Ejercicios de selectividad

Introducción

En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en

Ejercicios

Solución

Para calcular la recta r', proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>, basta tomar dos puntos de la recta r y calcular sus proyecciones sobre <math>\displaystyle\pi</math>.

Calculamos la proyección de A=(-1,0,0)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos P. La recta que pasa por A y es perpendicular al plano es:

<math>s=\left\{\begin{array}{cccc}

                   x= & -1 & + & 2a \\
                   y= &    & - & 3a \\
                   z= &    & & a
                   \end{array}\right.</math>

   (%i1) solve(2*(-1+2*a)-3*(-3*a)+a+1=0,a);
   (%o1) [a=1/14]
   (%i2) a:1/14$
   (%i3) P:[-1+2*a,-3*a,a];
   (%o3) [-6/7,-3/14,1/14]

Calculamos ahora la proyección de B=(-2,-1,2)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos Q. La recta que pasa por B y es perpendicular al plano es:

<math>t=\left\{\begin{array}{cccc}

                   x= & -2 & + & 2b \\
                   y= & -1 & - & 3b \\
                   z= &  2 & + & b
                   \end{array}\right.</math>

   (%i4) solve(2*(-2+2*b)-3*(-1-3*b)+2+b+1=0,b);
   (%o4) [b=-1/7]
   (%i5) b:-1/7$
   (%i6) Q:[-2+2*b,-1-3*b,2+b];
   (%o6) [-16/7,-4/7,13/7]

El vector director de la recta proyección r' sería:

   (%i7) PQ: [first(Q)-first(P),second(Q)-second(P),last(Q)-last(P)];
   (%o7) [-10/7,-5/14,25/14]

Por tanto la recta r' es:

<math>r'=\left\{\begin{array}{cccc}

                   x= & \displaystyle\frac{-6}{7} & + & \displaystyle\frac{-10}{7}u  \\
                   y= & \displaystyle\frac{-3}{14} & + & \displaystyle\frac{-5}{14}u  \\
                   z= & \displaystyle\frac{1}{14} & + & \displaystyle\frac{25}{14}u
                   \end{array}\right.</math>

De Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11)

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