{"id":626,"date":"2021-08-04T06:00:28","date_gmt":"2021-08-04T04:00:28","guid":{"rendered":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/?p=626"},"modified":"2021-08-03T11:26:28","modified_gmt":"2021-08-03T09:26:28","slug":"una-funcion-tiene-inversa-por-la-izquierda-si-y-solo-si-es-inyectiva","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/una-funcion-tiene-inversa-por-la-izquierda-si-y-solo-si-es-inyectiva\/","title":{"rendered":"Una funci\u00f3n tiene inversa por la izquierda si y solo si es inyectiva"},"content":{"rendered":"

En Lean, que g es una inversa por la izquierda de f est\u00e1 definido por<\/p>\n

\n   left_inverse (g : \u03b2 \u2192 \u03b1) (f : \u03b1 \u2192 \u03b2) : Prop :=\n      \u2200 x, g (f x) = x\n<\/pre>\n
y que f tenga inversa por la izquierda est\u00e1 definido por<\/p>\n
\n   has_left_inverse (f : \u03b1 \u2192 \u03b2) : Prop :=\n      \u2203 finv : \u03b2 \u2192 \u03b1, left_inverse finv f\n<\/pre>\n
Finalmente, que f es inyectiva est\u00e1 definido por<\/p>\n
\n   injective (f : \u03b1 \u2192 \u03b2) : Prop :=\n      \u2200 \u2983x y\u2984, f x = f y \u2192 x = y\n<\/pre>\n
Demostrar que una funci\u00f3n f, con dominio no vac\u00edo, tiene inversa por la izquierda si y solo si es inyectiva.<\/p>\n
Para ello, completar la siguiente teor\u00eda de Lean:<\/p>\n
\nimport tactic\nopen function\n\nvariables {\u03b1 : Type*} [nonempty \u03b1]\nvariable  {\u03b2 : Type*}\nvariable  {f : \u03b1 \u2192 \u03b2}\n\nexample :\n  has_left_inverse f \u2194 injective f :=\nsorry\n<\/pre>\n
[expand title=\u00bbSoluciones con Lean\u00bb]<\/p>\n
\r\nimport tactic\r\nopen function\r\n\r\nvariables {\u03b1 : Type*} [nonempty \u03b1]\r\nvariable  {\u03b2 : Type*}\r\nvariable  {f : \u03b1 \u2192 \u03b2}\r\n\r\n-- 1\u00aa demostraci\u00f3n\r\nexample : has_left_inverse f \u2194 injective f :=\r\nbegin\r\n  split,\r\n  { intro hf,\r\n    intros x y hxy,\r\n    cases hf with g hg,\r\n    calc x = g (f x) : (hg x).symm\r\n       ... = g (f y) : congr_arg g hxy\r\n       ... = y       : hg y, },\r\n  { intro hf,\r\n    use inv_fun f,\r\n    intro x,\r\n    apply hf,\r\n    apply inv_fun_eq,\r\n    use x, },\r\nend\r\n\r\n-- 2\u00aa demostraci\u00f3n\r\nexample : has_left_inverse f \u2194 injective f :=\r\nbegin\r\n  split,\r\n  { intro hf,\r\n    exact has_left_inverse.injective hf },\r\n  { intro hf,\r\n    exact injective.has_left_inverse hf },\r\nend\r\n\r\n-- 3\u00aa demostraci\u00f3n\r\nexample : has_left_inverse f \u2194 injective f :=\r\n\u27e8has_left_inverse.injective, injective.has_left_inverse\u27e9\r\n\r\n-- 4\u00aa demostraci\u00f3n\r\nexample : has_left_inverse f \u2194 injective f :=\r\ninjective_iff_has_left_inverse.symm\r\n<\/pre>\n
Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesi\u00f3n con Lean<\/a>.<\/p>\n
En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el c\u00f3digo entre una l\u00ednea con <pre lang="lean"> y otra con <\/pre>
\n[\/expand]<\/p>\n
[expand title=\u00bbSoluciones con Isabelle\/HOL\u00bb]<\/p>\n
\r\ntheory Una_funcion_tiene_inversa_por_la_izquierda_si_y_solo_si_es_inyectiva\r\nimports Main\r\nbegin\r\n\r\ndefinition tiene_inversa_izq :: \"('a \u21d2 'b) \u21d2 bool\" where\r\n  \"tiene_inversa_izq f \u27f7 (\u2203g. \u2200x. g (f x) = x)\"\r\n\r\n(* 1\u00aa demostraci\u00f3n *)\r\nlemma\r\n  \"tiene_inversa_izq f \u27f7 inj f\"\r\nproof (rule iffI)\r\n  assume \"tiene_inversa_izq f\"\r\n  show \"inj f\"\r\n  proof (unfold inj_def; intro allI impI)\r\n    fix x y\r\n    assume \"f x = f y\"\r\n    obtain g where hg : \"\u2200x. g (f x) = x\"\r\n      using \u2039tiene_inversa_izq f\u203a tiene_inversa_izq_def\r\n      by auto\r\n    have \"x = g (f x)\"\r\n      by (simp only: hg)\r\n    also have \"\u2026 = g (f y)\"\r\n      by (simp only: \u2039f x = f y\u203a)\r\n    also have \"\u2026 = y\"\r\n      by (simp only: hg)\r\n    finally show \"x = y\" .\r\n  qed\r\nnext\r\n  assume \"inj f\"\r\n  show \"tiene_inversa_izq f\"\r\n  proof (unfold tiene_inversa_izq_def)\r\n    have \"\u2200x. inv f (f x) = x\"\r\n    proof (rule allI)\r\n      fix x\r\n      show \"inv f (f x) = x\"\r\n        using \u2039inj f\u203a by (simp only: inv_f_f)\r\n    qed\r\n  then show \"(\u2203g. \u2200x. g (f x) = x)\"\r\n    by (simp only: exI)\r\n  qed\r\nqed\r\n\r\n(* 2\u00aa demostraci\u00f3n *)\r\nlemma\r\n  \"tiene_inversa_izq f \u27f7 inj f\"\r\nproof (rule iffI)\r\n  assume \"tiene_inversa_izq f\"\r\n  then show \"inj f\"\r\n    by (metis inj_def tiene_inversa_izq_def)\r\nnext\r\n  assume \"inj f\"\r\n  then show \"tiene_inversa_izq f\"\r\n    by (metis the_inv_f_f tiene_inversa_izq_def)\r\nqed\r\n\r\n(* 3\u00aa demostraci\u00f3n *)\r\nlemma\r\n  \"tiene_inversa_izq f \u27f7 inj f\"\r\nby (metis tiene_inversa_izq_def inj_def the_inv_f_f)\r\n\r\nend\r\n<\/pre>\n
En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el c\u00f3digo entre una l\u00ednea con <pre lang="isar"> y otra con <\/pre>
\n[\/expand]<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
En Lean, que g es una inversa por la izquierda de f est\u00e1 definido por left_inverse (g : \u03b2 \u2192 \u03b1) (f : \u03b1 \u2192 \u03b2) : Prop := \u2200 x, g (f x) = x y que f tenga inversa por la izquierda est\u00e1 definido por has_left_inverse (f : \u03b1 \u2192 \u03b2) : Prop := \u2203 finv : \u03b2 \u2192 \u03b1, left_inverse finv f Finalmente, que f es inyectiva est\u00e1 definido por injective (f : \u03b1 \u2192 \u03b2) : Prop := \u2200 \u2983x y\u2984, f x = f y \u2192 x = y Demostrar que una funci\u00f3n f, con dominio no vac\u00edo, tiene inversa por la izquierda si y solo si es inyectiva. Para ello, completar la siguiente teor\u00eda de Lean: import tactic open…<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_kad_post_transparent":"","_kad_post_title":"","_kad_post_layout":"","_kad_post_sidebar_id":"","_kad_post_content_style":"","_kad_post_vertical_padding":"","_kad_post_feature":"","_kad_post_feature_position":"","_kad_post_header":false,"_kad_post_footer":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[17],"tags":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/626"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=626"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/626\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":629,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/626\/revisions\/629"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=626"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=626"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=626"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}