{"id":849,"date":"2021-10-12T05:00:57","date_gmt":"2021-10-12T03:00:57","guid":{"rendered":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/?p=849"},"modified":"2021-10-04T16:01:41","modified_gmt":"2021-10-04T14:01:41","slug":"aplicacion-de-particiones-en-relaciones-de-equivalencia","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/aplicacion-de-particiones-en-relaciones-de-equivalencia\/","title":{"rendered":"Aplicaci\u00f3n de particiones en relaciones de equivalencia"},"content":{"rendered":"

Este ejercicio es el 13\u00ba de una serie cuyo objetivo es demostrar que el tipo de las particiones de un conjunto X<\/code> es isomorfo al tipo de las relaciones de equivalencia sobre X<\/code>.<\/p>\n

Los anteriores son
\n1. Igualdad de bloques de una partici\u00f3n cuando tienen elementos comunes<\/a>.
\n2. Pertenencia a bloques de una partici\u00f3n con elementos comunes<\/a>.
\n3. Pertenencia a su propia clase de equivalencia<\/a>.
\n4. Las clases de equivalencia contienen a las clases de equivalencia de sus elementos<\/a>.
\n5. Las clases de equivalencia son iguales a las de sus elementos<\/a>.
\n6. Las clases de equivalencia son no vac\u00edas<\/a>.
\n7. Las clases de equivalencia recubren el conjunto<\/a>.
\n8. Las clases de equivalencia son disjuntas<\/a>.
\n9. El cociente aplica relaciones de equivalencia en particiones<\/a>.
\n10. Las relaciones definidas por particiones son reflexivas<\/a>.
\n11. Las relaciones definidas por particiones son sim\u00e9tricas<\/a>.
\n12. Las relaciones definidas por particiones son transitivas<\/a>.<\/p>\n

Definir la funci\u00f3n<\/p>\n

\n   relacionP : particion A \u2192 {R : A \u2192 A \u2192 Prop \/\/ equivalence R}\n<\/pre>\n
tal que relacionP P<\/code> es la relaci\u00f3n de equivalencia definida por la partici\u00f3n P<\/code>.<\/p>\n
Para ello, completar la siguiente teor\u00eda de Lean:<\/p>\n
\nimport tactic\n\n@[ext] structure particion (A : Type) :=\n(Bloques    : set (set A))\n(Hno_vacios : \u2200 X \u2208 Bloques, (X : set A).nonempty)\n(Hrecubren  : \u2200 a, \u2203 X \u2208 Bloques, a \u2208 X)\n(Hdisjuntos : \u2200 X Y \u2208 Bloques, (X \u2229 Y : set A).nonempty \u2192 X = Y)\n\nnamespace particion\n\nvariable  {A : Type}\n\ndef relacionP : particion A \u2192 {R : A \u2192 A \u2192 Prop \/\/ equivalence R} :=\nsorry\n<\/pre>\n
[expand title=\u00bbSoluciones con Lean\u00bb]<\/p>\n
\r\nimport tactic\r\n\r\n@[ext] structure particion (A : Type) :=\r\n(Bloques    : set (set A))\r\n(Hno_vacios : \u2200 X \u2208 Bloques, (X : set A).nonempty)\r\n(Hrecubren  : \u2200 a, \u2203 X \u2208 Bloques, a \u2208 X)\r\n(Hdisjuntos : \u2200 X Y \u2208 Bloques, (X \u2229 Y : set A).nonempty \u2192 X = Y)\r\n\r\nnamespace particion\r\n\r\nvariable  {A : Type}\r\nvariables {X Y : set A}\r\nvariable  {P : particion A}\r\n\r\ndef relacion : (particion A) \u2192 (A \u2192 A \u2192 Prop) :=\r\n  \u03bb P a b, \u2200 X \u2208 Bloques P, a \u2208 X \u2192 b \u2208 X\r\n\r\nlemma reflexiva\r\n  (P : particion A)\r\n  : reflexive (relacion P) :=\r\n\u03bb a X hXC haX, haX\r\n\r\nlemma iguales_si_comun\r\n  (hX : X \u2208 Bloques P)\r\n  (hY : Y \u2208 Bloques P)\r\n  {a : A}\r\n  (haX : a \u2208 X)\r\n  (haY : a \u2208 Y)\r\n  : X = Y :=\r\nHdisjuntos P X Y hX hY \u27e8a, haX, haY\u27e9\r\n\r\nlemma pertenece_si_pertenece\r\n  (hX : X \u2208 Bloques P)\r\n  (hY : Y \u2208 Bloques P)\r\n  {a b : A}\r\n  (haX : a \u2208 X)\r\n  (haY : a \u2208 Y)\r\n  (hbX : b \u2208 X)\r\n  : b \u2208 Y :=\r\nbegin\r\n  convert hbX,\r\n  exact iguales_si_comun hY hX haY haX,\r\nend\r\n\r\nlemma simetrica\r\n  (P : particion A)\r\n  : symmetric (relacion P) :=\r\nbegin\r\n  intros a b h X hX hbX,\r\n  obtain \u27e8Y, hY, haY\u27e9 := Hrecubren P a,\r\n  specialize h Y hY haY,\r\n  exact pertenece_si_pertenece hY hX h hbX haY,\r\nend\r\n\r\nlemma transitiva\r\n  (P : particion A)\r\n  : transitive (relacion P) :=\r\n\u03bb a b c hab hbc X hX haX, hbc X hX (hab X hX haX)\r\n\r\ndef relacionP : particion A \u2192 {R : A \u2192 A \u2192 Prop \/\/ equivalence R} :=\r\n  \u03bb P, \u27e8\u03bb a b, \u2200 X \u2208 Bloques P, a \u2208 X \u2192 b \u2208 X,\r\n        \u27e8reflexiva P, simetrica P, transitiva P\u27e9\u27e9\r\n\r\nend particion\r\n<\/pre>\n
Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesi\u00f3n con Lean<\/a>.<\/p>\n
En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el c\u00f3digo entre una l\u00ednea con <pre lang="lean"> y otra con <\/pre>
\n[\/expand]<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Este ejercicio es el 13\u00ba de una serie cuyo objetivo es demostrar que el tipo de las particiones de un conjunto X es isomorfo al tipo de las relaciones de equivalencia sobre X. Los anteriores son 1. Igualdad de bloques de una partici\u00f3n cuando tienen elementos comunes. 2. Pertenencia a bloques de una partici\u00f3n con elementos comunes. 3. Pertenencia a su propia clase de equivalencia. 4. Las clases de equivalencia contienen a las clases de equivalencia de sus elementos. 5. Las clases de equivalencia son iguales a las de sus elementos. 6. Las clases de equivalencia son no vac\u00edas. 7. Las clases de equivalencia recubren el conjunto. 8. Las clases de equivalencia son disjuntas. 9. El cociente aplica relaciones de equivalencia en particiones. 10. Las…<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_kad_post_transparent":"","_kad_post_title":"","_kad_post_layout":"","_kad_post_sidebar_id":"","_kad_post_content_style":"","_kad_post_vertical_padding":"","_kad_post_feature":"","_kad_post_feature_position":"","_kad_post_header":false,"_kad_post_footer":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[281,30],"tags":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/849"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=849"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/849\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":850,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/849\/revisions\/850"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=849"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=849"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=849"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}