Lógica informática (2014-15) - Contribuciones del usuario [es]

Relación 9

2014-11-25T22:05:38Z

Jalonso: Página creada con '=== Relación 9: Temas 1 a 7 === ---- '''Ejercicio 1.''' Formalizar el siguiente argumento <blockquote> Todos los participantes son vencedores. Hay como máximo un vencedor. Ha...'

=== Relación 9: Temas 1 a 7 ===

----
'''Ejercicio 1.''' Formalizar el siguiente argumento
<blockquote>
Todos los participantes son vencedores. Hay como máximo un vencedor. Hay como máximo un participante. Por lo tanto, hay exactamente un participante.
</blockquote>

Nota: Comprobar la formalización con [http://bit.ly/1pkvwsf APLI2].
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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 2.''' Demostrar o refutar la siguiente proposición
<blockquote>
Si la fórmula F se puede demostrar por deducción natural a partir del conjunto de fórmulas S y también se puede demostrar a partir del conjunto de fórmulas T, entonces F se puede demostrar por deducción natural a partir de la intersección de S y T.
</blockquote>
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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 3.''' Demostrar por deducción natural
: ((p → q ∧ ¬ r) → p) → p
----

'''Solución:'''

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'''Ejercicio 4.''' Decidir, mediante tableros semánticos, si la fórmula
: F : (p ∧ q → r ∨ ¬ s) → (¬ r ∧ q → ¬ p)
es una tautología. Si no lo es, calcular a partir del tablero, un modelo de ¬F, una forma normal conjuntiva de F y una forma clausal de F.
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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 5.''' Probar por resolución proposicional que
: {p ∨ q ↔ ¬r, ¬p → s, ¬t → q, s ∧ t → u } ⊢ r → u.
----

'''Solución:'''

R9

2014-11-25T22:05:25Z

Jalonso: Protegió «R9» ([edit=sysop] (indefinido) [move=sysop] (indefinido))

R9

2014-11-25T22:04:56Z

Lógica informática (2014-15)

2014-11-25T22:04:31Z

Jalonso:

En esta página se publicarán las relaciones de ejercicios y sus soluciones colaborativas. Para escribir las fórmulas lógicas se puede usar cualquier editor de símbolos matemáticos como [http://math.typeit.org Type mathematical symbols] (los símbolos lógicos son ¬, ∧, ∨, →, ↔ y ⊧).

* '''Relación 1''': Tema 1 (a). ([[R1 |Enunciado]] y [[Relación 1 |Solución colaborativa]]).
* '''Relación 2''': Tema 1 (b). ([[R2 |Enunciado]] y [[Relación 2 |Solución colaborativa]]).
* '''Relación 3''': Temas 1 y 2. ([[R3 |Enunciado]] y [[Relación 3 |Solución colaborativa]]).
* '''Relación 4''': Temas 1 y 2. ([[R4 |Enunciado]] y [[Relación 4 |Solución colaborativa]]).
* '''Relación 5''': Temas 1 a 4. ([[R5 |Enunciado]] y [[Relación 5 |Solución colaborativa]]).
* '''Relación 6''': Temas 1 a 5. ([[R6 |Enunciado]] y [[Relación 6 |Solución colaborativa]]).
* '''Relación 7''': Temas 1 a 6. ([[R7 |Enunciado]] y [[Relación 7 |Solución colaborativa]]). [[http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/li/ejercicios/R7_sol.html Solución]].
* '''Relación 8''': Temas 1 a 7. ([[R8 |Enunciado]] y [[Relación 8 |Solución colaborativa]]). [[http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/li/ejercicios/R8_sol.html Solución]].
* '''Relación 9''': Temas 1 a 7. ([[R9 |Enunciado]] y [[Relación 9 |Solución colaborativa]]).

Lógica informática (2014-15)

2014-11-17T11:25:53Z

Jalonso:

Relación 8

2014-11-16T23:13:43Z

Jalonso: /* Relación 8: Temas 1 a 7 */

=== Relación 8: Temas 1 a 7 ===

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'''Ejercicio 1.''' Decidir, mediante resolución, DPLL y tableros semánticos, si
: {p → q, ¬p → r, q ∨ r → s} ⊧ s

En caso afirmativo, probarlo por deducción natural.

----

'''Solución:'''
RES:
p → q
≡ ¬p v q
1: {¬p, q}

¬p → r
≡ ¬¬p v r
≡ p v r
2: {p, r}

q v r → s
≡ ¬(q v r) v s
≡ (¬q ^ ¬r) v s
≡ (¬q v s) ^ (¬r v s)
3: {¬q, s}
4: {¬r, s}

¬s
5: {¬s}

{¬p, q} {p, r} {¬q, s} {¬r, s} {¬s}

res ({¬s}, {¬q, s}) = {¬q}
res ({¬s}, {¬r, s}) = {¬r}
res ({¬r}, {p, r}) = { p}
res ({p}, {¬p, q}) = { q}
res ({q}, {¬q}) = []

DPLL:

{{¬p, q} {p, r} {¬q, s} {¬r, s} {¬s}}
~ {{¬p, q} {p, r} {¬q} {¬r}} UNITARIA {¬s}
~ {{¬p, q} {p} {¬q}} UNITARIA {¬r}
~ {{¬p {p}} UNITARIA {¬q}
~ {[]} UNITARIA {p}

TS:

1. p → q
2. ¬p → r
3. q v r → s
4. ¬s
5. ¬(q v r) (3) 6. s (3)
7. ¬q (5) *(4,6)
8. ¬r (5)
9. ¬p (1) 10. q (1)
11. p (2) 12. r (2) *(7,10)
*(9,11) *(8,12)

----
'''Ejercicio 2.''' Decidir, utilizando formas normales, tableros semánticos,
resolución y DPLL, si la fórmula
: (q → p ∧ r) ∨ ¬(p ↔ p ∨ q)

es una tautología.

----

'''Solución:'''

----
'''Ejercicio 3.''' Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:
* Sean G₁ una forma normal disyuntiva de F₁ y G₂ una forma normal disyuntiva de F₂. Si F₁ y F₂ son equivalentes, entonces G₁ y G₂ son fórmulas iguales.
* Para toda fórmula F se tiene que si G₁ es una forma normal conjuntiva de F y G₂ es una forma normal normal disyuntiva de F, entonces G₁ y G₂ son fórmulas distintas.

----

'''Solución:'''

----
'''Ejercicio 4.''' Demostrar, por deducción natural, que la siguiente fórmula es insatisfacible:

: (¬p ∨ q) ∧ (p ∧ ¬q)

----

'''Solución:'''

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'''Ejercicio 5.''' Formalizar las siguiente sentencias utilizando los símbolos indicados:
* Los chinos tienen como máximo un hijo.
: (Símbolos: C(x) representa que x es chino y H(x, y) representa que x es hijo de y).
* Hay exactamente un participante.
: (Símbolos: P(x) representa que x es un participante).
* Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club.
: (Símbolos: S(x) representa que x es socio del club, D(x, y) representa que x está en deuda con y y a representa al tesorero del club).
* No hay ningún pez que se coma a todos los peces.
: (Símbolos: P(x) representa que x es un pez y C(x, y) representa que x se come a y).

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'''Solución:'''

Relación 7

2014-11-16T23:11:25Z

Jalonso: /* Relación 7: Temas 1 a 6 */

R7 sol

2014-11-16T19:26:18Z

Jalonso:

=== Relación 7: Temas 1 a 6 ===

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'''Ejercicio 1.''' Sean S y T conjuntos de fórmulas. Demostrar o refutar las siguientes sentencias:

* Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es consistente.
* Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.
* Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.
* Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es inconsistente.

----

'''Solución:'''

Para este ejercicio basta tener presente que

# Si S ⊆ T y T es consistente, entonces S es consistente.
# Si S ⊆ T y S es inconsistente, entonces T es inconsistente.
# S ⊆ S ∪ T
# T ⊆ S ∪ T
# S ∩ T ⊆ S
# S ∩ T ⊆ T

* '''Apartado 1:''' Es falso, ya que T es es inconsistente y T ⊆ S ∪ T (por 3); luego, S ∪ T es inconsistente (por 2).

* '''Apartado 2''' Es cierto, por el apartado 1.

* '''Apartado 3:''' Es cierto, ya que S es consistente y S ∩ T ⊆ S (por 5); luego, S ∩ T es consistente (por 1).

* '''Apartado 4:''' Es falso, por el apartado 3.

----

'''Ejercicio 2.''' Demostrar por deducción natural, tableros semánticos y resolución

: ¬(p ∧ ¬q) ⊧ p → q

----

'''Solución:'''

'''Por deducción natural'''

1. ¬(p ∧ ¬q) Prem
┌─────────────┐
│ 2. p │ Sup
│┌───────────┐│
││ 3. ¬q ││ Sup
││ 4. p ∧ ¬q ││ ∧I 2,3
││ 5. ⊥ ││ ¬E 1,4
│└───────────┘│
│ 6. q │ RAA 3-5
└─────────────┘
7. p → q →I 2-6

'''Por tablero semántico'''

1 ¬(p ∧ ¬q)
2 ¬(p → q)
3 p (2)
4 ¬q (2)
┌─────┴─────┐
5 ¬p (1) 6 ¬¬q (1)
C 5,3 C 6,4

'''Por resolución'''

Primero se transforma las fórmulas a cláusulas

¬(p ∧ ¬q) ≡ ¬p ∨ ¬¬q
≡ ¬p ∨ q
≡ {[¬p, q]}

¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
≡ {{p}, {¬q}}

La resolución es

{¬p,q} {p} {¬q}
└──┬──┘ │
{q} │
└───┬──┘
□

----

'''Ejercicio 3.''' Un pirata se encuentra con cuatro cofres y una inscripción
en cada uno de ellos. En el primer cofre dice "El tesoro no está aquí". En el
segundo, dice "El tesoro está en el cofre 3". En el tercero dice "El cofre 1
dice la verdad". Y, en el cuarto dice "El cofre 2 miente". Ayuda al pirata a
encontrar el tesoro, sabiendo que de los tres letreros, al menos tres mienten.

----

'''Solución:'''

Se usarán las siguientes variables

* ci (1 ≤ i ≤ 4) representa que el cartel de cofre i dice la verdad
* ti (1 ≤ i ≤ 4) representa que el el tesoro está en el cofre i.

La formalización del problema es

# c1 ↔ ¬t1
# c2 ↔ t3
# c3 ↔ c1
# c4 ↔ ¬c2
# ¬(c1 ∧ c2)
# ¬(c1 ∧ c3)
# ¬(c1 ∧ c4)
# ¬(c2 ∧ c3)
# ¬(c2 ∧ c4)
# ¬(c3 ∧ c4)
# ¬(t1 ∧ t2)
# ¬(t1 ∧ t3)
# ¬(t1 ∧ t4)
# ¬(t2 ∧ t3)
# ¬(t2 ∧ t4)
# ¬(t3 ∧ t4)
# t1 ∨ t2 ∨ t3 ∨ t4

Para buscar modelos usamos Mace4. La lista de fórmulas es

c1 <-> -t1.
c2 <-> t3.
c3 <-> c1.
c4 <-> -c2.
-(c1 & c2).
-(c1 & c3).
-(c1 & c4).
-(c2 & c3).
-(c2 & c4).
-(c3 & c4).
-(t1 & t2).
-(t1 & t3).
-(t1 & t4).
-(t2 & t3).
-(t2 & t4).
-(t3 & t4).
t1 | t2 | t3 | t4.

La búsqueda de modelos devuelve

relation(c1, [ 0 ]),
relation(c2, [ 0 ]),
relation(c3, [ 0 ]),
relation(c4, [ 1 ]),
relation(t1, [ 1 ]),
relation(t2, [ 0 ]),
relation(t3, [ 0 ]),
relation(t4, [ 0 ])

Lo que indica que el tesoro está en el cofre 1. Vamos a demostrarlo, por deducción natural:

1 c1 ↔ ¬t1
2 c2 ↔ t3
3 c3 ↔ c1
4 c4 ↔ ¬c2
5 ¬(c1 ∧ c2)
6 ¬(c1 ∧ c3)
7 ¬(c1 ∧ c4)
8 ¬(c2 ∧ c3)
9 ¬(c2 ∧ c4)
10 ¬(c3 ∧ c4)
11 ¬(t1 ∧ t2)
12 ¬(t1 ∧ t3)
13 ¬(t1 ∧ t4)
14 ¬(t2 ∧ t3)
15 ¬(t2 ∧ t4)
16 ¬(t3 ∧ t4)
17 t1 ∨ t2 ∨ t3 ∨ t4
┌─────────────┐
│ 18 ¬t1 │ Sup
│ 19 ¬t1 → c1 │ ↔E₂ 1
│ 20 c1 │ →E 19,18
│ 21 c1 → c3 │ ↔E₂ 1
│ 22 c3 │ →E 21,20
│ 23 c1 ∧ c3 │ ∧I 20,22
│ 24 ⊥ │ ¬E 6,23
└─────────────┘
25 t1 RAA 18-25

----

'''Ejercicio 4.''' Decidir, utilizando formas normales, si la fórmula

: (p → ¬(q → ¬r)) ∧ (r → ¬q)

es insatisfactible o una tautología.

----

'''Solución:''' Para decidir si es tautología se calcula la FNC

(p → ¬(q → ¬r)) ∧ (r → ¬q)
≡ (p → (q ∧ ¬¬r)) ∧ (¬r ∨ ¬q)
≡ (¬p ∨ (q ∧ r)) ∧ (¬r ∨ ¬q)
≡ (¬p ∨ q) ∧ (¬p ∨ r) ∧ (¬r ∨ ¬q)

Por tanto, no es tautología ya que la interpretación I con I(p)=1 e I(q)=0 es un contramodelo. En efecto,

(p → ¬(q → ¬r)) ∧ (r → ¬q)
1 0 0 0 1 0

Para decidir si es insatisfactible se calcula la FND

(p → ¬(q → ¬r)) ∧ (r → ¬q)
≡ (p → (q ∧ ¬¬r)) ∧ (¬r ∨ ¬q)
≡ (¬p ∨ (q ∧ r)) ∧ (¬r ∨ ¬q)
≡ (¬p ∧ (¬r ∨ ¬q)) ∨ ((q ∧ r) ∧ (¬r ∨ ¬q))
≡ ((¬p ∧ ¬r) ∨ (¬p ∧ ¬q)) ∨ ((q ∧ r ∧ ¬r) ∨ (q ∧ r ∧ ¬q))
≡ (¬p ∧ ¬r) ∨ (¬p ∧ ¬q)

Por tanto, no es insatisfacible ya que la interpretación I con I(p)=0 e I(r)=0 es un modelo. En efecto,

(p → ¬(q → ¬r)) ∧ (r → ¬q)
0 1 1 0 1

----

'''Ejercicio 5.''' Decidir, usando el algoritmo DPLL y resolución, si el
conjunto de cláusulas

: {{p,r,¬s}, {¬q,s}, {¬p,¬s,¬r}, {¬p,s,q}, {s,q,p}, {¬q,¬r}, {¬s,¬r,p}}

es consistente. En caso de que lo sea, proporcionar un modelo del mismo.

----

'''Solución:'''

'''Por el algoritmo DPLL.'''

Sea S = {{p,r,¬s}, {¬q,s}, {¬p,¬s,¬r}, {¬p,s,q},{s,q,p}, {¬q,¬r}, {¬s,¬r,p}}. No tiene cláusulas unitarias ni literales puros. Elegimos el literal p para dividir los casos.

Primer caso:

S ∪ {p}
= {{p,r,¬s}, {¬q,s}, {¬p,¬s,¬r}, {¬p,s,q}, {s,q,p}, {¬q,¬r}, {¬s,¬r,p}, {p}}
= { {¬q,s}, {¬s,¬r}, {s,q}, {¬q,¬r}, } [Unit. p]
= { {¬q,s}, {s,q}, } [Puro ¬r]
= { } [Puro s]

Por tanto, S es consistente y un modelo es la interpretación I con I(p)=1, I(r)=0 e I(s)=1. En efecto,

{{p,r,¬s}, {¬q,s}, {¬p,¬s,¬r}, {¬p,s,q}, {s,q,p}, {¬q,¬r}, {¬s,¬r,p}}
1 1 10 1 1 10 1

'''Por resolución:'''

{p,r,¬s}¹ {¬q,s}² {¬p,¬s,¬r}³ {¬p,s,q}⁴ {s,q,p}⁵ {¬q,¬r}⁶ {¬s,¬r,p}⁷
║ ║ ║ ╙───┬───╜ ║ ║
║ ║ ║ {s,q}⁸ ║ ║
║ ╙────────║────────────────╢ ║ ║
║9 ║9 {s}⁹ ║ ║9
{p,r}¹⁰ {¬p,¬r}¹¹ ║ {¬r,p}¹²
╟────────────────║─────────────────────────────║─────────╜
{p}¹³ ║13 ║
{¬r}¹⁴ ║14
{ }¹⁵

Por tanto, S es consistente y un modelo es la interpretación I tal que I(p)=1, I(r)=0 e I(s)=1.

R7 sol

2014-11-16T19:24:49Z

Jalonso: Página creada con '=== Relación 7: Temas 1 a 6 === ---- '''Ejercicio 1.''' Sean S y T conjuntos de fórmulas. Demostrar o refutar las siguientes sentencias: * Si S es consistente y T es incon...'

Relación 8

2014-11-11T12:13:19Z

Jalonso: Página creada con '=== Relación 8: Temas 1 a 7 === ---- '''Ejercicio 1.''' Decidir, mediante resolución, DPLL y tableros semánticos, si : {p → q, ¬p → r, q ∨ r → s} ⊧ s En caso af...'

=== Relación 8: Temas 1 a 7 ===

----
'''Ejercicio 1.''' Decidir, mediante resolución, DPLL y tableros semánticos, si
: {p → q, ¬p → r, q ∨ r → s} ⊧ s

En caso afirmativo, probarlo por deducción natural.

----

'''Solución:'''

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'''Ejercicio 2.''' Decidir, utilizando formas normales, tableros semánticos,
resolución y DPLL, si la fórmula
: (q → p ∧ r) ∨ ¬(p ↔ p ∨ q)

es una tautología.

----

'''Solución:'''

----
'''Ejercicio 3.''' Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:
* Sean G₁ una forma normal disyuntiva de F₁ y G₂ una forma normal disyuntiva de F₂. Si F₁ y F₂ son equivalentes, entonces G₁ y G₂ son fórmulas iguales.
* Para toda fórmula F se tiene que si G₁ es una forma normal conjuntiva de F y G₂ es una forma normal normal disyuntiva de F, entonces G₁ y G₂ son fórmulas distintas.

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'''Solución:'''

----
'''Ejercicio 4.''' Demostrar, por deducción natural, que la siguiente fórmula es insatisfacible:

: (¬p ∨ q) ∧ (p ∧ ¬q)

----

'''Solución:'''

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'''Ejercicio 5.''' Formalizar las siguiente sentencias utilizando los símbolos indicados:
* Los chinos tienen como máximo un hijo.
: (Símbolos: C(x) representa que x es chino y H(x, y) representa que x es hijo de y).
* Hay exactamente un participante.
: (Símbolos: P(x) representa que x es un participante).
* Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club.
: (Símbolos: S(x) representa que x es socio del club, D(x, y) representa que x está en deuda con y y a representa al tesorero del club).
* No hay ningún pez que se coma a todos los peces.
: (Símbolos: P(x) representa que x es un pez y C(x, y) representa que x se come a y).

----

'''Solución:'''

R8

2014-11-11T12:12:59Z

Jalonso:

=== Relación 8: Temas 1 a 7 ===

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'''Ejercicio 1.''' Decidir, mediante resolución, DPLL y tableros semánticos, si
: {p → q, ¬p → r, q ∨ r → s} ⊧ s

En caso afirmativo, probarlo por deducción natural.

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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 2.''' Decidir, utilizando formas normales, tableros semánticos,
resolución y DPLL, si la fórmula
: (q → p ∧ r) ∨ ¬(p ↔ p ∨ q)

es una tautología.

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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 3.''' Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:
* Sean G₁ una forma normal disyuntiva de F₁ y G₂ una forma normal disyuntiva de F₂. Si F₁ y F₂ son equivalentes, entonces G₁ y G₂ son fórmulas iguales.
* Para toda fórmula F se tiene que si G₁ es una forma normal conjuntiva de F y G₂ es una forma normal normal disyuntiva de F, entonces G₁ y G₂ son fórmulas distintas.

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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 4.''' Demostrar, por deducción natural, que la siguiente fórmula es insatisfacible:

: (¬p ∨ q) ∧ (p ∧ ¬q)

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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 5.''' Formalizar las siguiente sentencias utilizando los símbolos indicados:
* Los chinos tienen como máximo un hijo.
: (Símbolos: C(x) representa que x es chino y H(x, y) representa que x es hijo de y).
* Hay exactamente un participante.
: (Símbolos: P(x) representa que x es un participante).
* Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club.
: (Símbolos: S(x) representa que x es socio del club, D(x, y) representa que x está en deuda con y y a representa al tesorero del club).
* No hay ningún pez que se coma a todos los peces.
: (Símbolos: P(x) representa que x es un pez y C(x, y) representa que x se come a y).

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'''Solución:'''

R8

2014-11-11T12:12:04Z

Jalonso:

=== Relación 8: Temas 1 a 7 ===

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'''Ejercicio 1.''' Decidir, mediante resolución, DPLL y tableros semánticos, si
: {p → q, ¬p → r, q ∨ r → s} ⊧ s

En caso afirmativo, probarlo por deducción natural.

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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 2.''' Decidir, utilizando formas normales, tableros semánticos,
resolución y DPLL, si la fórmula
: (q → p ∧ r) ∨ ¬(p ↔ p ∨ q)

es una tautología.

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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 3.''' Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:
* Sean G₁ una forma normal disyuntiva de F₁ y G₂ una forma normal disyuntiva de F₂. Si F₁ y F₂ son equivalentes, entonces G₁ y G₂ son fórmulas iguales.
* Para toda fórmula F se tiene que si G₁ es una forma normal conjuntiva de F y G₂ es una forma normal normal disyuntiva de F, entonces G₁ y G₂ son fórmulas distintas.

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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 4.''' Demostrar, por deducción natural, que la siguiente fórmula es insatisfacible:

: (¬p ∨ q) ∧ (p ∧ ¬q)

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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 5.''' Formalizar las siguiente sentencias utilizando los símbolos indicados:
* Los chinos tienen como máximo un hijo.
: (Símbolos: C(x) representa que x es chino y H(x, y) representa que x es hijo de
y).
* Hay exactamente un participante.
: (Símbolos: P(x) representa que x es un participante).
* Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club.
: (Símbolos: S(x) representa que x es socio del club, D(x, y) representa que x está en deuda con y y a representa al tesorero del club).
* No hay ningún pez que se coma a todos los peces.
: (Símbolos: P(x) representa que x es un pez y C(x, y) representa que x se come a
y).

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'''Solución:'''

R8

2014-11-11T12:11:12Z

Jalonso: Protegió «R8» ([edit=sysop] (indefinido) [move=sysop] (indefinido))

=== Relación 8: Temas 1 a 7 ===

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'''Ejercicio 1.''' Decidir, mediante resolución, DPLL y tableros semánticos, si
: {p → q, ¬p → r, q ∨ r → s} ⊧ s

En caso afirmativo, probarlo por deducción natural.

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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 2.''' Decidir, utilizando formas normales, tableros semánticos,
resolución y DPLL, si la fórmula
: (q → p ∧ r) ∨ ¬(p ↔ p ∨ q)

es una tautología.

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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 3.''' Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:
* Sean G₁ una forma normal disyuntiva de F₁ y G₂ una forma normal disyuntiva de F₂. Si F₁ y F₂ son equivalentes, entonces G₁ y G₂ son fórmulas iguales.
* Para toda fórmula F se tiene que si G₁ es una forma normal conjuntiva de F y G₂ es una forma normal normal disyuntiva de F, entonces G₁ y G₂ son fórmulas distintas.

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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 4.''' Demostrar, por deducción natural, que la siguiente fórmula es insatisfacible:

: (¬p ∨ q) ∧ (p ∧ ¬q)

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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 5.''' Formalizar las siguiente sentencias utilizando los símbolos indicados:
* Los chinos tienen como máximo un hijo.
(Símbolos: C(x) representa que x es chino y H(x, y) representa que x es hijo de
y).
* Hay exactamente un participante.
(Símbolos: P(x) representa que x es un participante).
* Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club.
(Símbolos: S(x) representa que x es socio del club, D(x, y) representa que x está en deuda con y y a representa al tesorero del club).
* No hay ningún pez que se coma a todos los peces.
(Símbolos: P(x) representa que x es un pez y C(x, y) representa que x se come a
y).

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'''Solución:'''

R8

2014-11-11T12:11:04Z

=== Relación 8: Temas 1 a 7 ===

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'''Ejercicio 1.''' Decidir, mediante resolución, DPLL y tableros semánticos, si
: {p → q, ¬p → r, q ∨ r → s} ⊧ s

En caso afirmativo, probarlo por deducción natural.

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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 2.''' Decidir, utilizando formas normales, tableros semánticos,
resolución y DPLL, si la fórmula
: (q → p ∧ r) ∨ ¬(p ↔ p ∨ q)

es una tautología.

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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 3.''' Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:
* Sean G₁ una forma normal disyuntiva de F₁ y G₂ una forma normal disyuntiva de F₂. Si F₁ y F₂ son equivalentes, entonces G₁ y G₂ son fórmulas iguales.
* Para toda fórmula F se tiene que si G₁ es una forma normal conjuntiva de F y G₂ es una forma normal normal disyuntiva de F, entonces G₁ y G₂ son fórmulas distintas.

----

'''Solución:'''

----
'''Ejercicio 4.''' Demostrar, por deducción natural, que la siguiente fórmula es insatisfacible:

: (¬p ∨ q) ∧ (p ∧ ¬q)

----

'''Solución:'''

----

'''Ejercicio 5.''' Formalizar las siguiente sentencias utilizando los símbolos indicados:
* Los chinos tienen como máximo un hijo.
(Símbolos: C(x) representa que x es chino y H(x, y) representa que x es hijo de
y).
* Hay exactamente un participante.
(Símbolos: P(x) representa que x es un participante).
* Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club.
(Símbolos: S(x) representa que x es socio del club, D(x, y) representa que x está en deuda con y y a representa al tesorero del club).
* No hay ningún pez que se coma a todos los peces.
(Símbolos: P(x) representa que x es un pez y C(x, y) representa que x se come a
y).

----

'''Solución:'''

Lógica informática (2014-15)

2014-11-11T12:10:47Z

Jalonso:

En esta página se publicarán las relaciones de ejercicios y sus soluciones colaborativas. Para escribir las fórmulas lógicas se puede usar cualquier editor de símbolos matemáticos como [http://math.typeit.org Type mathematical symbols] (los símbolos lógicos son ¬, ∧, ∨, →, ↔ y ⊧).

* '''Relación 1''': Tema 1 (a). ([[R1 |Enunciado]] y [[Relación 1 |Solución colaborativa]]).
* '''Relación 2''': Tema 1 (b). ([[R2 |Enunciado]] y [[Relación 2 |Solución colaborativa]]).
* '''Relación 3''': Temas 1 y 2. ([[R3 |Enunciado]] y [[Relación 3 |Solución colaborativa]]).
* '''Relación 4''': Temas 1 y 2. ([[R4 |Enunciado]] y [[Relación 4 |Solución colaborativa]]).
* '''Relación 5''': Temas 1 a 4. ([[R5 |Enunciado]] y [[Relación 5 |Solución colaborativa]]).
* '''Relación 6''': Temas 1 a 5. ([[R6 |Enunciado]] y [[Relación 6 |Solución colaborativa]]).
* '''Relación 7''': Temas 1 a 6. ([[R7 |Enunciado]] y [[Relación 7 |Solución colaborativa]]).
* '''Relación 8''': Temas 1 a 7. ([[R8 |Enunciado]] y [[Relación 8 |Solución colaborativa]]).

Relación 5

2014-10-21T06:46:30Z

Jalonso: /* Relación 5: Temas 1 y 2 */

=== Relación 5: Temas 1 a 4 ===

----
'''Ejercicio 1.''' Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:
# F ∧ G es satisfacible syss F es satisfacible y G es satisfacible.
# F ∨ G es satisfacible syss F es satisfacible o G es satisfacible.
----

'''Solución:'''

----
'''Ejercicio 2.''' En un texto de Lewis Carroll, el tío Jorge y el tío Jaime discuten acerca de la barbería del pueblo, atendida por tres barberos: Alberto, Benito y Carlos. Los dos tíos aceptan las siguientes premisas:
# Si Carlos no está en la barbería, entonces ocurrirá que si tampoco está Alberto, Benito tendrá que estar para atender el establecimiento.
# Si Alberto no está, tampoco estará Benito.
El tío Jorge concluye de todo esto que Carlos no puede estar ausente, mientras que el tío Jaime afirma que sólo puede concluirse que Carlos y Alberto no pueden estar ausentes a la vez. Decidir con el método de los tableros semánticos cuál de los dos tiene razón y demostrarlo por deducción natural.
----

'''Solución:'''

----
'''Ejercicio 3.''' Probar que la fórmula
: (E → (F ∧ G)) → (E → F) ∨ (E → G)
es una tautología por tableros semánticos y por deducción natural.
----

'''Solución:'''

----
'''Ejercicio 4.''' Demostrar o refutar la siguiente proposición:
<blockquote>
Si S es un conjunto inconsistente de fórmulas, entonces el tablero semántico cerrado de S obtenido aplicando las reglas α antes que las reglas β tiene menos nodos que el tablero semántico cerrado de S obtenido aplicando las reglas β antes que las reglas α.
</blockquote>
----

'''Solución:'''

----
'''Ejercicio 5.''' Probar, mediante forma normal conjuntiva y mediante deducción natural, que la fórmula
: (p → ¬q ∧ r) → (p → (q → r))
es una tautología
----

'''Solución:'''

R5

2014-10-21T06:46:04Z

Jalonso: Protegió «R5» ([edit=sysop] (indefinido) [move=sysop] (indefinido))

R5

2014-10-21T06:45:49Z

Jalonso: /* Relación 5: Temas 1 y 2 */

Lógica informática (2014-15)

2014-10-21T06:45:30Z

Jalonso:

Relación 5

2014-10-20T11:19:03Z

Jalonso: Página creada con '=== Relación 5: Temas 1 y 2 === ---- '''Ejercicio 1.''' Demostrar o refutar las siguientes proposiciones: # F ∧ G es satisfacible syss F es satisfacible y G es satisfacible....'

=== Relación 5: Temas 1 y 2 ===

----
'''Ejercicio 1.''' Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:
# F ∧ G es satisfacible syss F es satisfacible y G es satisfacible.
# F ∨ G es satisfacible syss F es satisfacible o G es satisfacible.
----

'''Solución:'''

----
'''Ejercicio 2.''' En un texto de Lewis Carroll, el tío Jorge y el tío Jaime discuten acerca de la barbería del pueblo, atendida por tres barberos: Alberto, Benito y Carlos. Los dos tíos aceptan las siguientes premisas:
# Si Carlos no está en la barbería, entonces ocurrirá que si tampoco está Alberto, Benito tendrá que estar para atender el establecimiento.
# Si Alberto no está, tampoco estará Benito.
El tío Jorge concluye de todo esto que Carlos no puede estar ausente, mientras que el tío Jaime afirma que sólo puede concluirse que Carlos y Alberto no pueden estar ausentes a la vez. Decidir con el método de los tableros semánticos cuál de los dos tiene razón y demostrarlo por deducción natural.
----

'''Solución:'''

----
'''Ejercicio 3.''' Probar que la fórmula
: (E → (F ∧ G)) → (E → F) ∨ (E → G)
es una tautología por tableros semánticos y por deducción natural.
----

'''Solución:'''

----
'''Ejercicio 4.''' Demostrar o refutar la siguiente proposición:
<blockquote>
Si S es un conjunto inconsistente de fórmulas, entonces el tablero semántico cerrado de S obtenido aplicando las reglas α antes que las reglas β tiene menos nodos que el tablero semántico cerrado de S obtenido aplicando las reglas β antes que las reglas α.
</blockquote>
----

'''Solución:'''

----
'''Ejercicio 5.''' Probar, mediante forma normal conjuntiva y mediante deducción natural, que la fórmula
: (p → ¬q ∧ r) → (p → (q → r))
es una tautología
----

'''Solución:'''

R5

2014-10-20T11:18:15Z

Lógica informática (2014-15)

2014-10-20T11:17:59Z

Jalonso:

Archivo:R3E6.png

2014-10-15T18:20:02Z

Jalonso:

Archivo:R3E5.png

2014-10-15T18:15:01Z

Jalonso:

Archivo:R3E4.png

2014-10-15T18:11:17Z

Jalonso:

Archivo:R3E3.png

2014-10-15T18:09:04Z

Jalonso:

Relación 3

2014-10-15T18:07:55Z

Jalonso:

=== Relación 3: Temas 1 y 2 ===

----
'''Ejercicio 0.''' Demostrar mediante deducción natural:
: {p → q, p → r} ⊧ p → r
----

'''Solución:'''

[[Archivo:R3E0a.png]]

----
'''Ejercicio 1.''' Formalizar, y decidir la corrección, del siguiente argumento
<blockquote>
Si Dios fuera capaz de evitar el mal y quisiera hacerlo, lo haría. Si Dios fuera incapaz de evitar el mal, no sería omnipotente; si no quisiera evitar el mal sería malévolo. Dios no evita el mal. Si Dios existe, es omnipotente y no es malévolo. Luego, Dios no existe.
</blockquote>
Usando los símbolos C: Dios es capaz de evitar el mal, Q: Dios quiere evitar el mal, O: Dios es omnipotente, M: Dios es malévolo, P: Dios evita el mal, E: Dios existe.
----

'''Solución:'''
1. C∧Q→P premisa
2. ¬C→¬O premisa
3. ¬Q→M premisa
4. ¬P premisa
5. E→O∧¬M premisa
6. E supuesto
7. O∧¬M →e 5,6
8. O ∧e1 7
9. ¬M ∧e2 7
10. C MT 2,8
11. Q MT 3,9
12. C∧Q ∧i 10,11
13. P →e 1,12
14. P∧¬P ∧i 4, 13
15. ¬E ¬i 6-14

'''Comentario 1:''' Los líneas 10, 11 y 15 son incorrectas.

'''Comentario 2:'''

Queda demostrada la coherencia del problema, no así su veracidad.*

*Tenemos presente que desde siempre existen demagogos, personas que utilizando el arte de la lógica (ya lo decían los clásicos: ars artium), saben "demostrar" proposiciones. ¿Qué es lo que pasa? Que lo que demuestran son coherencias, no la veracidad de las afirmaciones finales. Aquí, amable lector, ocurre lo mismo, se demuestra la coherencia de un sistema, no su veracidad.
*¿Y eso por qué? Porque parte de premisas erróneas, como es el caso. (Daré unos pequeños apuntes, para más información, el Catecismo de la Iglesia Católica, 309-314: http://www.vatican.va/archive/catechism_sp/p1s2c1p4_sp.html )
*Este plantamiento ha estado presente a lo largo de toda la historia. De él, los autores espirituales han dicho que: el sofisma parte una premisa falsa: ¿qué se entiende por mal? Si el mal es absoluto, el planteamiento es correcto. Lo que ocurre es que ese mal no es total, hay un bien detrás de todo mal físico. ¿Pero que bien tiene un terremoto? A nuestra vista, que solo ve el presente, ninguno; pero Dios ve todo el tiempo, ya que no es un ser temporal, y Él sabe más. Además, de ese mal sacará bienes espirituales aun mayores que cualquier mal físico. Ya se que para esto hace falta "las gafas de la fe". Esta, la fe, no incorpora a la mente lo irracional, sino que le da profundidad a lo natural, "viendo" algunas cosas ya desde la perspectiva divina por la revelación.
*Sin más, quería dar mi opinión sobre dicho problema.

----
'''Ejercicio 2.''' Demostrar o refutar las siguiente proposición: Para todo conjunto de fórmula S y para toda fórmula F se verifica que si F no es consecuencia de S, entonces ¬F es consecuencia de S.
----

'''Solución:'''

----
'''Ejercicio 3.''' Demostrar mediante deducción natural:
: (p → q) → r ⊧ p → (q → r)
----

'''Solución:'''

[[Archivo:R3E3.png]]

----
'''Ejercicio 4.''' Demostrar mediante deducción natural:
: (p → q) ∧ (p → r) ⊧ p → q ∧ r
----

'''Solución:'''

[[Archivo:R3E4.png]]

----
'''Ejercicio 5.''' Demostrar mediante deducción natural:
: (p → r) ∧ (q → r) ⊧ p ∨ q → r
----

'''Solución:'''

[[Archivo:R3E5.png]]

----
'''Ejercicio 6.''' Demostrar mediante deducción natural:
: {p → r, r → ¬ q} ⊧ ¬(p ∧ q)
----

'''Solución:'''

[[Archivo:R3E6.png]]

Relación 3

2014-10-14T13:57:32Z

Jalonso:

=== Relación 3: Temas 1 y 2 ===

----
'''Ejercicio 0.''' Demostrar mediante deducción natural:
: {p → q, p → r} ⊧ p → r
----

'''Solución:'''

[[Archivo:R3E0a.png]]

----
'''Ejercicio 1.''' Formalizar, y decidir la corrección, del siguiente argumento
<blockquote>
Si Dios fuera capaz de evitar el mal y quisiera hacerlo, lo haría. Si Dios fuera incapaz de evitar el mal, no sería omnipotente; si no quisiera evitar el mal sería malévolo. Dios no evita el mal. Si Dios existe, es omnipotente y no es malévolo. Luego, Dios no existe.
</blockquote>
Usando los símbolos C: Dios es capaz de evitar el mal, Q: Dios quiere evitar el mal, O: Dios es omnipotente, M: Dios es malévolo, P: Dios evita el mal, E: Dios existe.
----

'''Solución:'''
1. C∧Q→P premisa
2. ¬C→¬O premisa
3. ¬Q→M premisa
4. ¬P premisa
5. E→O∧¬M premisa
6. E supuesto
7. O∧¬M →e 5,6
8. O ∧e1 7
9. ¬M ∧e2 7
10. C MT 2,8
11. Q MT 3,9
12. C∧Q ∧i 10,11
13. P →e 1,12
14. P∧¬P ∧i 4, 13
15. ¬E ¬i 6-14

'''Comentario 1:''' Los líneas 10, 11 y 15 son incorrectas.

'''Comentario 2:'''

Queda demostrada la coherencia del problema, no así su veracidad.*

*Tenemos presente que desde siempre existen demagogos, personas que utilizando el arte de la lógica (ya lo decían los clásicos: ars artium), saben "demostrar" proposiciones. ¿Qué es lo que pasa? Que lo que demuestran son coherencias, no la veracidad de las afirmaciones finales. Aquí, amable lector, ocurre lo mismo, se demuestra la coherencia de un sistema, no su veracidad.
*¿Y eso por qué? Porque parte de premisas erróneas, como es el caso. (Daré unos pequeños apuntes, para más información, el Catecismo de la Iglesia Católica, 309-314: http://www.vatican.va/archive/catechism_sp/p1s2c1p4_sp.html )
*Este plantamiento ha estado presente a lo largo de toda la historia. De él, los autores espirituales han dicho que: el sofisma parte una premisa falsa: ¿qué se entiende por mal? Si el mal es absoluto, el planteamiento es correcto. Lo que ocurre es que ese mal no es total, hay un bien detrás de todo mal físico. ¿Pero que bien tiene un terremoto? A nuestra vista, que solo ve el presente, ninguno; pero Dios ve todo el tiempo, ya que no es un ser temporal, y Él sabe más. Además, de ese mal sacará bienes espirituales aun mayores que cualquier mal físico. Ya se que para esto hace falta "las gafas de la fe". Esta, la fe, no incorpora a la mente lo irracional, sino que le da profundidad a lo natural, "viendo" algunas cosas ya desde la perspectiva divina por la revelación.
*Sin más, quería dar mi opinión sobre dicho problema.

----
'''Ejercicio 2.''' Demostrar o refutar las siguiente proposición: Para todo conjunto de fórmula S y para toda fórmula F se verifica que si F no es consecuencia de S, entonces ¬F es consecuencia de S.
----

'''Solución:'''

----
'''Ejercicio 3.''' Demostrar mediante deducción natural:
: (p → q) → r ⊧ p → (q → r)
----

'''Solución:'''

1. (p→q)→r Prem.
2. p Sup. Suponemos p, hay probar q→r
3. q Sup. Suponemos q, hay probar r
4. p → q →i 3,2
5. r →e 4,1 Queda probado r
6. q→r →i 3-5 Queda probado q→r
7. p→(q→r) →i 2-6

'''Comentario:''' A partir de la línea 4 es incorrecta.

----
'''Ejercicio 4.''' Demostrar mediante deducción natural:
: (p → q) ∧ (p → r) ⊧ p → q ∧ r
----

'''Solución:'''
1. (p->q)^(p->r) Premisa Hqd p->q^r
2. p Sup
3. q ->e 1,2
4. r ->e 1,2
5. q^r ^i 3,4
6. p->q^r ->e 2,5

'''Comentario:''' Las líneas 2 y 3 son incorrectas.

----
'''Ejercicio 5.''' Demostrar mediante deducción natural:
: (p → r) ∧ (q → r) ⊧ p ∨ q → r
----

'''Solución:'''
1. (p->r)^(q->r) Premisa Hqd p∨q->r
2. p Sup
3. r ->e 1,2
4. q Sup
5. r ->e 1,4
6. p∨q->r ->e 2-5

'''Comentario:''' A partir de la línea 2 es incorrecta.

----
'''Ejercicio 6.''' Demostrar mediante deducción natural:
: {p → r, r → ¬ q} ⊧ ¬(p ∧ q)
----

'''Solución:'''

Relación 4

2014-10-14T10:13:36Z

Jalonso: Página creada con '=== Relación 4: Temas 1 y 2 === ---- '''Ejercicio 1.''' Juan está matriculado en tres asignaturas: Álgebra, Lógica y Dibujo. Juan comenta lo siguiente: <blockquote> Me gus...'

=== Relación 4: Temas 1 y 2 ===

----
'''Ejercicio 1.''' Juan está matriculado en tres asignaturas: Álgebra, Lógica y Dibujo. Juan comenta lo siguiente:
<blockquote>
Me gusta al menos una de las tres asignaturas. Si me gustase el Álgebra pero no el Dibujo, me gustaría la Lógica. O me gusta el Dibujo y la Lógica, o bien ninguna de las dos. Si me gustase el Dibujo, entonces me gustaría el Álgebra.
</blockquote>
Formalizar los comentarios de Juan, usando la inicial de cada asignatura para representar que a Juan le gusta dicha asignatura. Decidir si los comentarios son consistentes y, en su caso, calcular sus modelos. ¿Qué asignaturas le gustan a Juan?
----

'''Solución:'''

----
'''Ejercicio 2.''' Demostrar o refutar la siguiente afirmación: "F es satisfacible si y sólo si toda consecuencia lógica de F es satisfacible."
----

'''Solución:'''

----
'''Ejercicio 3.''' Demostrar mediante deducción natural:
: ¬(p ∧ ¬ q) ⊧ p → q
----

'''Solución:'''

----
'''Ejercicio 4.''' Demostrar mediante deducción natural:
: (p ∨ q) ∧ (q → r) ⊧ p ∨ r.

----

'''Solución:'''

----
'''Ejercicio 5.''' Demostrar mediante deducción natural:
: ⊧ (¬ q → ¬ p) ∨ (q → p)
----

R4

2014-10-14T10:13:12Z

Jalonso: Protegió «R4» ([edit=sysop] (indefinido) [move=sysop] (indefinido))

R4

2014-10-14T10:12:30Z

Jalonso: /* Relación 4: Temas 1 y 2 */

R4

2014-10-14T10:11:45Z

Jalonso: /* Relación 4: Temas 1 y 2 */

=== Relación 4: Temas 1 y 2 ===

----
'''Ejercicio 1.''' Juan está matriculado en tres asignaturas: Álgebra, Lógica y Dibujo. Juan comenta lo siguiente:
<blockquote>
Me gusta al menos una de las tres asignaturas. Si me gustase el Álgebra pero no el Dibujo, me gustaría la Lógica. O me gusta el Dibujo y la Lógica, o bien ninguna de las dos. Si me gustase el Dibujo, entonces me gustaría el Álgebra.
</blockquote>
# Formalizar los comentarios de Juan, usando la inicial de cada asignatura para representar que a Juan le gusta dicha asignatura.
# Decidir si los comentarios son consistentes y, en su caso, calcular sus modelos.
# ¿Qué asignaturas le gustan a Juan?
----

'''Solución:'''

----
'''Ejercicio 2.''' Demostrar o refutar la siguiente afirmación: "F es satisfacible si y sólo si toda consecuencia lógica de F es satisfacible."
----

'''Solución:'''

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'''Ejercicio 3.''' Demostrar mediante deducción natural:
: ¬(p ∧ ¬ q) ⊧ p → q
----

'''Solución:'''

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'''Ejercicio 4.''' Demostrar mediante deducción natural:
: (p ∨ q) ∧ (q → r) ⊧ p ∨ r.

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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 5.''' Demostrar mediante deducción natural:
: ⊧ (¬ q → ¬ p) ∨ (q → p)
----

R4

2014-10-14T10:11:19Z

=== Relación 4: Temas 1 y 2 ===

----
'''Ejercicio 1.''' Juan está matriculado en tres asignaturas: Álgebra, Lógica y Dibujo. Juan comenta lo siguiente:
<blockquote>
Me gusta al menos una de las tres asignaturas. Si me gustase el Álgebra pero no el Dibujo, me gustaría la Lógica. O me gusta el Dibujo y la Lógica, o bien ninguna de las dos. Si me gustase el Dibujo, entonces me gustaría el Álgebra.
</blockquote>
# Formalizar los comentarios de Juan, usando la inicial de cada asignatura para
representar que a Juan le gusta dicha asignatura.
# Decidir si los comentarios son consistentes y, en su caso, calcular sus modelos.
# ¿Qué asignaturas le gustan a Juan?
----

'''Solución:'''

----
'''Ejercicio 2.''' Demostrar o refutar la siguiente afirmación: "F es satisfacible si y sólo si toda consecuencia lógica de F es satisfacible."
----

'''Solución:'''

----
'''Ejercicio 3.''' Demostrar mediante deducción natural:
: ¬(p ∧ ¬ q) ⊧ p → q
----

'''Solución:'''

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'''Ejercicio 4.''' Demostrar mediante deducción natural:
: (p ∨ q) ∧ (q → r) ⊧ p ∨ r.

----

'''Solución:'''

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'''Ejercicio 5.''' Demostrar mediante deducción natural:
: ⊧ (¬ q → ¬ p) ∨ (q → p)
----

Lógica informática (2014-15)

2014-10-14T10:10:44Z

Jalonso:

Relación 3

2014-10-12T08:31:35Z

Jalonso:

=== Relación 3: Temas 1 y 2 ===

----
'''Ejercicio 0.''' Demostrar mediante deducción natural:
: {p → q, p → r} ⊧ p → r
----

'''Solución:'''

[[Archivo:R3E0a.png]]

----
'''Ejercicio 1.''' Formalizar, y decidir la corrección, del siguiente argumento
<blockquote>
Si Dios fuera capaz de evitar el mal y quisiera hacerlo, lo haría. Si Dios fuera incapaz de evitar el mal, no sería omnipotente; si no quisiera evitar el mal sería malévolo. Dios no evita el mal. Si Dios existe, es omnipotente y no es malévolo. Luego, Dios no existe.
</blockquote>
Usando los símbolos C: Dios es capaz de evitar el mal, Q: Dios quiere evitar el mal, O: Dios es omnipotente, M: Dios es malévolo, P: Dios evita el mal, E: Dios existe.
----

'''Solución:'''
1. C∧Q→P premisa
2. ¬C→¬O premisa
3. ¬Q→M premisa
4. ¬P premisa
5. E→O∧¬M premisa
6. E supuesto
7. O∧¬M →e 5,6
8. O ∧e1 7
9. ¬M ∧e2 7
10. C MT 2,8
11. Q MT 3,9
12. C∧Q ∧i 10,11
13. P →e 1,12
14. P∧¬P ∧i 4, 13
15. ¬E ¬i 6-14

'''Comentario 1:''' Los líneas 10, 11 y 15 son incorrectas.

'''Comentario 2:'''

Queda demostrada la coherencia del problema, no así su veracidad.*

*Tenemos presente que desde siempre existen demagogos, personas que utilizando el arte de la lógica (ya lo decían los clásicos: ars artium), saben "demostrar" proposiciones. ¿Qué es lo que pasa? Que lo que demuestran son coherencias, no la veracidad de las afirmaciones finales. Aquí, amable lector, ocurre lo mismo, se demuestra la coherencia de un sistema, no su veracidad.
*¿Y eso por qué? Porque parte de premisas erróneas, como es el caso. (Daré unos pequeños apuntes, para más información, el Catecismo de la Iglesia Católica, 309-314: http://www.vatican.va/archive/catechism_sp/p1s2c1p4_sp.html )
*Este plantamiento ha estado presente a lo largo de toda la historia. De él, los autores espirituales han dicho que: el sofisma parte una premisa falsa: ¿qué se entiende por mal? Si el mal es absoluto, el planteamiento es correcto. Lo que ocurre es que ese mal no es total, hay un bien detrás de todo mal físico. ¿Pero que bien tiene un terremoto? A nuestra vista, que solo ve el presente, ninguno; pero Dios ve todo el tiempo, ya que no es un ser temporal, y Él sabe más. Además, de ese mal sacará bienes espirituales aun mayores que cualquier mal físico. Ya se que para esto hace falta "las gafas de la fe". Esta, la fe, no incorpora a la mente lo irracional, sino que le da profundidad a lo natural, "viendo" algunas cosas ya desde la perspectiva divina por la revelación.
*Sin más, quería dar mi opinión sobre dicho problema.

----
'''Ejercicio 2.''' Demostrar o refutar las siguiente proposición: Para todo conjunto de fórmula S y para toda fórmula F se verifica que si F no es consecuencia de S, entonces ¬F es consecuencia de S.
----

'''Solución:'''

----
'''Ejercicio 3.''' Demostrar mediante deducción natural:
: (p → q) → r ⊧ p → (q → r)
----

'''Solución:'''

----
'''Ejercicio 4.''' Demostrar mediante deducción natural:
: (p → q) ∧ (p → r) ⊧ p → q ∧ r
----

'''Solución:'''
1. (p->q)^(p->r) Premisa Hqd p->q^r
2. p Sup
3. q ->e 1,2
4. r ->e 1,2
5. q^r ^i 3,4
6. p->q^r ->e 2,5

'''Comentario:''' Las líneas 2 y 3 son incorrectas.

----
'''Ejercicio 5.''' Demostrar mediante deducción natural:
: (p → r) ∧ (q → r) ⊧ p ∨ q → r
----

'''Solución:'''
1. (p->r)^(q->r) Premisa Hqd p∨q->r
2. p Sup
3. r ->e 1,2
4. q Sup
5. r ->e 1,4
6. p∨q->r ->e 2-5

'''Comentario:''' A partir de la línea 2 es incorrecta.

----
'''Ejercicio 6.''' Demostrar mediante deducción natural:
: {p → r, r → ¬ q} ⊧ ¬(p ∧ q)
----

'''Solución:'''

Relación 3

2014-10-08T19:42:12Z

Jalonso:

=== Relación 3: Temas 1 y 2 ===

----
'''Ejercicio 0.''' Demostrar mediante deducción natural:
: {p → q, p → r} ⊧ p → r
----

'''Solución:'''

[[Archivo:R3E0a.png]]

----
'''Ejercicio 1.''' Formalizar, y decidir la corrección, del siguiente argumento
<blockquote>
Si Dios fuera capaz de evitar el mal y quisiera hacerlo, lo haría. Si Dios fuera incapaz de evitar el mal, no sería omnipotente; si no quisiera evitar el mal sería malévolo. Dios no evita el mal. Si Dios existe, es omnipotente y no es malévolo. Luego, Dios no existe.
</blockquote>
Usando los símbolos C: Dios es capaz de evitar el mal, Q: Dios quiere evitar el mal, O: Dios es omnipotente, M: Dios es malévolo, P: Dios evita el mal, E: Dios existe.
----

'''Solución:'''
1. C∧Q→P premisa
2. ¬C→¬O premisa
3. ¬Q→M premisa
4. ¬P premisa
5. E→O∧¬M premisa
6. E supuesto
7. O∧¬M →e 5,6
8. O ∧e1 7
9. ¬M ∧e2 7
10. C MT 2,8
11. Q MT 3,9
12. C∧Q ∧i 10,11
13. P →e 1,12
14. P∧¬P ∧i 4, 13
15. ¬E ¬i 6-14

Queda demostrada la coherencia del problema, no así su veracidad.*

*Tenemos presente que desde siempre existen demagogos, personas que utilizando el arte de la lógica (ya lo decían los clásicos: ars artium), saben "demostrar" proposiciones. ¿Qué es lo que pasa? Que lo que demuestran son coherencias, no la veracidad de las afirmaciones finales. Aquí, amable lector, ocurre lo mismo, se demuestra la coherencia de un sistema, no su veracidad.
*¿Y eso por qué? Porque parte de premisas erróneas, como es el caso. (Daré unos pequeños apuntes, para más información, el Catecismo de la Iglesia Católica, 309-314: http://www.vatican.va/archive/catechism_sp/p1s2c1p4_sp.html )
*Este plantamiento ha estado presente a lo largo de toda la historia. De él, los autores espirituales han dicho que: el sofisma parte una premisa falsa: ¿qué se entiende por mal? Si el mal es absoluto, el planteamiento es correcto. Lo que ocurre es que ese mal no es total, hay un bien detrás de todo mal físico. ¿Pero que bien tiene un terremoto? A nuestra vista, que solo ve el presente, ninguno; pero Dios ve todo el tiempo, ya que no es un ser temporal, y Él sabe más. Además, de ese mal sacará bienes espirituales aun mayores que cualquier mal físico. Ya se que para esto hace falta "las gafas de la fe". Esta, la fe, no incorpora a la mente lo irracional, sino que le da profundidad a lo natural, "viendo" algunas cosas ya desde la perspectiva divina por la revelación.
*Sin más, quería dar mi opinión sobre dicho problema.

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'''Ejercicio 2.''' Demostrar o refutar las siguiente proposición: Para todo conjunto de fórmula S y para toda fórmula F se verifica que si F no es consecuencia de S, entonces ¬F es consecuencia de S.
----

'''Solución:'''

----
'''Ejercicio 3.''' Demostrar mediante deducción natural:
: (p → q) → r ⊧ p → (q → r)
----

'''Solución:'''

----
'''Ejercicio 4.''' Demostrar mediante deducción natural:
: (p → q) ∧ (p → r) ⊧ p → q ∧ r
----

'''Solución:'''

----
'''Ejercicio 5.''' Demostrar mediante deducción natural:
: (p → r) ∧ (q → r) ⊧ p ∨ q → r
----

'''Solución:'''

----
'''Ejercicio 6.''' Demostrar mediante deducción natural:
: {p → r, r → ¬ q} ⊧ ¬(p ∧ q)
----

'''Solución:'''

Relación 3

2014-10-08T11:37:42Z

Jalonso:

=== Relación 3: Temas 1 y 2 ===

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'''Ejercicio 0.''' Demostrar mediante deducción natural:
: {p → q, p → r} ⊧ p → r
----

'''Solución:'''

[[Archivo:R3E0a.png]]

[[Archivo:R3E0b.png]]

----
'''Ejercicio 1.''' Formalizar, y decidir la corrección, del siguiente argumento
<blockquote>
Si Dios fuera capaz de evitar el mal y quisiera hacerlo, lo haría. Si Dios fuera incapaz de evitar el mal, no sería omnipotente; si no quisiera evitar el mal sería malévolo. Dios no evita el mal. Si Dios existe, es omnipotente y no es malévolo. Luego, Dios no existe.
</blockquote>
Usando los símbolos C: Dios es capaz de evitar el mal, Q: Dios quiere evitar el mal, O: Dios es omnipotente, M: Dios es malévolo, P: Dios evita el mal, E: Dios existe.
----

'''Solución:'''

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'''Ejercicio 2.''' Demostrar o refutar las siguiente proposición: Para todo conjunto de fórmula S y para toda fórmula F se verifica que si F no es consecuencia de D, entonces ¬F es consecuencia de S.
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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 3.''' Demostrar mediante deducción natural:
: (p → q) → r ⊧ p → (q → r)
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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 4.''' Demostrar mediante deducción natural:
: (p → q) ∧ (p → r) ⊧ p → q ∧ r
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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 5.''' Demostrar mediante deducción natural:
: (p → r) ∧ (q → r) ⊧ p ∨ q → r
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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 6.''' Demostrar mediante deducción natural:
: {p → r, r → ¬ q} ⊧ ¬(p ∧ q)
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'''Solución:'''

Relación 3

2014-10-08T11:37:29Z

Jalonso:

=== Relación 3: Temas 1 y 2 ===

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'''Ejercicio 0.''' Demostrar mediante deducción natural:
: {p → q, p → r} ⊧ p → r
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'''Solución:'''

[[Archivo:R3E0a.png]]

[[Archivo:R3E0a.png]]

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'''Ejercicio 1.''' Formalizar, y decidir la corrección, del siguiente argumento
<blockquote>
Si Dios fuera capaz de evitar el mal y quisiera hacerlo, lo haría. Si Dios fuera incapaz de evitar el mal, no sería omnipotente; si no quisiera evitar el mal sería malévolo. Dios no evita el mal. Si Dios existe, es omnipotente y no es malévolo. Luego, Dios no existe.
</blockquote>
Usando los símbolos C: Dios es capaz de evitar el mal, Q: Dios quiere evitar el mal, O: Dios es omnipotente, M: Dios es malévolo, P: Dios evita el mal, E: Dios existe.
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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 2.''' Demostrar o refutar las siguiente proposición: Para todo conjunto de fórmula S y para toda fórmula F se verifica que si F no es consecuencia de D, entonces ¬F es consecuencia de S.
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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 3.''' Demostrar mediante deducción natural:
: (p → q) → r ⊧ p → (q → r)
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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 4.''' Demostrar mediante deducción natural:
: (p → q) ∧ (p → r) ⊧ p → q ∧ r
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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 5.''' Demostrar mediante deducción natural:
: (p → r) ∧ (q → r) ⊧ p ∨ q → r
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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 6.''' Demostrar mediante deducción natural:
: {p → r, r → ¬ q} ⊧ ¬(p ∧ q)
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'''Solución:'''

Archivo:R3E0a.png

2014-10-07T22:16:11Z

Jalonso:

Relación 3

2014-10-07T22:15:35Z

Jalonso:

Relación 3

2014-10-07T22:09:42Z

Jalonso: Página creada con '=== Relación 3: Temas 1 y 2 === ---- '''Ejercicio 1.''' Formalizar, y decidir la corrección, del siguiente argumento <blockquote> Si Dios fuera capaz de evitar el mal y quis...'

=== Relación 3: Temas 1 y 2 ===

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'''Ejercicio 1.''' Formalizar, y decidir la corrección, del siguiente argumento
<blockquote>
Si Dios fuera capaz de evitar el mal y quisiera hacerlo, lo haría. Si Dios fuera incapaz de evitar el mal, no sería omnipotente; si no quisiera evitar el mal sería malévolo. Dios no evita el mal. Si Dios existe, es omnipotente y no es malévolo. Luego, Dios no existe.
</blockquote>
Usando los símbolos C: Dios es capaz de evitar el mal, Q: Dios quiere evitar el mal, O: Dios es omnipotente, M: Dios es malévolo, P: Dios evita el mal, E: Dios existe.
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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 2.''' Demostrar o refutar las siguiente proposición: Para todo conjunto de fórmula S y para toda fórmula F se verifica que si F no es consecuencia de D, entonces ¬F es consecuencia de S.
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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 3.''' Demostrar mediante deducción natural:
: (p → q) → r ⊧ p → (q → r)
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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 4.''' Demostrar mediante deducción natural:
: (p → q) ∧ (p → r) ⊧ p → q ∧ r
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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 5.''' Demostrar mediante deducción natural:
: (p → r) ∧ (q → r) ⊧ p ∨ q → r
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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 6.''' Demostrar mediante deducción natural:
: {p → r, r → ¬ q} ⊧ ¬(p ∧ q)
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'''Solución:'''

R3

2014-10-07T22:08:28Z

Jalonso: Protegió «R3» ([edit=sysop] (indefinido) [move=sysop] (indefinido))

R3

2014-10-07T22:05:41Z

Lógica informática (2014-15)

2014-10-07T22:04:59Z

Jalonso:

Relación 2

2014-10-03T12:35:38Z

Jalonso: /* Relación 2: Semántica proposicional */

=== Relación 2: Semántica proposicional ===

<div style="color: red">
'''Nota.''' En todos los ejercicios hay que '''razonar''' la respuesta.
</div>

----
'''Ejercicio 1.''' Clasificar las fórmulas siguientes en tautologías, contingentes y contradicciones. ¿Cuáles son satisfacibles? ¿Cuáles son insatisfacibles?

# p → (q → r ∧ q)
# q → ((p ∧ ¬p) → r)
# (p ↔ q) ∧ (p → ¬q) ∧ p
# (p ∧ r) ∨ (¬ p ∧ q) → ¬ q

----

'''Solución:'''
* Contingente y satisfacible: 1,2 Y 4
* Contradicción e insatisfacible: 3

'''2ª Solución del 1º apartado:'''

Por el método de Quine, sabemos que no es tautología porque para la valoración I(p)=1, I(q)=1, I(r)=0 obtenemos que la fórmula es insatisfacible.
Es contingente ya que para la valoración I(p)=0, I(q)=1, I(r)=0 la fórmula es satisfacible.

'''2ª Solución del 2º apartado:'''

La subfófmula (p ∧ ¬p) siempre será falsa, por lo tanto la fórmula solo será cierta cuando I(q)=0, independientemente de lo que valga r. Contingente.

'''2ª Solución del 3º apartado:'''

p | q | fórmula
0 | 0 | 0
0 | 1 | 0
1 | 0 | 0
1 | 1 | 0

Contradicción, su tabla de verdad siempre vale 0.

''Comentario:'' Las [http://es.wikipedia.org/wiki/Ayuda:Tablas tablas] también se pueden escribir como sigue

{| border="1"
| p || q || fórmula
|-
| 0 || 0 || 0
|-
| 0 || 1 || 0
|-
| 1 || 0 || 0
|-
| 1 || 1 || 0
|}

'''2ª Solución del 4º apartado:'''

Al realizar su tabla de verdad, obtenemos que es cierta para algunos casos y falsas para otros, por lo tanto la fórmula es contingente.

----
'''Ejercicio 2.''' Un rey somete a un prisionero a la siguiente prueba: lo enfrenta a dos puertas, de las que el prisionero debe elegir una, y entrar en la habitación correspondiente. Se informa al prisionero que en cada una de las habitaciones puede haber un tigre o una dama. Como es natural, el prisionero debe elegir la puerta que le lleva a la dama (entre otras cosas, para no ser devorado por el tigre). Para ayudarle, en cada puerta hay un letrero:

* puerta 1: en esta habitación hay una dama y en la otra un tigre.
* puerta 2: en una de estas habitaciones hay una dama y en una de estas habitaciones hay un tigre.

Sabiendo que uno de los carteles dice la verdad y el otro no, determinar la puerta que debe de elegir el prisionero.
----

'''Solución 1:''' La pista correcta es la de la pista uno, por lo tanto, será la primera puerta la que salve al prisionero.

'''Solución 2:''' Uno de los dos carteles dice la verdad, lógicamente es el segundo, puesto que lo dice el enunciado. Por lo tanto, la primera puerta
no dice la verdad, y el prisionero debería entrar en la puerta 2 si quiere seguir con vida.

----
'''Ejercicio 3.''' ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?
----

'''Solución:''' S = { p ^ ¬p , q ^ ¬q, r}.

----
'''Ejercicio 4.''' ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo.
----

'''Solución 1:''' p → q ^ ¬q: no es satisfascible F: contraejemplo no válido

'''Solución 2:''' Sí, ya que el único modelo de F, al ser atómica, es 1, y para que F → G sea satisfascible, G no puede dar 0. Por tanto, G tiene que ser satisfascible.

----
'''Ejercicio 5.''' Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:

# Si F es una fórmula satisfacible, entonces todas las subfórmulas de F son satisfacibles.
# Existen fórmulas válidas tales que todas sus subfórmulas son válidas.
----

'''Solución del 1º apartado'''
Sea F = p ^ ¬p → q. F es tautología, pero la subfórmula p ^ ¬p es insatisfacible.

'''Solución del 2º apartado'''
p v p

Relación 2

2014-10-03T12:30:32Z

Jalonso: /* Relación 2: Semántica proposicional */

=== Relación 2: Semántica proposicional ===

<div style="color: red">
'''Nota.''' En todos los ejercicios hay que '''razonar''' la respuesta.
</div>

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'''Ejercicio 1.''' Clasificar las fórmulas siguientes en tautologías, contingentes y contradicciones. ¿Cuáles son satisfacibles? ¿Cuáles son insatisfacibles?

# p → (q → r ∧ q)
# q → ((p ∧ ¬p) → r)
# (p ↔ q) ∧ (p → ¬q) ∧ p
# (p ∧ r) ∨ (¬ p ∧ q) → ¬ q

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'''Solución:'''
* Contingente y satisfacible: 1,2 Y 4
* Contradicción e insatisfacible: 3

'''2ª Solución del 1º apartado:'''

Por el método de Quine, sabemos que no es tautología porque para la valoración I(p)=1, I(q)=1, I(r)=0 obtenemos que la fórmula es insatisfacible.
Es contingente ya que para la valoración I(p)=0, I(q)=1, I(r)=0 la fórmula es satisfacible.

'''2ª Solución del 2º apartado:'''

La subfófmula (p ∧ ¬p) siempre será falsa, por lo tanto la fórmula solo será cierta cuando I(q)=0, independientemente de lo que valga r. Contingente.

'''2ª Solución del 3º apartado:'''

p | q | fórmula
0 | 0 | 0
0 | 1 | 0
1 | 0 | 0
1 | 1 | 0

Contradicción, su tabla de verdad siempre vale 0.

''Comentario:'' Las tablas también se pueden escribir como sigue

{|
p || q || fórmula
|-
0 || 0 || 0
|-
0 || 1 || 0
|-
1 || 0 || 0
|-
1 || 1 || 0
|}

'''2ª Solución del 4º apartado:'''

Al realizar su tabla de verdad, obtenemos que es cierta para algunos casos y falsas para otros, por lo tanto la fórmula es contingente.

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'''Ejercicio 2.''' Un rey somete a un prisionero a la siguiente prueba: lo enfrenta a dos puertas, de las que el prisionero debe elegir una, y entrar en la habitación correspondiente. Se informa al prisionero que en cada una de las habitaciones puede haber un tigre o una dama. Como es natural, el prisionero debe elegir la puerta que le lleva a la dama (entre otras cosas, para no ser devorado por el tigre). Para ayudarle, en cada puerta hay un letrero:

* puerta 1: en esta habitación hay una dama y en la otra un tigre.
* puerta 2: en una de estas habitaciones hay una dama y en una de estas habitaciones hay un tigre.

Sabiendo que uno de los carteles dice la verdad y el otro no, determinar la puerta que debe de elegir el prisionero.
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'''Solución 1:''' La pista correcta es la de la pista uno, por lo tanto, será la primera puerta la que salve al prisionero.

'''Solución 2:''' Uno de los dos carteles dice la verdad, lógicamente es el segundo, puesto que lo dice el enunciado. Por lo tanto, la primera puerta
no dice la verdad, y el prisionero debería entrar en la puerta 2 si quiere seguir con vida.

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'''Ejercicio 3.''' ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?
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'''Solución:''' S = { p ^ ¬p , q ^ ¬q, r}.

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'''Ejercicio 4.''' ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo.
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'''Solución 1:''' p → q ^ ¬q: no es satisfascible F: contraejemplo no válido

'''Solución 2:''' Sí, ya que el único modelo de F, al ser atómica, es 1, y para que F → G sea satisfascible, G no puede dar 0. Por tanto, G tiene que ser satisfascible.

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'''Ejercicio 5.''' Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:

# Si F es una fórmula satisfacible, entonces todas las subfórmulas de F son satisfacibles.
# Existen fórmulas válidas tales que todas sus subfórmulas son válidas.
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'''Solución del 1º apartado'''
Sea F = p ^ ¬p → q. F es tautología, pero la subfórmula p ^ ¬p es insatisfacible.

'''Solución del 2º apartado'''
p v p

Relación 2

2014-10-03T12:26:43Z

Jalonso: /* Relación 2: Semántica proposicional */

=== Relación 2: Semántica proposicional ===

<div style="color: red">
'''Nota.''' En todos los ejercicios hay que '''razonar''' la respuesta.
</div>

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'''Ejercicio 1.''' Clasificar las fórmulas siguientes en tautologías, contingentes y contradicciones. ¿Cuáles son satisfacibles? ¿Cuáles son insatisfacibles?

# p → (q → r ∧ q)
# q → ((p ∧ ¬p) → r)
# (p ↔ q) ∧ (p → ¬q) ∧ p
# (p ∧ r) ∨ (¬ p ∧ q) → ¬ q

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'''Solución:'''
* Contingente y satisfacible: 1,2 Y 4
* Contradicción e insatisfacible: 3

'''2ª Solución del 1º apartado:'''

Por el método de Quine, sabemos que no es tautología porque para la valoración I(p)=1, I(q)=1, I(r)=0 obtenemos que la fórmula es insatisfacible.
Es contingente ya que para la valoración I(p)=0, I(q)=1, I(r)=0 la fórmula es satisfacible.

'''2ª Solución del 2º apartado:'''

La subfófmula (p ∧ ¬p) siempre será falsa, por lo tanto la fórmula solo será cierta cuando I(q)=0, independientemente de lo que valga r. Contingente.

'''2ª Solución del 3º apartado:'''

p | q | fórmula
0 | 0 | 0
0 | 1 | 0
1 | 0 | 0
1 | 1 | 0

Contradicción, su tabla de verdad siempre vale 0.

'''2ª Solución del 4º apartado:'''

Al realizar su tabla de verdad, obtenemos que es cierta para algunos casos y falsas para otros, por lo tanto la fórmula es contingente.

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'''Ejercicio 2.''' Un rey somete a un prisionero a la siguiente prueba: lo enfrenta a dos puertas, de las que el prisionero debe elegir una, y entrar en la habitación correspondiente. Se informa al prisionero que en cada una de las habitaciones puede haber un tigre o una dama. Como es natural, el prisionero debe elegir la puerta que le lleva a la dama (entre otras cosas, para no ser devorado por el tigre). Para ayudarle, en cada puerta hay un letrero:

* puerta 1: en esta habitación hay una dama y en la otra un tigre.
* puerta 2: en una de estas habitaciones hay una dama y en una de estas habitaciones hay un tigre.

Sabiendo que uno de los carteles dice la verdad y el otro no, determinar la puerta que debe de elegir el prisionero.
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'''Solución 1:''' La pista correcta es la de la pista uno, por lo tanto, será la primera puerta la que salve al prisionero.

'''Solución 2:''' Uno de los dos carteles dice la verdad, lógicamente es el segundo, puesto que lo dice el enunciado. Por lo tanto, la primera puerta
no dice la verdad, y el prisionero debería entrar en la puerta 2 si quiere seguir con vida.

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'''Ejercicio 3.''' ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?
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'''Solución:''' S = { p ^ ¬p , q ^ ¬q, r}.

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'''Ejercicio 4.''' ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo.
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'''Solución 1:''' p → q ^ ¬q: no es satisfascible F: contraejemplo no válido

'''Solución 2:''' Sí, ya que el único modelo de F, al ser atómica, es 1, y para que F → G sea satisfascible, G no puede dar 0. Por tanto, G tiene que ser satisfascible.

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'''Ejercicio 5.''' Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:

# Si F es una fórmula satisfacible, entonces todas las subfórmulas de F son satisfacibles.
# Existen fórmulas válidas tales que todas sus subfórmulas son válidas.
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'''Solución del 1º apartado'''
Sea F = p ^ ¬p → q. F es tautología, pero la subfórmula p ^ ¬p es insatisfacible.

'''Solución del 2º apartado'''
p v p

Relación 2

2014-10-03T12:26:04Z

Jalonso: /* Relación 2: Semántica proposicional */

=== Relación 2: Semántica proposicional ===

<div style="color: red">
'''Nota.''' En todos los ejercicios hay que '''razonar''' la respuesta.
</div>

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'''Ejercicio 1.''' Clasificar las fórmulas siguientes en tautologías, contingentes y contradicciones. ¿Cuáles son satisfacibles? ¿Cuáles son insatisfacibles?

# p → (q → r ∧ q)
# q → ((p ∧ ¬p) → r)
# (p ↔ q) ∧ (p → ¬q) ∧ p
# (p ∧ r) ∨ (¬ p ∧ q) → ¬ q

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'''Solución:'''
* Contingente y satisfacible: 1,2 Y 4
* Contradicción e insatisfacible: 3

'''2ª Solución del 1º apartado:'''

Por el método de Quine, sabemos que no es tautología porque para la valoración I(p)=1, I(q)=1, I(r)=0 obtenemos que la fórmula es insatisfacible.
Es contingente ya que para la valoración I(p)=0, I(q)=1, I(r)=0 la fórmula es satisfacible.

'''2ª Solución del 2º apartado:'''

La subfófmula (p ∧ ¬p) siempre será falsa, por lo tanto la fórmula solo será cierta cuando I(q)=0, independientemente de lo que valga r. Contingente.

'''2ª Solución del 3º apartado:'''

<pre>
p | q | fórmula
0 | 0 | 0
0 | 1 | 0
1 | 0 | 0
1 | 1 | 0
</pre>
Contradicción, su tabla de verdad siempre vale 0.

'''2ª Solución del 4º apartado:'''

Al realizar su tabla de verdad, obtenemos que es cierta para algunos casos y falsas para otros, por lo tanto la fórmula es contingente.

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'''Ejercicio 2.''' Un rey somete a un prisionero a la siguiente prueba: lo enfrenta a dos puertas, de las que el prisionero debe elegir una, y entrar en la habitación correspondiente. Se informa al prisionero que en cada una de las habitaciones puede haber un tigre o una dama. Como es natural, el prisionero debe elegir la puerta que le lleva a la dama (entre otras cosas, para no ser devorado por el tigre). Para ayudarle, en cada puerta hay un letrero:

* puerta 1: en esta habitación hay una dama y en la otra un tigre.
* puerta 2: en una de estas habitaciones hay una dama y en una de estas habitaciones hay un tigre.

Sabiendo que uno de los carteles dice la verdad y el otro no, determinar la puerta que debe de elegir el prisionero.
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'''Solución 1:''' La pista correcta es la de la pista uno, por lo tanto, será la primera puerta la que salve al prisionero.

'''Solución 2:''' Uno de los dos carteles dice la verdad, lógicamente es el segundo, puesto que lo dice el enunciado. Por lo tanto, la primera puerta
no dice la verdad, y el prisionero debería entrar en la puerta 2 si quiere seguir con vida.

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'''Ejercicio 3.''' ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?
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'''Solución:''' S = { p ^ ¬p , q ^ ¬q, r}.

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'''Ejercicio 4.''' ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo.
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'''Solución 1:''' p → q ^ ¬q: no es satisfascible F: contraejemplo no válido

'''Solución 2:''' Sí, ya que el único modelo de F, al ser atómica, es 1, y para que F → G sea satisfascible, G no puede dar 0. Por tanto, G tiene que ser satisfascible.

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'''Ejercicio 5.''' Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:

# Si F es una fórmula satisfacible, entonces todas las subfórmulas de F son satisfacibles.
# Existen fórmulas válidas tales que todas sus subfórmulas son válidas.
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'''Solución del 1º apartado'''
Sea F = p ^ ¬p → q. F es tautología, pero la subfórmula p ^ ¬p es insatisfacible.

'''Solución del 2º apartado'''
p v p

Relación 2

2014-10-03T12:25:27Z

Jalonso: /* Relación 2: Semántica proposicional */

=== Relación 2: Semántica proposicional ===

<div style="color: red">
'''Nota.''' En todos los ejercicios hay que '''razonar''' la respuesta.
</div>

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'''Ejercicio 1.''' Clasificar las fórmulas siguientes en tautologías, contingentes y contradicciones. ¿Cuáles son satisfacibles? ¿Cuáles son insatisfacibles?

# p → (q → r ∧ q)
# q → ((p ∧ ¬p) → r)
# (p ↔ q) ∧ (p → ¬q) ∧ p
# (p ∧ r) ∨ (¬ p ∧ q) → ¬ q

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'''Solución:'''
* Contingente y satisfacible: 1,2 Y 4
* Contradicción e insatisfacible: 3

'''2ª Solución del 1º apartado:'''

Por el método de Quine, sabemos que no es tautología porque para la valoración I(p)=1, I(q)=1, I(r)=0 obtenemos que la fórmula es insatisfacible.
Es contingente ya que para la valoración I(p)=0, I(q)=1, I(r)=0 la fórmula es satisfacible.

'''2ª Solución del 2º apartado:'''

La subfófmula (p ∧ ¬p) siempre será falsa, por lo tanto la fórmula solo será cierta cuando I(q)=0, independientemente de lo que valga r. Contingente.

'''2ª Solución del 3º apartado:'''

p | q | fórmula
0 | 0 | 0
0 | 1 | 0
1 | 0 | 0
1 | 1 | 0

Contradicción, su tabla de verdad siempre vale 0.

'''2ª Solución del 4º apartado:'''

Al realizar su tabla de verdad, obtenemos que es cierta para algunos casos y falsas para otros, por lo tanto la fórmula es contingente.

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'''Ejercicio 2.''' Un rey somete a un prisionero a la siguiente prueba: lo enfrenta a dos puertas, de las que el prisionero debe elegir una, y entrar en la habitación correspondiente. Se informa al prisionero que en cada una de las habitaciones puede haber un tigre o una dama. Como es natural, el prisionero debe elegir la puerta que le lleva a la dama (entre otras cosas, para no ser devorado por el tigre). Para ayudarle, en cada puerta hay un letrero:

* puerta 1: en esta habitación hay una dama y en la otra un tigre.
* puerta 2: en una de estas habitaciones hay una dama y en una de estas habitaciones hay un tigre.

Sabiendo que uno de los carteles dice la verdad y el otro no, determinar la puerta que debe de elegir el prisionero.
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'''Solución 1:''' La pista correcta es la de la pista uno, por lo tanto, será la primera puerta la que salve al prisionero.

'''Solución 2:''' Uno de los dos carteles dice la verdad, lógicamente es el segundo, puesto que lo dice el enunciado. Por lo tanto, la primera puerta
no dice la verdad, y el prisionero debería entrar en la puerta 2 si quiere seguir con vida.

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'''Ejercicio 3.''' ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?
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'''Solución:''' S = { p ^ ¬p , q ^ ¬q, r}.

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'''Ejercicio 4.''' ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo.
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'''Solución 1:''' p → q ^ ¬q: no es satisfascible F: contraejemplo no válido

'''Solución 2:''' Sí, ya que el único modelo de F, al ser atómica, es 1, y para que F → G sea satisfascible, G no puede dar 0. Por tanto, G tiene que ser satisfascible.

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'''Ejercicio 5.''' Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:

# Si F es una fórmula satisfacible, entonces todas las subfórmulas de F son satisfacibles.
# Existen fórmulas válidas tales que todas sus subfórmulas son válidas.
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'''Solución del 1º apartado'''
Sea F = p ^ ¬p → q. F es tautología, pero la subfórmula p ^ ¬p es insatisfacible.

'''Solución del 2º apartado'''
p v p

Relación 2

2014-10-03T12:23:59Z

Jalonso: /* Relación 2: Semántica proposicional */

=== Relación 2: Semántica proposicional ===

<pre style="color: red">
'''Nota.''' En todos los ejercicios hay que '''razonar''' la respuesta.
</pre>

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'''Ejercicio 1.''' Clasificar las fórmulas siguientes en tautologías, contingentes y contradicciones. ¿Cuáles son satisfacibles? ¿Cuáles son insatisfacibles?

# p → (q → r ∧ q)
# q → ((p ∧ ¬p) → r)
# (p ↔ q) ∧ (p → ¬q) ∧ p
# (p ∧ r) ∨ (¬ p ∧ q) → ¬ q

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'''Solución:'''
* Contingente y satisfacible: 1,2 Y 4
* Contradicción e insatisfacible: 3

'''2ª Solución del 1º apartado:'''

Por el método de Quine, sabemos que no es tautología porque para la valoración I(p)=1, I(q)=1, I(r)=0 obtenemos que la fórmula es insatisfacible.
Es contingente ya que para la valoración I(p)=0, I(q)=1, I(r)=0 la fórmula es satisfacible.

'''2ª Solución del 2º apartado:'''

La subfófmula (p ∧ ¬p) siempre será falsa, por lo tanto la fórmula solo será cierta cuando I(q)=0, independientemente de lo que valga r. Contingente.

'''2ª Solución del 3º apartado:'''

p | q | fórmula
0 | 0 | 0
0 | 1 | 0
1 | 0 | 0
1 | 1 | 0

Contradicción, su tabla de verdad siempre vale 0.

'''2ª Solución del 4º apartado:'''

Al realizar su tabla de verdad, obtenemos que es cierta para algunos casos y falsas para otros, por lo tanto la fórmula es contingente.

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'''Ejercicio 2.''' Un rey somete a un prisionero a la siguiente prueba: lo enfrenta a dos puertas, de las que el prisionero debe elegir una, y entrar en la habitación correspondiente. Se informa al prisionero que en cada una de las habitaciones puede haber un tigre o una dama. Como es natural, el prisionero debe elegir la puerta que le lleva a la dama (entre otras cosas, para no ser devorado por el tigre). Para ayudarle, en cada puerta hay un letrero:

* puerta 1: en esta habitación hay una dama y en la otra un tigre.
* puerta 2: en una de estas habitaciones hay una dama y en una de estas habitaciones hay un tigre.

Sabiendo que uno de los carteles dice la verdad y el otro no, determinar la puerta que debe de elegir el prisionero.
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'''Solución 1:''' La pista correcta es la de la pista uno, por lo tanto, será la primera puerta la que salve al prisionero.

'''Solución 2:''' Uno de los dos carteles dice la verdad, lógicamente es el segundo, puesto que lo dice el enunciado. Por lo tanto, la primera puerta
no dice la verdad, y el prisionero debería entrar en la puerta 2 si quiere seguir con vida.

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'''Ejercicio 3.''' ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?
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'''Solución:''' S = { p ^ ¬p , q ^ ¬q, r}.

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'''Ejercicio 4.''' ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo.
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'''Solución 1:''' p → q ^ ¬q: no es satisfascible F: contraejemplo no válido

'''Solución 2:''' Sí, ya que el único modelo de F, al ser atómica, es 1, y para que F → G sea satisfascible, G no puede dar 0. Por tanto, G tiene que ser satisfascible.

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'''Ejercicio 5.''' Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:

# Si F es una fórmula satisfacible, entonces todas las subfórmulas de F son satisfacibles.
# Existen fórmulas válidas tales que todas sus subfórmulas son válidas.
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'''Solución del 1º apartado'''
Sea F = p ^ ¬p → q. F es tautología, pero la subfórmula p ^ ¬p es insatisfacible.

'''Solución del 2º apartado'''
p v p