Lógica informática (2014-15) - Contribuciones del usuario [es]

Relación 9

2014-12-03T15:43:18Z

Andjimrio: /* Relación 9: Temas 1 a 7 */

=== Relación 9: Temas 1 a 7 ===

----
'''Ejercicio 1.''' Formalizar el siguiente argumento
<blockquote>
Todos los participantes son vencedores. Hay como máximo un vencedor. Hay como máximo un participante. Por lo tanto, hay exactamente un participante.
</blockquote>

Nota: Comprobar la formalización con [http://bit.ly/1pkvwsf APLI2].
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'''Solución:'''

[[Archivo:Ejercicio_1.PNG]]

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'''Ejercicio 2.''' Demostrar o refutar la siguiente proposición
<blockquote>
Si la fórmula F se puede demostrar por deducción natural a partir del conjunto de fórmulas S y también se puede demostrar a partir del conjunto de fórmulas T, entonces F se puede demostrar por deducción natural a partir de la intersección de S y T.
</blockquote>
----

'''Solución:'''

[[Archivo:Ejercicio_2.PNG]]

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'''Ejercicio 3.''' Demostrar por deducción natural
: ((p → q ∧ ¬ r) → p) → p
----

'''Solución:'''

[[Archivo:Ejercicio_3.PNG]]

----
'''Ejercicio 4.''' Decidir, mediante tableros semánticos, si la fórmula
: F : (p ∧ q → r ∨ ¬ s) → (¬ r ∧ q → ¬ p)
es una tautología. Si no lo es, calcular a partir del tablero, un modelo de ¬F, una forma normal conjuntiva de F y una forma clausal de F.
----

'''Solución:'''

[[Archivo:Ejercicio_4a.PNG]]
[[Archivo:Ejercicio_4b.PNG]]

----
'''Ejercicio 5.''' Probar por resolución proposicional que
: {p ∨ q ↔ ¬r, ¬p → s, ¬t → q, s ∧ t → u } ⊢ r → u.
----

'''Solución:'''

[[Archivo:Ejercicio_5.PNG]]

Archivo:Ejercicio 5.PNG

2014-12-03T15:42:48Z

Andjimrio:

Archivo:Ejercicio 2.PNG

2014-12-03T15:42:40Z

Andjimrio: subió una nueva versión de «Archivo:Ejercicio 2.PNG»

Relación 9

2014-12-02T16:24:48Z

Andjimrio: /* Relación 9: Temas 1 a 7 */

Archivo:Ejercicio 4b.PNG

2014-12-02T16:23:24Z

Andjimrio:

Archivo:Ejercicio 4a.PNG

2014-12-02T16:22:45Z

Andjimrio:

Archivo:Ejercicio 3.PNG

2014-12-02T16:22:34Z

Andjimrio:

Archivo:Ejercicio 2.PNG

2014-12-02T16:22:28Z

Andjimrio:

Archivo:Ejercicio 1.PNG

2014-12-02T16:21:44Z

Andjimrio:

Relación 8

2014-11-24T18:50:16Z

Andjimrio: /* Relación 8: Temas 1 a 7 */

=== Relación 8: Temas 1 a 7 ===

----
'''Ejercicio 1.''' Decidir, mediante resolución, DPLL y tableros semánticos, si
: {p → q, ¬p → r, q ∨ r → s} ⊧ s

En caso afirmativo, probarlo por deducción natural.

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'''Solución:'''
RES:
p → q
≡ ¬p v q
1: {¬p, q}

¬p → r
≡ ¬¬p v r
≡ p v r
2: {p, r}

q v r → s
≡ ¬(q v r) v s
≡ (¬q ^ ¬r) v s
≡ (¬q v s) ^ (¬r v s)
3: {¬q, s}
4: {¬r, s}

¬s
5: {¬s}

{¬p, q} {p, r} {¬q, s} {¬r, s} {¬s}

res ({¬s}, {¬q, s}) = {¬q}
res ({¬s}, {¬r, s}) = {¬r}
res ({¬r}, {p, r}) = { p}
res ({p}, {¬p, q}) = { q}
res ({q}, {¬q}) = []

DPLL:

{{¬p, q} {p, r} {¬q, s} {¬r, s} {¬s}}
~ {{¬p, q} {p, r} {¬q} {¬r}} UNITARIA {¬s}
~ {{¬p, q} {p} {¬q}} UNITARIA {¬r}
~ {{¬p {p}} UNITARIA {¬q}
~ {[]} UNITARIA {p}

TS:

1. p → q
2. ¬p → r
3. q v r → s
4. ¬s
5. ¬(q v r) (3) 6. s (3)
7. ¬q (5) *(4,6)
8. ¬r (5)
9. ¬p (1) 10. q (1)
11. p (2) 12. r (2) *(7,10)
*(9,11) *(8,12)

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'''Ejercicio 2.''' Decidir, utilizando formas normales, tableros semánticos,
resolución y DPLL, si la fórmula
: (q → p ∧ r) ∨ ¬(p ↔ p ∨ q)

es una tautología.

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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 3.''' Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:
* Sean G₁ una forma normal disyuntiva de F₁ y G₂ una forma normal disyuntiva de F₂. Si F₁ y F₂ son equivalentes, entonces G₁ y G₂ son fórmulas iguales.
* Para toda fórmula F se tiene que si G₁ es una forma normal conjuntiva de F y G₂ es una forma normal normal disyuntiva de F, entonces G₁ y G₂ son fórmulas distintas.

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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 4.''' Demostrar, por deducción natural, que la siguiente fórmula es insatisfacible:

: (¬p ∨ q) ∧ (p ∧ ¬q)

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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 5.''' Formalizar las siguiente sentencias utilizando los símbolos indicados:
* Los chinos tienen como máximo un hijo.
: (Símbolos: C(x) representa que x es chino y H(x, y) representa que x es hijo de y).
* Hay exactamente un participante.
: (Símbolos: P(x) representa que x es un participante).
* Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club.
: (Símbolos: S(x) representa que x es socio del club, D(x, y) representa que x está en deuda con y y a representa al tesorero del club).
* No hay ningún pez que se coma a todos los peces.
: (Símbolos: P(x) representa que x es un pez y C(x, y) representa que x se come a y).

----

'''Solución:'''

*∀x (C(x)∧∃y H(x,y)→∀z(H(x,z)→z=y))
*∀x (P(x)→∀y(P(y)→y=x)
*¬∃x (S(x)∧D(x,a))
*¬∃x (P(x)∧∀y (C(x,y)))

Relación 6

2014-11-03T14:49:02Z

Andjimrio: /* Relación 6: Temas 1 a 5 */

=== Relación 6: Temas 1 a 5 ===

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'''Ejercicio 1.''' Demostrar o refutar: Si T es un tablero de S1, I es un
modelo de una hoja abierta de T y S2 es un subconjunto de S1, entonces, I es
modelo de S2.
----

'''Solución:'''

I⊨S_1 ↦ I⊨{S_1,1 , S_1,1 , … , S_(1,n)} ↦ I⊨S_1,1∧ S_1,1∧…∧S_(1,n)

En el operador ∧ con que uno de sus operandos sea falso todo es falso. Si existe un una interpretación para S_1, ese modelo también lo será para cualquier subconjunto, en este caso, S_2

----
'''Ejercicio 2.''' Decidir la consistencia del siguiente conjunto de fórmulas,
mediante resolución proposicional y tableros semánticos
: {p ↔ ¬q, q → p, r → q, q → r ∧ p, (¬q → r) ∨ p }
----

'''Solución:'''

[[Archivo:Ejercicio2.PNG]]
[[Archivo:Ejercicio2b.PNG]]

----
'''Ejercicio 3.''' Demostrar o refutar las siguientes sentencias:
* Existen cláusulas C1, C2 y D tales que D es una resolvente de C1 y C2, D ⊂ C1 y D ≠ C1.
* Existen cláusulas C1, C2 y D tales que D es una resolvente de C1 y C2 y D = C1.
* Existen cláusulas C1, C2 y D tales que D es una resolvente de C1 y C2, C1 ⊂ D y C2 no es una tautología.
----

'''Solución:'''
*Cierto, ya que por la regla general de la resolución, una resolvente será el resultado de la unión de dos cláusulas quitando previamente un par de átomos complementarios. D, en este caso, será resolvente de C1 y de C2 y por ello, posee elementos de la primera cláusula sin llegar a identificarse, por haber quitado un literal.
C_1={p,q}
C_2={¬p}
D={q}
*Falso, ya que posee elementos de la primera cláusula sin llegar a identificarse, por haber quitado un literal.
*Falso. Al no poder ser C2 tautología, no podrá poseer átomos complementarios. Al hacer la resolvente, a D se le añadirán los átomos de C1 y C1, pero siempre perderá uno. Así, no podrá contener todos los átomos de C1.

----
'''Ejercicio 4.''' Decidir, mediante tableros semánticos, formas normales y resolución
:{C → A, G → D, ¬(B ∧ C ∧ G → E)} ⊧ A ∧ B ∧ C,

----

'''Solución:'''

----
'''Ejercicio 5.''' Formalizar el siguiente razonamiento y probar, mediante deducción natural, que es
correcto.
<blockquote>
Si el general era leal, hubiera obedecido las órdenes, y si era inteligente las
hubiera comprendido. O el general desobedeció las órdenes o no las
comprendió. Por lo tanto, el general era desleal o no era inteligente.
</blockquote>

----

'''Solución:'''

[[Archivo:Ejercicio5.PNG]]

Archivo:Ejercicio5.PNG

2014-11-03T14:48:56Z

Andjimrio:

Archivo:Ejercicio2b.PNG

2014-11-03T14:47:32Z

Andjimrio:

Archivo:Ejercicio2.PNG

2014-11-03T14:47:05Z

Andjimrio:

Relación 6

2014-11-03T14:46:31Z

Andjimrio: /* Relación 6: Temas 1 a 5 */

=== Relación 6: Temas 1 a 5 ===

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'''Ejercicio 1.''' Demostrar o refutar: Si T es un tablero de S1, I es un
modelo de una hoja abierta de T y S2 es un subconjunto de S1, entonces, I es
modelo de S2.
----

'''Solución:'''

I⊨S_1 ↦ I⊨{S_1,1 , S_1,1 , … , S_(1,n)} ↦ I⊨S_1,1∧ S_1,1∧…∧S_(1,n)

En el operador ∧ con que uno de sus operandos sea falso todo es falso. Si existe un una interpretación para S_1, ese modelo también lo será para cualquier subconjunto, en este caso, S_2

----
'''Ejercicio 2.''' Decidir la consistencia del siguiente conjunto de fórmulas,
mediante resolución proposicional y tableros semánticos
: {p ↔ ¬q, q → p, r → q, q → r ∧ p, (¬q → r) ∨ p }
----

'''Solución:'''

----
'''Ejercicio 3.''' Demostrar o refutar las siguientes sentencias:
* Existen cláusulas C1, C2 y D tales que D es una resolvente de C1 y C2, D ⊂ C1 y D ≠ C1.
* Existen cláusulas C1, C2 y D tales que D es una resolvente de C1 y C2 y D = C1.
* Existen cláusulas C1, C2 y D tales que D es una resolvente de C1 y C2, C1 ⊂ D y C2 no es una tautología.
----

'''Solución:'''
*Cierto, ya que por la regla general de la resolución, una resolvente será el resultado de la unión de dos cláusulas quitando previamente un par de átomos complementarios. D, en este caso, será resolvente de C1 y de C2 y por ello, posee elementos de la primera cláusula sin llegar a identificarse, por haber quitado un literal.
C_1={p,q}
C_2={¬p}
D={q}
*Falso, ya que posee elementos de la primera cláusula sin llegar a identificarse, por haber quitado un literal.
*Falso. Al no poder ser C2 tautología, no podrá poseer átomos complementarios. Al hacer la resolvente, a D se le añadirán los átomos de C1 y C1, pero siempre perderá uno. Así, no podrá contener todos los átomos de C1.

----
'''Ejercicio 4.''' Decidir, mediante tableros semánticos, formas normales y resolución
:{C → A, G → D, ¬(B ∧ C ∧ G → E)} ⊧ A ∧ B ∧ C,

----

'''Solución:'''

----
'''Ejercicio 5.''' Formalizar el siguiente razonamiento y probar, mediante deducción natural, que es
correcto.
<blockquote>
Si el general era leal, hubiera obedecido las órdenes, y si era inteligente las
hubiera comprendido. O el general desobedeció las órdenes o no las
comprendió. Por lo tanto, el general era desleal o no era inteligente.
</blockquote>

----

'''Solución:'''

Relación 6

2014-10-30T15:39:00Z

Andjimrio:

Relación 4

2014-10-18T11:07:27Z

Andjimrio:

=== Relación 4: Temas 1 y 2 ===

----
'''Ejercicio 1.''' Juan está matriculado en tres asignaturas: Álgebra, Lógica y Dibujo. Juan comenta lo siguiente:
<blockquote>
Me gusta al menos una de las tres asignaturas. Si me gustase el Álgebra pero no el Dibujo, me gustaría la Lógica. O me gusta el Dibujo y la Lógica, o bien ninguna de las dos. Si me gustase el Dibujo, entonces me gustaría el Álgebra.
</blockquote>
Formalizar los comentarios de Juan, usando la inicial de cada asignatura para representar que a Juan le gusta dicha asignatura. Decidir si los comentarios son consistentes y, en su caso, calcular sus modelos. ¿Qué asignaturas le gustan a Juan?
----

'''Solución:'''

{A∨L∨D, A∧¬D→L, (D∧L)∨(¬D∧¬L), D→A}

Solo tiene un modelo: I(F1)=I(F2)=I(F3)=I(F4)=1 => Que le gusten las tres asignaturas

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'''Ejercicio 2.''' Demostrar o refutar la siguiente afirmación: "F es satisfacible si y sólo si toda consecuencia lógica de F es satisfacible."
----

'''Solución:'''

Falso: ¬p ∧ p ⊧ p

F= ¬p ∧ p; esta fórmula, al ser una contradicción, no es satisfacible.
Pero {p}, que es consecuencia lógica de F, por ∧2, si es satisfacible.

----
'''Ejercicio 3.''' Demostrar mediante deducción natural:
: ¬(p ∧ ¬ q) ⊧ p → q
----

'''Solución:'''

[[Archivo:Ejercicio_3.JPG‎]]

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'''Ejercicio 4.''' Demostrar mediante deducción natural:
: (p ∨ q) ∧ (q → r) ⊧ p ∨ r.

----

'''Solución:'''

[[Archivo:Ejercicio_4.JPG‎]]

----
'''Ejercicio 5.''' Demostrar mediante deducción natural:
: ⊧ (¬ q → ¬ p) ∨ (q → p)
----

'''Solución:'''

[[Archivo:Ejercicio_5.JPG‎]]

Relación 4

2014-10-18T10:50:14Z

Andjimrio:

=== Relación 4: Temas 1 y 2 ===

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'''Ejercicio 1.''' Juan está matriculado en tres asignaturas: Álgebra, Lógica y Dibujo. Juan comenta lo siguiente:
<blockquote>
Me gusta al menos una de las tres asignaturas. Si me gustase el Álgebra pero no el Dibujo, me gustaría la Lógica. O me gusta el Dibujo y la Lógica, o bien ninguna de las dos. Si me gustase el Dibujo, entonces me gustaría el Álgebra.
</blockquote>
Formalizar los comentarios de Juan, usando la inicial de cada asignatura para representar que a Juan le gusta dicha asignatura. Decidir si los comentarios son consistentes y, en su caso, calcular sus modelos. ¿Qué asignaturas le gustan a Juan?
----

'''Solución:'''

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'''Ejercicio 2.''' Demostrar o refutar la siguiente afirmación: "F es satisfacible si y sólo si toda consecuencia lógica de F es satisfacible."
----

'''Solución:'''

Falso: ¬p ∧ p ⊧ p

F= ¬p ∧ p; esta fórmula, al ser una contradicción, no es satisfacible.
Pero {p}, que es consecuencia lógica de F, por ∧2, si es satisfacible.

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'''Ejercicio 3.''' Demostrar mediante deducción natural:
: ¬(p ∧ ¬ q) ⊧ p → q
----

'''Solución:'''

[[Archivo:Ejercicio_3.JPG‎]]

----
'''Ejercicio 4.''' Demostrar mediante deducción natural:
: (p ∨ q) ∧ (q → r) ⊧ p ∨ r.

----

'''Solución:'''

[[Archivo:Ejercicio_4.JPG‎]]

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'''Ejercicio 5.''' Demostrar mediante deducción natural:
: ⊧ (¬ q → ¬ p) ∨ (q → p)
----

'''Solución:'''

[[Archivo:Ejercicio_5.JPG‎]]

Relación 4

2014-10-18T10:44:43Z

Andjimrio:

=== Relación 4: Temas 1 y 2 ===

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'''Ejercicio 1.''' Juan está matriculado en tres asignaturas: Álgebra, Lógica y Dibujo. Juan comenta lo siguiente:
<blockquote>
Me gusta al menos una de las tres asignaturas. Si me gustase el Álgebra pero no el Dibujo, me gustaría la Lógica. O me gusta el Dibujo y la Lógica, o bien ninguna de las dos. Si me gustase el Dibujo, entonces me gustaría el Álgebra.
</blockquote>
Formalizar los comentarios de Juan, usando la inicial de cada asignatura para representar que a Juan le gusta dicha asignatura. Decidir si los comentarios son consistentes y, en su caso, calcular sus modelos. ¿Qué asignaturas le gustan a Juan?
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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 2.''' Demostrar o refutar la siguiente afirmación: "F es satisfacible si y sólo si toda consecuencia lógica de F es satisfacible."
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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 3.''' Demostrar mediante deducción natural:
: ¬(p ∧ ¬ q) ⊧ p → q
----

'''Solución:'''

[[Archivo:Ejercicio_3.JPG‎]]

----
'''Ejercicio 4.''' Demostrar mediante deducción natural:
: (p ∨ q) ∧ (q → r) ⊧ p ∨ r.

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'''Solución:'''

[[Archivo:Ejercicio_4.JPG‎]]

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'''Ejercicio 5.''' Demostrar mediante deducción natural:
: ⊧ (¬ q → ¬ p) ∨ (q → p)
----

'''Solución:'''

[[Archivo:Ejercicio_5.JPG‎]]

Archivo:Ejercicio 3.JPG

2014-10-18T10:43:53Z

Andjimrio: Relacion 4: Ej3

Relacion 4: Ej3

Archivo:Ejercicio 5.JPG

2014-10-18T10:43:37Z

Andjimrio: Relacion 4: Ej5

Relacion 4: Ej5

Archivo:Ejercicio 4.JPG

2014-10-18T10:43:28Z

Andjimrio: Relacion 4: Ej4

Relacion 4: Ej4

Relación 3

2014-10-08T11:43:40Z

Andjimrio:

=== Relación 3: Temas 1 y 2 ===

----
'''Ejercicio 0.''' Demostrar mediante deducción natural:
: {p → q, p → r} ⊧ p → r
----

'''Solución:'''

[[Archivo:R3E0a.png]]

[[Archivo:R3E0b.png]]

----
'''Ejercicio 1.''' Formalizar, y decidir la corrección, del siguiente argumento
<blockquote>
Si Dios fuera capaz de evitar el mal y quisiera hacerlo, lo haría. Si Dios fuera incapaz de evitar el mal, no sería omnipotente; si no quisiera evitar el mal sería malévolo. Dios no evita el mal. Si Dios existe, es omnipotente y no es malévolo. Luego, Dios no existe.
</blockquote>
Usando los símbolos C: Dios es capaz de evitar el mal, Q: Dios quiere evitar el mal, O: Dios es omnipotente, M: Dios es malévolo, P: Dios evita el mal, E: Dios existe.
----

'''Solución:'''
1. C∧Q→P premisa
2. ¬C→¬O premisa
3. ¬Q→M premisa
4. ¬P premisa
5. E→O∧¬M premisa
6. E supuesto
7. O∧¬M →e 5,6
8. O ∧e1 7
9. ¬M ∧e2 7
10. C MT 2,8
11. Q MT 3,9
12. C∧Q ∧i 10,11
13. P →e 1,12
14. P∧¬P ∧i 4, 13
15. ¬E ¬i 6-14

Queda demostrada la coherencia del problema, no así su veracidad.*

*Tenemos presente que desde siempre existen demagogos, personas que utilizando el arte de la lógica (ya lo decían los clásicos: ars artium), saben "demostrar" proposiciones. ¿Qué es lo que pasa? Que lo que demuestran son coherencias, no la veracidad de las afirmaciones finales. Aquí, amable lector, ocurre lo mismo, se demuestra la coherencia de un sistema, no su veracidad.
*¿Y eso por qué? Porque parte de premisas erróneas, como es el caso. (Daré unos pequeños apuntes, para más información, el Catecismo de la Iglesia Católica, 309-314: http://www.vatican.va/archive/catechism_sp/p1s2c1p4_sp.html )
*Este plantamiento ha estado presente a lo largo de toda la historia. De él, los autores espirituales han dicho que: el sofisma parte una premisa falsa: ¿qué se entiende por mal? Si el mal es absoluto, el planteamiento es correcto. Lo que ocurre es que ese mal no es total, hay un bien detrás de todo mal físico. ¿Pero que bien tiene un terremoto? A nuestra vista, que solo ve el presente, ninguno; pero Dios ve todo el tiempo, ya que no es un ser temporal, y Él sabe más. Además, de ese mal sacará bienes espirituales aun mayores que cualquier mal físico. Ya se que para esto hace falta "las gafas de la fe". Esta, la fe, no incorpora a la mente lo irracional, sino que le da profundidad a lo natural, "viendo" algunas cosas ya desde la perspectiva divina por la revelación.
*Sin más, quería dar mi opinión sobre dicho problema.

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'''Ejercicio 2.''' Demostrar o refutar las siguiente proposición: Para todo conjunto de fórmula S y para toda fórmula F se verifica que si F no es consecuencia de D, entonces ¬F es consecuencia de S.
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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 3.''' Demostrar mediante deducción natural:
: (p → q) → r ⊧ p → (q → r)
----

'''Solución:'''

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'''Ejercicio 4.''' Demostrar mediante deducción natural:
: (p → q) ∧ (p → r) ⊧ p → q ∧ r
----

'''Solución:'''

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'''Ejercicio 5.''' Demostrar mediante deducción natural:
: (p → r) ∧ (q → r) ⊧ p ∨ q → r
----

'''Solución:'''

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'''Ejercicio 6.''' Demostrar mediante deducción natural:
: {p → r, r → ¬ q} ⊧ ¬(p ∧ q)
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'''Solución:'''

Relación 3

2014-10-08T11:42:25Z

Andjimrio:

=== Relación 3: Temas 1 y 2 ===

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'''Ejercicio 0.''' Demostrar mediante deducción natural:
: {p → q, p → r} ⊧ p → r
----

'''Solución:'''

[[Archivo:R3E0a.png]]

[[Archivo:R3E0b.png]]

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'''Ejercicio 1.''' Formalizar, y decidir la corrección, del siguiente argumento
<blockquote>
Si Dios fuera capaz de evitar el mal y quisiera hacerlo, lo haría. Si Dios fuera incapaz de evitar el mal, no sería omnipotente; si no quisiera evitar el mal sería malévolo. Dios no evita el mal. Si Dios existe, es omnipotente y no es malévolo. Luego, Dios no existe.
</blockquote>
Usando los símbolos C: Dios es capaz de evitar el mal, Q: Dios quiere evitar el mal, O: Dios es omnipotente, M: Dios es malévolo, P: Dios evita el mal, E: Dios existe.
----

'''Solución:'''
1. C∧Q→P premisa
2. ¬C→¬O premisa
3. ¬Q→M premisa
4. ¬P premisa
5. E→O∧¬M premisa
6. E supuesto
7. O∧¬M →e 5,6
8. O ∧e1 7
9. ¬M ∧e2 7
10. C MT 2,8
11. Q MT 3,9
12. C∧Q ∧i 10,11
13. P →e 1,12
14. P∧¬P ∧i 4, 13
15. ¬E ¬i 6-14

Queda demostrada la coherencia del problema, no así su veracidad.*

*Tenemos presente que desde siempre existen demagogos, personas que utilizando el arte de la lógica (ya lo decían los clásicos: ars artium), saben "demostrar" proposiciones. ¿Qué es lo que pasa? Que lo que demuestran son coherencias, no la veracidad de las afirmaciones finales. Aquí, amable lector, ocurre lo mismo, se demuestra la coherencia de un sistema, no su veracidad.
*¿Y eso por qué? Porque parte de premisas erróneas, como es el caso. (Daré unos pequeños apuntes, para más información, el Catecismo de la Iglesia Católica, 309-314: http://www.vatican.va/archive/catechism_sp/p1s2c1p4_sp.html )
Este plantamiento ha estado presente a lo largo de toda la historia. De él, los autores espirituales han dicho que: el sofisma parte una premisa falsa: ¿qué se entiende por mal? Si el mal es absoluto, el planteamiento es correcto. Lo que ocurre es que ese mal no es total, hay un bien detrás de todo mal físico. ¿Pero que bien tiene un terremoto? A nuestra vista, que solo ve el presente, ninguno; pero Dios ve todo el tiempo, ya que no es un ser temporal, y Él sabe más. Además, de ese mal sacará bienes espirituales aun mayores que cualquier mal físico. Ya se que para esto hace falta "las gafas de la fe". Esta, la fe, no incorpora a la mente lo irracional, sino que le da profundidad a lo natural, "viendo" algunas cosas ya desde la perspectiva divina por la revelación.
*Sin más, quería dar mi opinión sobre dicho problema.

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'''Ejercicio 2.''' Demostrar o refutar las siguiente proposición: Para todo conjunto de fórmula S y para toda fórmula F se verifica que si F no es consecuencia de D, entonces ¬F es consecuencia de S.
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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 3.''' Demostrar mediante deducción natural:
: (p → q) → r ⊧ p → (q → r)
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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 4.''' Demostrar mediante deducción natural:
: (p → q) ∧ (p → r) ⊧ p → q ∧ r
----

'''Solución:'''

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'''Ejercicio 5.''' Demostrar mediante deducción natural:
: (p → r) ∧ (q → r) ⊧ p ∨ q → r
----

'''Solución:'''

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'''Ejercicio 6.''' Demostrar mediante deducción natural:
: {p → r, r → ¬ q} ⊧ ¬(p ∧ q)
----

'''Solución:'''

Relación 3

2014-10-08T11:41:08Z

Andjimrio:

=== Relación 3: Temas 1 y 2 ===

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'''Ejercicio 0.''' Demostrar mediante deducción natural:
: {p → q, p → r} ⊧ p → r
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'''Solución:'''

[[Archivo:R3E0a.png]]

[[Archivo:R3E0b.png]]

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'''Ejercicio 1.''' Formalizar, y decidir la corrección, del siguiente argumento
<blockquote>
Si Dios fuera capaz de evitar el mal y quisiera hacerlo, lo haría. Si Dios fuera incapaz de evitar el mal, no sería omnipotente; si no quisiera evitar el mal sería malévolo. Dios no evita el mal. Si Dios existe, es omnipotente y no es malévolo. Luego, Dios no existe.
</blockquote>
Usando los símbolos C: Dios es capaz de evitar el mal, Q: Dios quiere evitar el mal, O: Dios es omnipotente, M: Dios es malévolo, P: Dios evita el mal, E: Dios existe.
----

'''Solución:'''
1. C∧Q→P premisa
2. ¬C→¬O premisa
3. ¬Q→M premisa
4. ¬P premisa
5. E→O∧¬M premisa
6. E supuesto
7. O∧¬M →e 5,6
8. O ∧e1 7
9. ¬M ∧e2 7
10. C MT 2,8
11. Q MT 3,9
12. C∧Q ∧i 10,11
13. P →e 1,12
14. P∧¬P ∧i 4, 13
15. ¬E ¬i 6-14

Queda demostrada la coherencia del problema, no así su veracidad.*

*Tenemos presente que desde siempre existen demagogos, personas que utilizando el arte de la lógica (ya lo decían los clásicos: ars artium), saben "demostrar" proposiciones. ¿Qué es lo que pasa? Que lo que demuestran son coherencias, no la veracidad de las afirmaciones finales. Aquí, amable lector, ocurre lo mismo, se demuestra la coherencia de un sistema, no su veracidad.
¿Y eso por qué? Porque parte de premisas erróneas, como es el caso. (Daré unos pequeños apuntes, para más información, el Catecismo de la Iglesia Católica, 309-314: http://www.vatican.va/archive/catechism_sp/p1s2c1p4_sp.html )
Este plantamiento ha estado presente a lo largo de toda la historia. De él, los autores espirituales han dicho que: el sofisma parte una premisa falsa: ¿qué se entiende por mal? Si el mal es absoluto, el planteamiento es correcto. Lo que ocurre es que ese mal no es total, hay un bien detrás de todo mal físico. ¿Pero que bien tiene un terremoto? A nuestra vista, que solo ve el presente, ninguno; pero Dios ve todo el tiempo, ya que no es un ser temporal, y Él sabe más. Además, de ese mal sacará bienes espirituales aun mayores que cualquier mal físico. Ya se que para esto hace falta "las gafas de la fe". Esta, la fe, no incorpora a la mente lo irracional, sino que le da profundidad a lo natural, "viendo" algunas cosas ya desde la perspectiva divina por la revelación.
Sin más, quería dar mi opinión sobre dicho problema.

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'''Ejercicio 2.''' Demostrar o refutar las siguiente proposición: Para todo conjunto de fórmula S y para toda fórmula F se verifica que si F no es consecuencia de D, entonces ¬F es consecuencia de S.
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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 3.''' Demostrar mediante deducción natural:
: (p → q) → r ⊧ p → (q → r)
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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 4.''' Demostrar mediante deducción natural:
: (p → q) ∧ (p → r) ⊧ p → q ∧ r
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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 5.''' Demostrar mediante deducción natural:
: (p → r) ∧ (q → r) ⊧ p ∨ q → r
----

'''Solución:'''

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'''Ejercicio 6.''' Demostrar mediante deducción natural:
: {p → r, r → ¬ q} ⊧ ¬(p ∧ q)
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'''Solución:'''

Relación 3

2014-10-08T11:39:00Z

Andjimrio:

=== Relación 3: Temas 1 y 2 ===

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'''Ejercicio 0.''' Demostrar mediante deducción natural:
: {p → q, p → r} ⊧ p → r
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'''Solución:'''

[[Archivo:R3E0a.png]]

[[Archivo:R3E0b.png]]

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'''Ejercicio 1.''' Formalizar, y decidir la corrección, del siguiente argumento
<blockquote>
Si Dios fuera capaz de evitar el mal y quisiera hacerlo, lo haría. Si Dios fuera incapaz de evitar el mal, no sería omnipotente; si no quisiera evitar el mal sería malévolo. Dios no evita el mal. Si Dios existe, es omnipotente y no es malévolo. Luego, Dios no existe.
</blockquote>
Usando los símbolos C: Dios es capaz de evitar el mal, Q: Dios quiere evitar el mal, O: Dios es omnipotente, M: Dios es malévolo, P: Dios evita el mal, E: Dios existe.
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'''Solución:'''
1. C∧Q→P premisa
2. ¬C→¬O premisa
3. ¬Q→M premisa
4. ¬P premisa
5. E→O∧¬M premisa
6. E supuesto
7. O∧¬M →e 5,6
8. O ∧e1 7
9. ¬M ∧e2 7
10. C MT 2,8
11. Q MT 3,9
12. C∧Q ∧i 10,11
13. P →e 1,12
14. P∧¬P ∧i 4, 13
15. ¬E ¬i 6-14

Queda demostrada la coherencia del problema, no así su veracidad.*

*Tenemos presente que desde siempre existen demagogos, personas que utilizando el arte de la lógica (ya lo decían los clásicos: ars artium), saben "demostrar"

proposiciones. ¿Qué es lo que pasa? Que lo que demuestran son coherencias, no la veracidad de las afirmaciones finales. Aquí, amable lector, ocurre lo mismo, se

demuestra la coherencia de un sistema, no su veracidad.
¿Y eso por qué? Porque parte de premisas erróneas, como es el caso. (Daré unos pequeños apuntes, para más información, el Catecismo de la Iglesia Católica, 309-314:

http://www.vatican.va/archive/catechism_sp/p1s2c1p4_sp.html )
Este plantamiento ha estado presente a lo largo de toda la historia. De él, los autores espirituales han dicho que: el sofisma parte una premisa falsa: ¿qué se entiende por mal? Si el mal es absoluto, el planteamiento es correcto. Lo que ocurre es que ese mal no es total, hay un bien detrás de todo mal físico. ¿Pero que bien tiene un terremoto? A nuestra vista, que solo ve el presente, ninguno; pero Dios ve todo el tiempo, ya que no es un ser temporal, y Él sabe más. Además, de ese mal sacará bienes espirituales aun mayores que cualquier mal físico. Ya se que para esto hace falta "las gafas de la fe". Esta, la fe, no incorpora a la mente lo irracional, sino que le da profundidad a lo natural, "viendo" algunas cosas ya desde la perspectiva divina por la revelación.
Sin más, quería dar mi opinión sobre dicho problema.

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'''Ejercicio 2.''' Demostrar o refutar las siguiente proposición: Para todo conjunto de fórmula S y para toda fórmula F se verifica que si F no es consecuencia de D, entonces ¬F es consecuencia de S.
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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 3.''' Demostrar mediante deducción natural:
: (p → q) → r ⊧ p → (q → r)
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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 4.''' Demostrar mediante deducción natural:
: (p → q) ∧ (p → r) ⊧ p → q ∧ r
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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 5.''' Demostrar mediante deducción natural:
: (p → r) ∧ (q → r) ⊧ p ∨ q → r
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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 6.''' Demostrar mediante deducción natural:
: {p → r, r → ¬ q} ⊧ ¬(p ∧ q)
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'''Solución:'''

Relación 2

2014-10-02T11:33:58Z

Andjimrio:

=== Relación 2: Semántica proposicional ===

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'''Ejercicio 1.''' Clasificar las fórmulas siguientes en tautologías, contingentes y contradicciones. ¿Cuáles son satisfacibles? ¿Cuáles son insatisfacibles?

# p → (q → r ∧ q)
# q → (p ∧ ¬p) → r
# (p ↔ q) ∧ (p → ¬q) ∧ p
# (p ∧ r) ∨ (¬ p ∧ q) → ¬ q

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'''Solución:'''
* Contingente y satisfacible: 1,2 Y 4
* Contradicción e insatisfacible: 3

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'''Ejercicio 2.''' Un rey somete a un prisionero a la siguiente prueba: lo enfrenta a dos puertas, de las que el prisionero debe elegir una, y entrar en la habitación correspondiente. Se informa al prisionero que en cada una de las habitaciones puede haber un tigre o una dama. Como es natural, el prisionero debe elegir la puerta que le lleva a la dama (entre otras cosas, para no ser devorado por el tigre). Para ayudarle, en cada puerta hay un letrero:

* puerta 1: en esta habitación hay una dama y en la otra un tigre.
* puerta 2: en una de estas habitaciones hay una dama y en una de estas habitaciones hay un tigre.

Sabiendo que uno de los carteles dice la verdad y el otro no, determinar la puerta que debe de elegir el prisionero.
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'''Solución:''' La pista correcta es la de la pista uno, por lo tanto, será la primera puerta la que salve al prisionero.

''Comentario:'' Hay que razonar la respuesta.

'''Solución:''' Uno de los dos carteles dice la verdad, lógicamente es el segundo, puesto que lo dice el enunciado. Por lo tanto, la primera puerta
no dice la verdad, y el prisionero debería entrar en la puerta 2 si quiere seguir con vida.

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'''Ejercicio 3.''' ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?
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'''Solución:''' S = { p ^ ¬p , q ^ ¬q, r}.

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'''Ejercicio 4.''' ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo.
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'''Solución 1:''' p → q ^ ¬q: no es satisfascible F: contraejemplo no válido

'''Solución 2:''' Sí, ya que el único modelo de F, al ser atómica, es 1, y para que F → G sea satisfascible, G no puede dar 0. Por tanto, G tiene que ser satisfascible.

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'''Ejercicio 5.''' Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:

# Si F es una fórmula satisfacible, entonces todas las subfórmulas de F son satisfacibles.
# Existen fórmulas válidas tales que todas sus subfórmulas son válidas.
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'''Solución:'''
# Sea F = p ^ ¬p → q. F es tautología, pero la subfórmula p ^ ¬p es insatisfacible.
# p v p