{"id":820,"date":"2021-10-05T05:00:32","date_gmt":"2021-10-05T03:00:32","guid":{"rendered":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/?p=820"},"modified":"2021-10-02T16:40:56","modified_gmt":"2021-10-02T14:40:56","slug":"las-clases-de-equivalencia-son-no-vacias","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/las-clases-de-equivalencia-son-no-vacias\/","title":{"rendered":"Las clases de equivalencia son no vac\u00edas"},"content":{"rendered":"<p>Este ejercicio es el 6\u00ba de una serie, cuyo objetivo es demostrar que el tipo de las particiones de un conjunto <code>X<\/code> es isomorfo al tipo de las relaciones de equivalencia sobre <code>X<\/code>.<\/p>\n<p>Los anteriores son<br \/>\n1. <a href=\"https:\/\/bit.ly\/2YfsvBZ\">Igualdad de bloques de una partici\u00f3n cuando tienen elementos comunes<\/a>.<br \/>\n2. <a href=\"https:\/\/bit.ly\/3l2onxZ\">Pertenencia a bloques de una partici\u00f3n con elementos comunes<\/a>.<br \/>\n3. <a href=\"https:\/\/bit.ly\/3FlVKUy\">Pertenencia a su propia clase de equivalencia<\/a>.<br \/>\n4. <a href=\"https:\/\/bit.ly\/3uwL1Sd\">Las clases de equivalencia contienen a las clases de equivalencia de sus elementos<\/a>.<br \/>\n5. <a href=\"https:\/\/bit.ly\/2Y7FJjO\">Las clases de equivalencia son iguales a las de sus elementos<\/a>.<\/p>\n<p>El conjuntos de las clases correspondientes a una relaci\u00f3n <code>R<\/code> se define en Lean por<\/p>\n<pre lang=\"lean\">\n    def clases : (A \u2192 A \u2192 Prop) \u2192 set (set A) :=\n      \u03bb R, {B : set A | \u2203 x : A, B = clase R x}\n<\/pre>\n<p>El ejercicio consiste en demostrar que si <code>C<\/code> es una clase de equivalencia de <code>R<\/code>, entonces <code>C<\/code> es no vac\u00eda.<\/p>\n<p>Para ello, completar la siguiente teor\u00eda de Lean:<\/p>\n<pre lang=\"lean\">\nimport tactic\n\nvariable {A : Type}\nvariable (R : A \u2192 A \u2192 Prop)\n\ndef clase (a : A) :=\n  {b : A | R b a}\n\ndef clases : (A \u2192 A \u2192 Prop) \u2192 set (set A) :=\n  \u03bb R, {B : set A | \u2203 x : A, B = clase R x}\n\nexample\n  (hR: equivalence R)\n  : \u2200 (X : set A), X \u2208 clases R \u2192 X.nonempty :=\nsorry\n<\/pre>\n<p>[expand title=\u00bbSoluciones con Lean\u00bb]<\/p>\n<pre lang=\"lean\">\r\nimport tactic\r\n\r\nvariable {A : Type}\r\nvariable (R : A \u2192 A \u2192 Prop)\r\n\r\ndef clase (a : A) :=\r\n  {b : A | R b a}\r\n\r\ndef clases : (A \u2192 A \u2192 Prop) \u2192 set (set A) :=\r\n  \u03bb R, {B : set A | \u2203 x : A, B = clase R x}\r\n\r\n-- Se usar\u00e1 el siguientes lema auxiliar\r\nlemma pertenece_clase_syss\r\n  {a b : A}\r\n  : b \u2208 clase R a \u2194 R b a :=\r\nby refl\r\n\r\n-- 1\u00aa demostraci\u00f3n\r\nexample\r\n  (hR: equivalence R)\r\n  : \u2200 (X : set A), X \u2208 clases R \u2192 X.nonempty :=\r\nbegin\r\n  intros X hX,\r\n  unfold clases at hX,\r\n  dsimp at hX,\r\n  cases hX with a ha,\r\n  rw ha,\r\n  rw set.nonempty_def,\r\n  use a,\r\n  rw pertenece_clase_syss,\r\n  rcases hR with \u27e8hrefl, -, -\u27e9,\r\n  exact hrefl a,\r\nend\r\n\r\n-- 2\u00aa demostraci\u00f3n\r\nexample\r\n  (hR: equivalence R)\r\n  : \u2200 (X : set A), X \u2208 clases R \u2192 X.nonempty :=\r\nbegin\r\n  rintros _ \u27e8a, rfl\u27e9,\r\n  use a,\r\n  rw pertenece_clase_syss,\r\n  exact hR.1 a,\r\nend\r\n\r\n-- 3\u00aa demostraci\u00f3n\r\nexample\r\n  (hR: equivalence R)\r\n  : \u2200 (X : set A), X \u2208 clases R \u2192 X.nonempty :=\r\nbegin\r\n  rintros _ \u27e8a, rfl\u27e9,\r\n  use a,\r\n  rw pertenece_clase_syss,\r\n  apply hR.1,\r\nend\r\n\r\n-- 4\u00aa demostraci\u00f3n\r\nlemma clases_no_vacias\r\n  (hR: equivalence R)\r\n  : \u2200 (X : set A), X \u2208 clases R \u2192 X.nonempty :=\r\nbegin\r\n  rintros _ \u27e8a, rfl\u27e9,\r\n  use a,\r\n  exact (pertenece_clase_syss R).mpr (hR.1 a),\r\nend\r\n<\/pre>\n<p>Se puede interactuar con la prueba anterior en <a href=\"https:\/\/leanprover-community.github.io\/lean-web-editor\/#url=https:\/\/raw.githubusercontent.com\/jaalonso\/Calculemus\/main\/src\/Las_clases_de_equivalencia_son_no_vacias.lean\" rel=\"noopener noreferrer\" target=\"_blank\">esta sesi\u00f3n con Lean<\/a>.<\/p>\n<p>En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el c\u00f3digo entre una l\u00ednea con &#60;pre lang=&quot;lean&quot;&#62; y otra con &#60;\/pre&#62;<br \/>\n[\/expand]<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Este ejercicio es el 6\u00ba de una serie, cuyo objetivo es demostrar que el tipo de las particiones de un conjunto X es isomorfo al tipo de las relaciones de equivalencia sobre X. Los anteriores son 1. Igualdad de bloques de una partici\u00f3n cuando tienen elementos comunes. 2. Pertenencia a bloques de una partici\u00f3n con elementos comunes. 3. Pertenencia a su propia clase de equivalencia. 4. Las clases de equivalencia contienen a las clases de equivalencia de sus elementos. 5. Las clases de equivalencia son iguales a las de sus elementos. El conjuntos de las clases correspondientes a una relaci\u00f3n R se define en Lean por def clases : (A \u2192 A \u2192 Prop) \u2192 set (set A) := \u03bb R, {B : set A&#8230;<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_kad_post_transparent":"","_kad_post_title":"","_kad_post_layout":"","_kad_post_sidebar_id":"","_kad_post_content_style":"","_kad_post_vertical_padding":"","_kad_post_feature":"","_kad_post_feature_position":"","_kad_post_header":false,"_kad_post_footer":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[30],"tags":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/820"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=820"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/820\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":835,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/820\/revisions\/835"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=820"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=820"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=820"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}