{"id":847,"date":"2021-10-11T05:00:50","date_gmt":"2021-10-11T03:00:50","guid":{"rendered":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/?p=847"},"modified":"2021-10-04T12:45:48","modified_gmt":"2021-10-04T10:45:48","slug":"las-relaciones-definidas-por-particiones-son-transitivas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/las-relaciones-definidas-por-particiones-son-transitivas\/","title":{"rendered":"Las relaciones definidas por particiones son transitivas"},"content":{"rendered":"

Este ejercicio es el 12\u00ba de una serie cuyo objetivo es demostrar que el tipo de las particiones de un conjunto X<\/code> es isomorfo al tipo de las relaciones de equivalencia sobre X<\/code>.<\/p>\n

Los anteriores son
\n1. Igualdad de bloques de una partici\u00f3n cuando tienen elementos comunes<\/a>.
\n2. Pertenencia a bloques de una partici\u00f3n con elementos comunes<\/a>.
\n3. Pertenencia a su propia clase de equivalencia<\/a>.
\n4. Las clases de equivalencia contienen a las clases de equivalencia de sus elementos<\/a>.
\n5. Las clases de equivalencia son iguales a las de sus elementos<\/a>.
\n6. Las clases de equivalencia son no vac\u00edas<\/a>.
\n7. Las clases de equivalencia recubren el conjunto<\/a>.
\n8. Las clases de equivalencia son disjuntas<\/a>.
\n9. El cociente aplica relaciones de equivalencia en particiones<\/a>.
\n10. Las relaciones definidas por particiones son reflexivas<\/a>.
\n11. Las relaciones definidas por particiones son sim\u00e9tricas<\/a>.<\/p>\n

Demostrar que la relaci\u00f3n definida por una partici\u00f3n es transitiva.<\/p>\n

Para ello, completar la siguiente teor\u00eda de Lean:<\/p>\n

\nimport tactic\n\n@[ext] structure particion (A : Type) :=\n(Bloques    : set (set A))\n(Hno_vacios : \u2200 X \u2208 Bloques, (X : set A).nonempty)\n(Hrecubren  : \u2200 a, \u2203 X \u2208 Bloques, a \u2208 X)\n(Hdisjuntos : \u2200 X Y \u2208 Bloques, (X \u2229 Y : set A).nonempty \u2192 X = Y)\n\nnamespace particion\n\nvariable  {A : Type}\nvariable  {P : particion A}\n\ndef relacion : (particion A) \u2192 (A \u2192 A \u2192 Prop) :=\n  \u03bb P a b, \u2200 X \u2208 Bloques P, a \u2208 X \u2192 b \u2208 X\n\nexample\n  (P : particion A)\n  : transitive (relacion P) :=\nsorry\n<\/pre>\n
[expand title=\u00bbSoluciones con Lean\u00bb]<\/p>\n
\r\nimport tactic\r\n\r\n@[ext] structure particion (A : Type) :=\r\n(Bloques    : set (set A))\r\n(Hno_vacios : \u2200 X \u2208 Bloques, (X : set A).nonempty)\r\n(Hrecubren  : \u2200 a, \u2203 X \u2208 Bloques, a \u2208 X)\r\n(Hdisjuntos : \u2200 X Y \u2208 Bloques, (X \u2229 Y : set A).nonempty \u2192 X = Y)\r\n\r\nnamespace particion\r\n\r\nvariable  {A : Type}\r\nvariable  {P : particion A}\r\n\r\ndef relacion : (particion A) \u2192 (A \u2192 A \u2192 Prop) :=\r\n  \u03bb P a b, \u2200 X \u2208 Bloques P, a \u2208 X \u2192 b \u2208 X\r\n\r\n-- 1\u00aa demostraci\u00f3n\r\nexample\r\n  (P : particion A)\r\n  : transitive (relacion P) :=\r\nbegin\r\n  unfold transitive,\r\n  intros a b c hab hbc,\r\n  unfold relacion at *,\r\n  intros X hX haX,\r\n  apply hbc,\r\n  { exact hX, },\r\n  { apply hab,\r\n    { exact hX, },\r\n    { exact haX, }},\r\nend\r\n\r\n-- 2\u00aa demostraci\u00f3n\r\nexample\r\n  (P : particion A)\r\n  : transitive (relacion P) :=\r\nbegin\r\n  intros a b c hab hbc,\r\n  intros X hX haX,\r\n  apply hbc X hX,\r\n  apply hab X hX,\r\n  exact haX,\r\nend\r\n\r\n-- 3\u00aa demostraci\u00f3n\r\nexample\r\n  (P : particion A)\r\n  : transitive (relacion P) :=\r\nbegin\r\n  intros a b c hab hbc X hX haX,\r\n  exact hbc X hX (hab X hX haX),\r\nend\r\n\r\n-- 4\u00aa demostraci\u00f3n\r\nlemma transitiva\r\n  (P : particion A)\r\n  : transitive (relacion P) :=\r\n\u03bb a b c hab hbc X hX haX, hbc X hX (hab X hX haX)\r\n<\/pre>\n
Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesi\u00f3n con Lean<\/a>.<\/p>\n
En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el c\u00f3digo entre una l\u00ednea con <pre lang="lean"> y otra con <\/pre>
\n[\/expand]<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Este ejercicio es el 12\u00ba de una serie cuyo objetivo es demostrar que el tipo de las particiones de un conjunto X es isomorfo al tipo de las relaciones de equivalencia sobre X. Los anteriores son 1. Igualdad de bloques de una partici\u00f3n cuando tienen elementos comunes. 2. Pertenencia a bloques de una partici\u00f3n con elementos comunes. 3. Pertenencia a su propia clase de equivalencia. 4. Las clases de equivalencia contienen a las clases de equivalencia de sus elementos. 5. Las clases de equivalencia son iguales a las de sus elementos. 6. Las clases de equivalencia son no vac\u00edas. 7. Las clases de equivalencia recubren el conjunto. 8. Las clases de equivalencia son disjuntas. 9. El cociente aplica relaciones de equivalencia en particiones. 10. Las…<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_kad_post_transparent":"","_kad_post_title":"","_kad_post_layout":"","_kad_post_sidebar_id":"","_kad_post_content_style":"","_kad_post_vertical_padding":"","_kad_post_feature":"","_kad_post_feature_position":"","_kad_post_header":false,"_kad_post_footer":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[281],"tags":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/847"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=847"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/847\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":848,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/847\/revisions\/848"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=847"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=847"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=847"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}