBLE: 3

----
'''Ejercicio 2.''' Un rey somete a un prisionero a la siguiente prueba: lo enfrenta a dos puertas, de las que el prisionero debe elegir una, y entrar en la habitación correspondiente. Se informa al prisionero que en cada una de las habitaciones puede haber un tigre o una dama. Como es natural, el prisionero debe elegir la puerta que le lleva a la dama (entre otras cosas, para no ser devorado por el tigre). Para ayudarle, en cada puerta hay un letrero:

* puerta 1: en esta habitación hay una dama y en la otra un tigre.
* puerta 2: en una de estas habitaciones hay una dama y en una de estas habitaciones hay un tigre.

Sabiendo que uno de los carteles dice la verdad y el otro no, determinar la puerta que debe de elegir el prisionero.
----

'''Solución:'''

----
'''Ejercicio 3.''' ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?
----

'''Solución:'''

----
'''Ejercicio 4.''' ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo.
----

'''Solución:'''

----
'''Ejercicio 5.''' Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:

# Si F es una fórmula satisfacible, entonces todas las subfórmulas de F son satisfacibles.
# Existen fórmulas válidas tales que todas sus subfórmulas son válidas.
----

'''Solución:'''

Relación 1

2014-09-30T17:28:32Z

Lizesqsaa:

=== Relación 1: Representación del conocimiento proposicional ===

----
'''Ejercicio 1.''' Formalizar el siguiente argumento
<blockquote>
''Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número x no acaba en 0. Por lo tanto, x no es divisible por 10.''
</blockquote>
Usando los símbolos D: el número es divisible por 10 y C: el número acaba en cero.
----

'''Solución 1:''' ¬C ⊧ ¬D

'''Solución 2:''' D → C, ¬C ⊧ ¬D

'''Solución 3:''' D → C, ¬C ⊧ ¬D

----
'''Ejercicio 2.''' Formalizar el siguiente argumento
<blockquote>
''Si la válvula está abierta o la monitorización está preparada, entonces se envía una señal de reconocimiento y un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador. Si se envía un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador o el sistema está en estado normal, entonces se aceptan las órdenes del operador. Por lo tanto, si la válvula está abierta, entonces se aceptan las órdenes del operador.''
</blockquote>
Usando los símbolos V: La válvula está abierta, P: La monitorización está preparada, R: Envía una señal de reconocimiento, F: Envía un mensaje de funcionamiento, A: Se aceptan órdenes del operador y N: El sistema está en estado normal.
----

'''Solución 1:''' V ∨ P → R ∧ F, F ∨ N → A ⊧ V → A

'''Solución 2:''' V ∨ P → R ∧ F, (F ∨ N → A) ⊧ V → A

----
'''Ejercicio 3.''' Formalizar el siguiente argumento
<blockquote>
''Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. Por lo tanto, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece constante.''
</blockquote>
Usando los símbolos T: La temperatura permanece constante, P: La presión atmosférica permanece constante y L: Llueve
----

'''Solución 1: ''' T ∧ P → ¬L ⊧ L → ¬P

'''Solución 2: ''' T ∧ P → ¬L, T ⊧ L → ¬P

'''Solución 3: ''' T ∧ P → ¬L, T ⊧ L ↔ ¬P

----
'''Ejercicio 4.''' Formalizar el siguiente argumento
<blockquote>
''En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el paciente ha mejorado considerablemente en el caso, y sólo en el caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco B, el paciente ha mejorado considerablemente.''
</blockquote>
Usando los símbolos A: Hemos empleado el fármaco A, B: Hemos empleado el fármaco B y M: El paciente ha mejorado notablemente.
----

'''Solución 1:''' A → M ∧ ¬B, A ∨ B ⊧ ¬B → M

'''Solución 2:''' A ∧ ¬B → M, A ∨ B ⊧ ¬B → M

'''Solución 3:''' A → M ∧ ¬B, A ∨ B ⊧ ¬B → M

----
'''Ejercicio 5.''' Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones

* nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,
: nv(p → p ∨ q) = 3.
* prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,
: prof(p → p ∨ q) = 2.

Demostrar por inducción, que para toda fórmula F,
: nv(F) ≤ 2^prof(F)
----

'''Solución 1:'''

.Si F es atómica
nv(F)=1 y prof(F)= 0
nv(F) ≤ 2^prof(F), 1≤1 si se cumple

.Suponiendo F tiene 2 variables
nv(F)=2 prof(F)=1
nv(F) ≤ 2^prof(F), 2≤2 si se cumple

.Si F tiene N+1 variables
nv(F)=N+1 prof(F)=N
nv(F) ≤ 2^prof(F)
N+1 ≤ 2^N
1≤ 2^N-N se cumple para todo N≥0

Relación 1

2014-09-30T17:27:41Z

Lizesqsaa:

=== Relación 1: Representación del conocimiento proposicional ===

----
'''Ejercicio 1.''' Formalizar el siguiente argumento
<blockquote>
''Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número x no acaba en 0. Por lo tanto, x no es divisible por 10.''
</blockquote>
Usando los símbolos D: el número es divisible por 10 y C: el número acaba en cero.
----

'''Solución 1:''' ¬C ⊧ ¬D

'''Solución 2:''' D → C, ¬C ⊧ ¬D

'''Solución 3:''' D → C, ¬C ⊧ ¬D

----
'''Ejercicio 2.''' Formalizar el siguiente argumento
<blockquote>
''Si la válvula está abierta o la monitorización está preparada, entonces se envía una señal de reconocimiento y un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador. Si se envía un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador o el sistema está en estado normal, entonces se aceptan las órdenes del operador. Por lo tanto, si la válvula está abierta, entonces se aceptan las órdenes del operador.''
</blockquote>
Usando los símbolos V: La válvula está abierta, P: La monitorización está preparada, R: Envía una señal de reconocimiento, F: Envía un mensaje de funcionamiento, A: Se aceptan órdenes del operador y N: El sistema está en estado normal.
----

'''Solución 1:''' V ∨ P → R ∧ F, F ∨ N → A ⊧ V → A

'''Solución 2:''' V ∨ P → R ∧ F, (F ∨ N → A) ⊧ V → A

----
'''Ejercicio 3.''' Formalizar el siguiente argumento
<blockquote>
''Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. Por lo tanto, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece constante.''
</blockquote>
Usando los símbolos T: La temperatura permanece constante, P: La presión atmosférica permanece constante y L: Llueve
----

'''Solución 1: ''' T ∧ P → ¬L ⊧ L → ¬P

'''Solución 2: ''' T ∧ P → ¬L, T ⊧ L → ¬P

'''Solución 3: ''' T ∧ P → ¬L, T ⊧ L ↔ ¬P

----
'''Ejercicio 4.''' Formalizar el siguiente argumento
<blockquote>
''En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el paciente ha mejorado considerablemente en el caso, y sólo en el caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco B, el paciente ha mejorado considerablemente.''
</blockquote>
Usando los símbolos A: Hemos empleado el fármaco A, B: Hemos empleado el fármaco B y M: El paciente ha mejorado notablemente.
----

'''Solución 1:''' A → M ∧ ¬B, A ∨ B ⊧ ¬B → M

'''Solución 2:''' A ∧ ¬B → M, A ∨ B ⊧ ¬B → M

'''Solución 3:''' A → M ∧ ¬B, A ∨ B ⊧ ¬B → M

----
'''Ejercicio 5.''' Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones

* nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,
: nv(p → p ∨ q) = 3.
* prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,
: prof(p → p ∨ q) = 2.

Demostrar por inducción, que para toda fórmula F,
: nv(F) ≤ 2^prof(F)
----

'''Solución 1:'''
.Si F es atómica
nv(F)=1 y prof(F)= 0
nv(F) ≤ 2^prof(F), 1≤1 si se cumple

.Suponiendo F tiene 2 variables
nv(F)=2 prof(F)=1
nv(F) ≤ 2^prof(F), 2≤2 si se cumple

.Si F tiene N+1 variables
nv(F)=N+1 prof(F)=N
nv(F) ≤ 2^prof(F)
N+1 ≤ 2^N
1≤ 2^N-N se cumple para todo N≥0

Relación 1

2014-09-30T17:26:57Z

Lizesqsaa:

=== Relación 1: Representación del conocimiento proposicional ===

----
'''Ejercicio 1.''' Formalizar el siguiente argumento
<blockquote>
''Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número x no acaba en 0. Por lo tanto, x no es divisible por 10.''
</blockquote>
Usando los símbolos D: el número es divisible por 10 y C: el número acaba en cero.
----

'''Solución 1:''' ¬C ⊧ ¬D

'''Solución 2:''' D → C, ¬C ⊧ ¬D

'''Solución 3:''' D → C, ¬C ⊧ ¬D

----
'''Ejercicio 2.''' Formalizar el siguiente argumento
<blockquote>
''Si la válvula está abierta o la monitorización está preparada, entonces se envía una señal de reconocimiento y un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador. Si se envía un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador o el sistema está en estado normal, entonces se aceptan las órdenes del operador. Por lo tanto, si la válvula está abierta, entonces se aceptan las órdenes del operador.''
</blockquote>
Usando los símbolos V: La válvula está abierta, P: La monitorización está preparada, R: Envía una señal de reconocimiento, F: Envía un mensaje de funcionamiento, A: Se aceptan órdenes del operador y N: El sistema está en estado normal.
----

'''Solución 1:''' V ∨ P → R ∧ F, F ∨ N → A ⊧ V → A

'''Solución 2:''' V ∨ P → R ∧ F, (F ∨ N → A) ⊧ V → A

----
'''Ejercicio 3.''' Formalizar el siguiente argumento
<blockquote>
''Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. Por lo tanto, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece constante.''
</blockquote>
Usando los símbolos T: La temperatura permanece constante, P: La presión atmosférica permanece constante y L: Llueve
----

'''Solución 1: ''' T ∧ P → ¬L ⊧ L → ¬P

'''Solución 2: ''' T ∧ P → ¬L, T ⊧ L → ¬P

'''Solución 3: ''' T ∧ P → ¬L, T ⊧ L ↔ ¬P

----
'''Ejercicio 4.''' Formalizar el siguiente argumento
<blockquote>
''En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el paciente ha mejorado considerablemente en el caso, y sólo en el caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco B, el paciente ha mejorado considerablemente.''
</blockquote>
Usando los símbolos A: Hemos empleado el fármaco A, B: Hemos empleado el fármaco B y M: El paciente ha mejorado notablemente.
----

'''Solución 1:''' A → M ∧ ¬B, A ∨ B ⊧ ¬B → M

'''Solución 2:''' A ∧ ¬B → M, A ∨ B ⊧ ¬B → M

'''Solución 3:''' A → M ∧ ¬B, A ∨ B ⊧ ¬B → M

----
'''Ejercicio 5.''' Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones

* nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,
: nv(p → p ∨ q) = 3.
* prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,
: prof(p → p ∨ q) = 2.

Demostrar por inducción, que para toda fórmula F,
: nv(F) ≤ 2^prof(F)
----

'''Solución 1:''' .Si F es atómica
nv(F)=1 y prof(F)= 0
nv(F) ≤ 2^prof(F), 1≤1 si se cumple

.Suponiendo F tiene 2 variables
nv(F)=2 prof(F)=1
nv(F) ≤ 2^prof(F), 2≤2 si se cumple

.Si F tiene N+1 variables
nv(F)=N+1 prof(F)=N
nv(F) ≤ 2^prof(F)
N+1 ≤ 2^N
1≤ 2^N-N se cumple para todo N≥0