Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11) Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11)

Enunciado: Se sabe que la función f:R->R definida como -x^2+bx+1 si x<=1 y ax^2+5x+2a si x>1 es derivable. Determina los valores de a y b.

Solución:

(%i17) f(x) := if x<=1 then -x^2+b*x+1 elseif x>1 then a*x^2-5*x+2*a;
(%o17) f(x):=if x<=1 then -x^2+b*x+1 elseif x>1 then a*x^2-5*x+2*a 

Para que sea derivable tiene que ser contínua por lo que hacemos los límites 
laterales y los igualamos obteniendo una ecuación.
(%i18) assume(x<=1)$ 
limit(f(x),x,1,minus);
(%o19) b
(%i20) forget(x<=1)$
assume(x>1)$ 
limit(f(x),x,1,plus);
(%o22) 3*a-5

Hacemos las derivadas laterales y las igualamos obteniendo la segunda ecuación.
(%i30) forget(x>1)$
assume(x<=1)$ 
define(dfp(x),diff(f(x),x,1));
(%o32) dfp(x):=b-2*x
(%i33) limit(dfp(x), x, 1, minus);
(%o33) b-2
(%i34) forget(x<=1)$
assume(x>1)$ 
define(dfp(x),diff(f(x),x,1));
(%o36) dfp(x):=2*a*x-5
(%i39) limit(dfp(x), x, 1, plus);
(%o39) 2*a-5

Resolvemos el sistema.
(%i40) linsolve([b=3*a-5, b-2=2*a-5], [a,b]);
(%o40) [a=2,b=1]