{"id":815,"date":"2021-10-03T05:00:31","date_gmt":"2021-10-03T03:00:31","guid":{"rendered":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/?p=815"},"modified":"2021-10-02T14:08:35","modified_gmt":"2021-10-02T12:08:35","slug":"las-clases-de-equivalencia-contienen-a-las-clases-de-equivalencia-de-sus-elementos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/las-clases-de-equivalencia-contienen-a-las-clases-de-equivalencia-de-sus-elementos\/","title":{"rendered":"Las clases de equivalencia contienen a las clases de equivalencia de sus elementos"},"content":{"rendered":"

Este ejercicio es el 4\u00ba de una serie cuyo objetivo es demostrar que el tipo de las particiones de un conjunto X<\/code> es isomorfo al tipo de las relaciones de equivalencia sobre X<\/code>.<\/p>\n

Los anteriores son
\n1. Igualdad de bloques de una partici\u00f3n cuando tienen elementos comunes<\/a>.
\n2. Pertenencia a bloques de una partici\u00f3n con elementos comunes<\/a>.
\n3. Pertenencia a su propia clase de equivalencia<\/a>.<\/p>\n

El ejercicio consiste en demostrar que si C<\/code> es una clase de equivalencia y a \u2208 C<\/code>, entonces la clase de equivalencia de a<\/code> est\u00e1 contenida en C<\/code>.<\/p>\n

Para ello, completar la siguiente teor\u00eda de Lean:<\/p>\n

\nimport tactic\n\nvariable {A : Type}\nvariable (R : A \u2192 A \u2192 Prop)\n\ndef clase (a : A) :=\n  {b : A | R b a}\n\nexample\n  {hR: equivalence R}\n  {a b : A}\n  : a \u2208 clase R b \u2192 clase R a \u2286 clase R b :=\nsorry\n<\/pre>\n
[expand title=\u00bbSoluciones con Lean\u00bb]<\/p>\n
\r\nimport tactic\r\n\r\nvariable {A : Type}\r\nvariable (R : A \u2192 A \u2192 Prop)\r\n\r\ndef clase (a : A) :=\r\n  {b : A | R b a}\r\n\r\n-- Se usar\u00e1 el siguiente lema auxiliar\r\nlemma pertenece_clase_syss\r\n  {a b : A}\r\n  : b \u2208 clase R a \u2194 R b a :=\r\nby refl\r\n\r\n-- 1\u00aa demostraci\u00f3n\r\nexample\r\n  {hR: equivalence R}\r\n  {a b : A}\r\n  : a \u2208 clase R b \u2192 clase R a \u2286 clase R b :=\r\nbegin\r\n  intro hab,\r\n  intros z hza,\r\n  rw pertenece_clase_syss at hab hza \u22a2,\r\n  obtain \u27e8-, -, htrans\u27e9 := hR,\r\n  exact htrans hza hab,\r\nend\r\n\r\n-- 2\u00aa demostraci\u00f3n\r\nexample\r\n  {hR: equivalence R}\r\n  {a b : A}\r\n  : a \u2208 clase R b \u2192 clase R a \u2286 clase R b :=\r\nbegin\r\n  intros hab z hza,\r\n  exact hR.2.2 hza hab,\r\nend\r\n\r\n-- 3\u00aa demostraci\u00f3n\r\nlemma subclase_si_pertenece\r\n  {hR: equivalence R}\r\n  {a b : A}\r\n  : a \u2208 clase R b \u2192 clase R a \u2286 clase R b :=\r\n\u03bb hab z hza, hR.2.2 hza hab\r\n<\/pre>\n
Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesi\u00f3n con Lean<\/a>.<\/p>\n
En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el c\u00f3digo entre una l\u00ednea con <pre lang="lean"> y otra con <\/pre>
\n[\/expand]<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Este ejercicio es el 4\u00ba de una serie cuyo objetivo es demostrar que el tipo de las particiones de un conjunto X es isomorfo al tipo de las relaciones de equivalencia sobre X. Los anteriores son 1. Igualdad de bloques de una partici\u00f3n cuando tienen elementos comunes. 2. Pertenencia a bloques de una partici\u00f3n con elementos comunes. 3. Pertenencia a su propia clase de equivalencia. El ejercicio consiste en demostrar que si C es una clase de equivalencia y a \u2208 C, entonces la clase de equivalencia de a est\u00e1 contenida en C. Para ello, completar la siguiente teor\u00eda de Lean: import tactic variable {A : Type} variable (R : A \u2192 A \u2192 Prop) def clase (a : A) := {b : A |…<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_kad_post_transparent":"","_kad_post_title":"","_kad_post_layout":"","_kad_post_sidebar_id":"","_kad_post_content_style":"","_kad_post_vertical_padding":"","_kad_post_feature":"","_kad_post_feature_position":"","_kad_post_header":false,"_kad_post_footer":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[30],"tags":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/815"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=815"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/815\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":833,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/815\/revisions\/833"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=815"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=815"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=815"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}