Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11) Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11)

Ejercicio 1

Ejercicio 1.1.

Definir la matriz

<math> M_k = \left(

\begin{array}{ccc}
  2 & -1 & 1 \\
 -1 & k  & 1 \\
  1 & 1  & 2
\end{array}

\right) </math>

para <math>k \in \mathbb{R}</math>.

Solución:

Ejercicio 1.2.

Calcular el determinante de M(k).

Solución:

Ejercicio 1.3.

Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.

Solución:

Ejercicio 1.4.

Calcular la inversa de M(k).

Solución:

Ejercicio 1.5.

Calcular los autovalores de M(k).

Solución:

Ejercicio 1.6.

Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples.

Ejercicio 2

Ejercicio 2.1.

Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden n+1 cuyo término general es

  a(i,j) = binomial(j-1,i-1), si i <= j
         = 0,                 si i >  j

Solución:

Ejercicio 2.2.

Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).

Solución:

Ejercicio 2.3.

Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).

Solución:

Ejercicio 2.4.

Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).

Solución:

Ejercicio 2.5.

Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.

Solución:

Ejercicio 3

El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por

<math> \left(

\begin{array}{cc}
   1 & -5 \\
  -5 &  3
\end{array}

\right) </math>

Ejercicio 3.1.

Escribir la matriz A definida por

  [ 1 -5]
  [-5  3]

Solución:

Ejercicio 3.2.

Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.

Solución:

Ejercicio 3.3.

Calcular M = AX − XA

Solución:

Ejercicio 3.4.

Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.

Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.

Solución:

Ejercicio 3.5.

Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0

Solución:

Ejercicio 3.6.

Comprobar que A y B conmutan.

Solución: