{"id":660,"date":"2021-08-17T06:00:21","date_gmt":"2021-08-17T04:00:21","guid":{"rendered":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/?p=660"},"modified":"2021-08-06T17:34:46","modified_gmt":"2021-08-06T15:34:46","slug":"la-equipotencia-es-una-relacion-transitiva","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/la-equipotencia-es-una-relacion-transitiva\/","title":{"rendered":"La equipotencia es una relaci\u00f3n transitiva"},"content":{"rendered":"<p>Dos conjuntos A y B son equipotentes (y se denota por A \u2243 B) si existe una aplicaci\u00f3n biyectiva entre ellos. La equipotencia se puede definir en Lean por<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   def es_equipotente (A B : Type*) :=\n     \u2203 g : A \u2192 B, bijective g\n\n   infix ` \u22cd `: 50 := es_equipotente\n<\/pre>\n<p>Demostrar que la relaci\u00f3n de equipotencia es transitiva.<\/p>\n<p>Para ello, completar la siguiente teor\u00eda de Lean:<\/p>\n<pre lang=\"lean\">\nimport tactic\nopen function\n\ndef es_equipotente (A B : Type*) :=\n  \u2203 g : A \u2192 B, bijective g\n\ninfix ` \u22cd `: 50 := es_equipotente\n\nexample : transitive (\u22cd) :=\nsorry\n<\/pre>\n<p>[expand title=\u00bbSoluciones con Lean\u00bb]<\/p>\n<pre lang=\"lean\">\r\nimport tactic\r\nopen function\r\n\r\ndef es_equipotente (A B : Type*) :=\r\n  \u2203 g : A \u2192 B, bijective g\r\n\r\ninfix ` \u22cd `: 50 := es_equipotente\r\n\r\n-- 1\u00aa demostraci\u00f3n\r\nexample : transitive (\u22cd) :=\r\nbegin\r\n  intros X Y Z hXY hYZ,\r\n  unfold es_equipotente at *,\r\n  cases hXY with f hf,\r\n  cases hYZ with g hg,\r\n  use (g \u2218 f),\r\n  exact bijective.comp hg hf,\r\nend\r\n\r\n-- 2\u00aa demostraci\u00f3n\r\nexample : transitive (\u22cd) :=\r\nbegin\r\n  rintros X Y Z \u27e8f, hf\u27e9 \u27e8g, hg\u27e9,\r\n  use [g \u2218 f, bijective.comp hg hf],\r\nend\r\n\r\n-- 3\u00aa demostraci\u00f3n\r\nexample : transitive (\u22cd) :=\r\n\u03bb X Y Z \u27e8f, hf\u27e9 \u27e8g, hg\u27e9, by use [g \u2218 f, bijective.comp hg hf]\r\n\r\n-- 4\u00aa demostraci\u00f3n\r\nexample : transitive (\u22cd) :=\r\n\u03bb X Y Z \u27e8f, hf\u27e9 \u27e8g, hg\u27e9, exists.intro (g \u2218 f) (bijective.comp hg hf)\r\n\r\n-- 4\u00aa demostraci\u00f3n\r\nexample : transitive (\u22cd) :=\r\n\u03bb X Y Z \u27e8f, hf\u27e9 \u27e8g, hg\u27e9, \u27e8g \u2218 f, bijective.comp hg hf\u27e9\r\n<\/pre>\n<p>Se puede interactuar con la prueba anterior en <a href=\"https:\/\/leanprover-community.github.io\/lean-web-editor\/#url=https:\/\/raw.githubusercontent.com\/jaalonso\/Calculemus\/main\/src\/La_equipotencia_es_una_relacion_transitiva.lean\" rel=\"noopener noreferrer\" target=\"_blank\">esta sesi\u00f3n con Lean<\/a>.<\/p>\n<p>En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el c\u00f3digo entre una l\u00ednea con &#60;pre lang=&quot;lean&quot;&#62; y otra con &#60;\/pre&#62;<br \/>\n[\/expand]<\/p>\n<p>[expand title=\u00bbSoluciones con Isabelle\/HOL\u00bb]<\/p>\n<pre lang=\"isar\">\r\ntheory La_equipotencia_es_una_relacion_transitiva\r\nimports Main \"HOL-Library.Equipollence\"\r\nbegin\r\n\r\n(* 1\u00aa demostraci\u00f3n *)\r\nlemma \"transp (\u2248)\"\r\nproof (rule transpI)\r\n  fix x y z :: \"'a set\"\r\n  assume \"x \u2248 y\" and \"y \u2248 z\"\r\n  show \"x \u2248 z\"\r\n  proof (unfold eqpoll_def)\r\n    obtain f where hf : \"bij_betw f x y\"\r\n      using \u2039x \u2248 y\u203a eqpoll_def by auto\r\n    obtain g where hg : \"bij_betw g y z\"\r\n      using \u2039y \u2248 z\u203a eqpoll_def by auto\r\n    have \"bij_betw (g \u2218 f) x z\"\r\n      using hf hg by (rule bij_betw_trans)\r\n    then show \"\u2203h. bij_betw h x z\"\r\n      by auto\r\n  qed\r\nqed\r\n\r\n(* 2\u00aa demostraci\u00f3n *)\r\nlemma \"transp (\u2248)\"\r\n  unfolding eqpoll_def transp_def\r\n  by (meson bij_betw_trans)\r\n\r\n(* 3\u00aa demostraci\u00f3n *)\r\nlemma \"transp (\u2248)\"\r\n  by (simp add: eqpoll_trans transpI)\r\n\r\nend\r\n<\/pre>\n<p>En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el c\u00f3digo entre una l\u00ednea con &#60;pre lang=&quot;isar&quot;&#62; y otra con &#60;\/pre&#62;<br \/>\n[\/expand]<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Dos conjuntos A y B son equipotentes (y se denota por A \u2243 B) si existe una aplicaci\u00f3n biyectiva entre ellos. La equipotencia se puede definir en Lean por def es_equipotente (A B : Type*) := \u2203 g : A \u2192 B, bijective g infix ` \u22cd `: 50 := es_equipotente Demostrar que la relaci\u00f3n de equipotencia es transitiva. Para ello, completar la siguiente teor\u00eda de Lean: import tactic open function def es_equipotente (A B : Type*) := \u2203 g : A \u2192 B, bijective g infix ` \u22cd `: 50 := es_equipotente example : transitive (\u22cd) := sorry [expand title=\u00bbSoluciones con Lean\u00bb] import tactic open function def es_equipotente (A B : Type*) := \u2203 g : A \u2192 B, bijective g infix ` \u22cd&#8230;<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_kad_post_transparent":"","_kad_post_title":"","_kad_post_layout":"","_kad_post_sidebar_id":"","_kad_post_content_style":"","_kad_post_vertical_padding":"","_kad_post_feature":"","_kad_post_feature_position":"","_kad_post_header":false,"_kad_post_footer":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[29],"tags":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/660"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=660"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/660\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":661,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/660\/revisions\/661"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=660"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=660"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=660"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}