{"id":808,"date":"2021-10-02T05:00:31","date_gmt":"2021-10-02T03:00:31","guid":{"rendered":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/?p=808"},"modified":"2021-10-02T13:01:53","modified_gmt":"2021-10-02T11:01:53","slug":"pertenencia-a-su-propia-clase-de-equivalencia","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/pertenencia-a-su-propia-clase-de-equivalencia\/","title":{"rendered":"Pertenencia a su propia clase de equivalencia"},"content":{"rendered":"<p>Este ejercicio es el 3\u00ba de una serie cuyo objetivo es demostrar que el tipo de las particiones de un conjunto <code>X<\/code> es isomorfo al tipo de las relaciones de equivalencia sobre <code>X<\/code>.<\/p>\n<p>Los anteriores son<br \/>\n1. <a href=\"https:\/\/bit.ly\/2YfsvBZ\">Igualdad de bloques de una partici\u00f3n cuando tienen elementos comunes<\/a>.<br \/>\n2. <a href=\"https:\/\/bit.ly\/3l2onxZ\">Pertenencia a bloques de una partici\u00f3n con elementos comunes<\/a>.<\/p>\n<p>En este empezamos con las relaciones de equivalencia, que est\u00e1n definidas en Lean por:<\/p>\n<pre lang=\"lean\">\n   reflexive R := \u2200 (x : A), R x x\n   symmetric R := \u2200 \u2983x y : A\u2984, R x y \u2192 R y x\n   transitive R := \u2200 \u2983x y z : A\u2984, R x y \u2192 R y z \u2192 R x z\n   equivalence R := reflexive R \u2227 symmetric R \u2227 transitive R\n<\/pre>\n<p>donde <code>A<\/code> un tipo y <code>R: A \u2192 A \u2192 Prop<\/code> es una relaci\u00f3n binaria en <code>A<\/code>.<\/p>\n<p>Adem\u00e1s, en Lean se puede definir la clase de equivalencia de un elemento <code>a<\/code> respecto de una relaci\u00f3n de equivalencia <code>R<\/code> por<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   def clase (a : A) :=\n     {b : A | R b a}\n<\/pre>\n<p>Demostrar que cada elemento pertenece a su clase de equivalencia.<\/p>\n<p>Para ello, completar la siguiente teor\u00eda de Lean:<\/p>\n<pre lang=\"lean\">\nimport tactic\n\nvariable {A : Type}\nvariable (R : A \u2192 A \u2192 Prop)\n\ndef clase (a : A) :=\n  {b : A | R b a}\n\nexample\n  {hR : equivalence R}\n  (a : A)\n  : a \u2208 clase R a :=\nsorry\n<\/pre>\n<p>[expand title=\u00bbSoluciones con Lean\u00bb]<\/p>\n<pre lang=\"lean\">\r\nimport tactic\r\n\r\nvariable {A : Type}\r\nvariable (R : A \u2192 A \u2192 Prop)\r\n\r\ndef clase (a : A) :=\r\n  {b : A | R b a}\r\n\r\n-- Se usar\u00e1 el siguiente lema auxiliar\r\nlemma pertenece_clase_syss\r\n  {a b : A}\r\n  : b \u2208 clase R a \u2194 R b a :=\r\nby refl\r\n\r\n-- 1\u00aa demostraci\u00f3n\r\nexample\r\n  {hR : equivalence R}\r\n  (a : A)\r\n  : a \u2208 clase R a :=\r\nbegin\r\n  rw pertenece_clase_syss,\r\n  suffices h : reflexive R,\r\n  { exact h a, },\r\n  { rcases hR with \u27e8h2, -, -\u27e9,\r\n    exact h2, },\r\nend\r\n\r\n-- 1\u00aa demostraci\u00f3n\r\nexample\r\n  {hR : equivalence R}\r\n  (a : A)\r\n  : a \u2208 clase R a :=\r\nbegin\r\n  rw pertenece_clase_syss,\r\n  suffices h : reflexive R,\r\n  { exact h a, },\r\n  { exact hR.1, },\r\nend\r\n\r\n-- 3\u00aa demostraci\u00f3n\r\nexample\r\n  {hR : equivalence R}\r\n  (a : A)\r\n  : a \u2208 clase R a :=\r\nbegin\r\n  rw pertenece_clase_syss,\r\n  rcases hR with \u27e8hrefl, -, -\u27e9,\r\n  exact hrefl a,\r\nend\r\n\r\n-- 4\u00aa demostraci\u00f3n\r\nexample\r\n  {hR : equivalence R}\r\n  (a : A)\r\n  : a \u2208 clase R a :=\r\nbegin\r\n  obtain \u27e8hrefl, -, -\u27e9 := hR,\r\n  rw pertenece_clase_syss,\r\n  apply hrefl,\r\nend\r\n\r\n-- 5\u00aa demostraci\u00f3n\r\nexample\r\n  {hR : equivalence R}\r\n  (a : A)\r\n  : a \u2208 clase R a :=\r\nbegin\r\n  rw pertenece_clase_syss,\r\n  apply hR.1,\r\nend\r\n\r\n-- 6\u00aa demostraci\u00f3n\r\nlemma pertenece_clase_propia\r\n  {hR : equivalence R}\r\n  (a : A)\r\n  : a \u2208 clase R a :=\r\n(pertenece_clase_syss R).mpr (hR.1 a)\r\n<\/pre>\n<p>Se puede interactuar con la prueba anterior en <a href=\"https:\/\/leanprover-community.github.io\/lean-web-editor\/#url=https:\/\/raw.githubusercontent.com\/jaalonso\/Calculemus\/main\/src\/Pertenencia_a_su_propia_clase_de_equivalencia.lean\" rel=\"noopener noreferrer\" target=\"_blank\">esta sesi\u00f3n con Lean<\/a>.<\/p>\n<p>En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el c\u00f3digo entre una l\u00ednea con &#60;pre lang=&quot;lean&quot;&#62; y otra con &#60;\/pre&#62;<br \/>\n[\/expand]<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Este ejercicio es el 3\u00ba de una serie cuyo objetivo es demostrar que el tipo de las particiones de un conjunto X es isomorfo al tipo de las relaciones de equivalencia sobre X. Los anteriores son 1. Igualdad de bloques de una partici\u00f3n cuando tienen elementos comunes. 2. Pertenencia a bloques de una partici\u00f3n con elementos comunes. En este empezamos con las relaciones de equivalencia, que est\u00e1n definidas en Lean por: reflexive R := \u2200 (x : A), R x x symmetric R := \u2200 \u2983x y : A\u2984, R x y \u2192 R y x transitive R := \u2200 \u2983x y z : A\u2984, R x y \u2192 R y z \u2192 R x z equivalence R := reflexive R \u2227 symmetric R \u2227&#8230;<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_kad_post_transparent":"","_kad_post_title":"","_kad_post_layout":"","_kad_post_sidebar_id":"","_kad_post_content_style":"","_kad_post_vertical_padding":"","_kad_post_feature":"","_kad_post_feature_position":"","_kad_post_header":false,"_kad_post_footer":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[30],"tags":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/808"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=808"}],"version-history":[{"count":10,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/808\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":832,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/808\/revisions\/832"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=808"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=808"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=808"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}