{"id":818,"date":"2021-10-04T05:00:34","date_gmt":"2021-10-04T03:00:34","guid":{"rendered":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/?p=818"},"modified":"2021-10-02T16:38:34","modified_gmt":"2021-10-02T14:38:34","slug":"las-clases-de-equivalencia-son-iguales-a-las-de-sus-elementos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/las-clases-de-equivalencia-son-iguales-a-las-de-sus-elementos\/","title":{"rendered":"Las clases de equivalencia son iguales a las de sus elementos"},"content":{"rendered":"<p>Este ejercicio es el 5\u00ba de una serie cuyo objetivo es demostrar que el tipo de las particiones de un conjunto <code>X<\/code> es isomorfo al tipo de las relaciones de equivalencia sobre <code>X<\/code>.<\/p>\n<p>Los anteriores son<br \/>\n1. <a href=\"https:\/\/bit.ly\/2YfsvBZ\">Igualdad de bloques de una partici\u00f3n cuando tienen elementos comunes<\/a>.<br \/>\n2. <a href=\"https:\/\/bit.ly\/3l2onxZ\">Pertenencia a bloques de una partici\u00f3n con elementos comunes<\/a>.<br \/>\n3. <a href=\"https:\/\/bit.ly\/3FlVKUy\">Pertenencia a su propia clase de equivalencia<\/a>.<br \/>\n4. <a href=\"https:\/\/bit.ly\/3uwL1Sd\">Las clases de equivalencia contienen a las clases de equivalencia de sus elementos<\/a>.<\/p>\n<p>El ejercicio consiste en demostrar que si <code>C<\/code> es una clase de equivalencia y <code>a \u2208 C<\/code>, entonces la clase de equivalencia de <code>a<\/code> es <code>C<\/code>.<\/p>\n<p>Para ello, completar la siguiente teor\u00eda de Lean:<\/p>\n<pre lang=\"lean\">\nimport tactic\n\nvariable {A : Type}\nvariable (R : A \u2192 A \u2192 Prop)\n\ndef clase (a : A) :=\n  {b : A | R b a}\n\nexample\n  (hR: equivalence R)\n  {a b : A}\n  : a \u2208 clase R b \u2192 clase R a = clase R b :=\nsorry\n<\/pre>\n<p>[expand title=\u00bbSoluciones con Lean\u00bb]<\/p>\n<pre lang=\"lean\">\r\nimport tactic\r\n\r\nvariable {A : Type}\r\nvariable (R : A \u2192 A \u2192 Prop)\r\n\r\ndef clase (a : A) :=\r\n  {b : A | R b a}\r\n\r\n-- Se usar\u00e1n los siguientes dos lemas auxiliares\r\nlemma pertenece_clase_syss\r\n  {a b : A}\r\n  : b \u2208 clase R a \u2194 R b a :=\r\nby refl\r\n\r\nlemma subclase_si_pertenece\r\n  {R : A \u2192 A \u2192 Prop}\r\n  (hR: equivalence R)\r\n  {a b : A}\r\n  : a \u2208 clase R b \u2192 clase R a \u2286 clase R b :=\r\n\u03bb hab z hza, hR.2.2 hza hab\r\n\r\n-- 1\u00aa demostraci\u00f3n\r\nexample\r\n  (hR: equivalence R)\r\n  {a b : A}\r\n  : a \u2208 clase R b \u2192 clase R a = clase R b :=\r\nbegin\r\n  intro hab,\r\n  apply set.subset.antisymm,\r\n  { apply subclase_si_pertenece hR hab, },\r\n  { apply subclase_si_pertenece hR,\r\n    rcases hR with \u27e8-, hsymm, -\u27e9,\r\n    exact hsymm hab }\r\nend\r\n\r\n-- 2\u00aa demostraci\u00f3n\r\nexample\r\n  (hR: equivalence R)\r\n  {a b : A}\r\n  : a \u2208 clase R b \u2192 clase R a = clase R b :=\r\nbegin\r\n  intro hab,\r\n  apply set.subset.antisymm,\r\n  { exact subclase_si_pertenece hR hab, },\r\n  { exact subclase_si_pertenece hR (hR.2.1 hab), }\r\nend\r\n\r\n-- 3\u00aa demostraci\u00f3n\r\nexample\r\n  (hR: equivalence R)\r\n  {a b : A}\r\n  : a \u2208 clase R b \u2192 clase R a = clase R b :=\r\nbegin\r\n  intro hab,\r\n  exact set.subset.antisymm\r\n         (subclase_si_pertenece hR hab)\r\n         (subclase_si_pertenece hR (hR.2.1 hab))\r\nend\r\n\r\n-- 4\u00aa demostraci\u00f3n\r\nlemma clases_iguales_si_pertenece\r\n  (hR: equivalence R)\r\n  {a b : A}\r\n  : a \u2208 clase R b \u2192 clase R a = clase R b :=\r\n\u03bb hab, set.subset.antisymm\r\n        (subclase_si_pertenece hR hab)\r\n        (subclase_si_pertenece hR (hR.2.1 hab))\r\n<\/pre>\n<p>Se puede interactuar con la prueba anterior en <a href=\"https:\/\/leanprover-community.github.io\/lean-web-editor\/#url=https:\/\/raw.githubusercontent.com\/jaalonso\/Calculemus\/main\/src\/Las_clases_de_equivalencia_son_iguales_a_las_de_sus_elementos.lean\" rel=\"noopener noreferrer\" target=\"_blank\">esta sesi\u00f3n con Lean<\/a>.<\/p>\n<p>En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el c\u00f3digo entre una l\u00ednea con &#60;pre lang=&quot;lean&quot;&#62; y otra con &#60;\/pre&#62;<br \/>\n[\/expand]<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Este ejercicio es el 5\u00ba de una serie cuyo objetivo es demostrar que el tipo de las particiones de un conjunto X es isomorfo al tipo de las relaciones de equivalencia sobre X. Los anteriores son 1. Igualdad de bloques de una partici\u00f3n cuando tienen elementos comunes. 2. Pertenencia a bloques de una partici\u00f3n con elementos comunes. 3. Pertenencia a su propia clase de equivalencia. 4. Las clases de equivalencia contienen a las clases de equivalencia de sus elementos. El ejercicio consiste en demostrar que si C es una clase de equivalencia y a \u2208 C, entonces la clase de equivalencia de a es C. Para ello, completar la siguiente teor\u00eda de Lean: import tactic variable {A : Type} variable (R : A \u2192 A&#8230;<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_kad_post_transparent":"","_kad_post_title":"","_kad_post_layout":"","_kad_post_sidebar_id":"","_kad_post_content_style":"","_kad_post_vertical_padding":"","_kad_post_feature":"","_kad_post_feature_position":"","_kad_post_header":false,"_kad_post_footer":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[30],"tags":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/818"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=818"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/818\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":834,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/818\/revisions\/834"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=818"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=818"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=818"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}