Aplicación de particiones en relaciones de equivalencia
Este ejercicio es el 13º de una serie cuyo objetivo es demostrar que el tipo de las particiones de un conjunto X
es isomorfo al tipo de las relaciones de equivalencia sobre X
.
Los anteriores son
1. Igualdad de bloques de una partición cuando tienen elementos comunes.
2. Pertenencia a bloques de una partición con elementos comunes.
3. Pertenencia a su propia clase de equivalencia.
4. Las clases de equivalencia contienen a las clases de equivalencia de sus elementos.
5. Las clases de equivalencia son iguales a las de sus elementos.
6. Las clases de equivalencia son no vacías.
7. Las clases de equivalencia recubren el conjunto.
8. Las clases de equivalencia son disjuntas.
9. El cociente aplica relaciones de equivalencia en particiones.
10. Las relaciones definidas por particiones son reflexivas.
11. Las relaciones definidas por particiones son simétricas.
12. Las relaciones definidas por particiones son transitivas.
Definir la función
1 |
relacionP : particion A → {R : A → A → Prop // equivalence R} |
tal que relacionP P
es la relación de equivalencia definida por la partición P
.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
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import tactic @[ext] structure particion (A : Type) := (Bloques : set (set A)) (Hno_vacios : ∀ X ∈ Bloques, (X : set A).nonempty) (Hrecubren : ∀ a, ∃ X ∈ Bloques, a ∈ X) (Hdisjuntos : ∀ X Y ∈ Bloques, (X ∩ Y : set A).nonempty → X = Y) namespace particion variable {A : Type} def relacionP : particion A → {R : A → A → Prop // equivalence R} := sorry |
[expand title=»Soluciones con Lean»]
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import tactic @[ext] structure particion (A : Type) := (Bloques : set (set A)) (Hno_vacios : ∀ X ∈ Bloques, (X : set A).nonempty) (Hrecubren : ∀ a, ∃ X ∈ Bloques, a ∈ X) (Hdisjuntos : ∀ X Y ∈ Bloques, (X ∩ Y : set A).nonempty → X = Y) namespace particion variable {A : Type} variables {X Y : set A} variable {P : particion A} def relacion : (particion A) → (A → A → Prop) := λ P a b, ∀ X ∈ Bloques P, a ∈ X → b ∈ X lemma reflexiva (P : particion A) : reflexive (relacion P) := λ a X hXC haX, haX lemma iguales_si_comun (hX : X ∈ Bloques P) (hY : Y ∈ Bloques P) {a : A} (haX : a ∈ X) (haY : a ∈ Y) : X = Y := Hdisjuntos P X Y hX hY ⟨a, haX, haY⟩ lemma pertenece_si_pertenece (hX : X ∈ Bloques P) (hY : Y ∈ Bloques P) {a b : A} (haX : a ∈ X) (haY : a ∈ Y) (hbX : b ∈ X) : b ∈ Y := begin convert hbX, exact iguales_si_comun hY hX haY haX, end lemma simetrica (P : particion A) : symmetric (relacion P) := begin intros a b h X hX hbX, obtain ⟨Y, hY, haY⟩ := Hrecubren P a, specialize h Y hY haY, exact pertenece_si_pertenece hY hX h hbX haY, end lemma transitiva (P : particion A) : transitive (relacion P) := λ a b c hab hbc X hX haX, hbc X hX (hab X hX haX) def relacionP : particion A → {R : A → A → Prop // equivalence R} := λ P, ⟨λ a b, ∀ X ∈ Bloques P, a ∈ X → b ∈ X, ⟨reflexiva P, simetrica P, transitiva P⟩⟩ end particion |
Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.
En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>
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