Demostrar con Lean4 que en los anillos ordenados se verifica que
\n\\[ a \u2264 b \u2192 0 \u2264 b – a \\]<\/p>\n
Para ello, completar la siguiente teor\u00eda de Lean4:<\/p>\n
\r\nimport Mathlib.Algebra.Order.Ring.Defs\r\nvariable {R : Type _} [StrictOrderedRing R]\r\nvariable (a b c : R)\r\n\r\nexample : a \u2264 b \u2192 0 \u2264 b - a :=\r\nby sorry\r\n<\/pre>\n<\/p>\n
Demostraci\u00f3n en lenguaje natural<\/b><\/p>\n
\nSe usar\u00e1n los siguientes lemas:
\n\\begin{align}
\n &a – a = 0 \\tag{L1} \\\\
\n &a \u2264 b \u2192 (\u2200 c) [a – c \u2264 b – c] \\tag{L2}
\n\\end{align}<\/p>\n
Supongamos que
\n\\[ a \u2264 b \\tag{1} \\]
\nLa demostraci\u00f3n se tiene por la siguiente cadena de desigualdades:
\n\\begin{align}
\n 0 &= a – a &&\\text{[por L1]} \\\\
\n &\u2264 b – a &&\\text{[por (1) y L2]}
\n\\end{align}<\/p>\n
Demostraciones con Lean4<\/b><\/p>\n\r\nimport Mathlib.Algebra.Order.Ring.Defs\r\nvariable {R : Type _} [StrictOrderedRing R]\r\nvariable (a b c : R)\r\n\r\n-- 1\u00aa demostraci\u00f3n\r\nexample : a \u2264 b \u2192 0 \u2264 b - a :=\r\nby\r\n intro h\r\n calc\r\n 0 = a - a := (sub_self a).symm\r\n _ \u2264 b - a := sub_le_sub_right h a\r\n\r\n-- 2\u00aa demostraci\u00f3n\r\nexample : a \u2264 b \u2192 0 \u2264 b - a :=\r\nsub_nonneg.mpr\r\n\r\n-- 3\u00aa demostraci\u00f3n\r\nexample : a \u2264 b \u2192 0 \u2264 b - a :=\r\nby simp\r\n\r\n-- Lemas usados\r\n-- ============\r\n\r\n-- #check (sub_le_sub_right : a \u2264 b \u2192 \u2200 (c : R), a - c \u2264 b - c)\r\n-- #check (sub_nonneg : 0 \u2264 a - b \u2194 b \u2264 a)\r\n-- #check (sub_self a : a - a = 0)\r\n<\/pre>\nDemostraciones interactivas<\/b><\/p>\n
Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web<\/a>.<\/p>\nReferencias<\/b><\/p>\n