Ejercicios de selectividad
De Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11)
En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
- Colección de Eduardo Ramos.
- Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas.
- Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II
Sumario
Enunciado
Se consideran las matrices A y B (dadas a continuación), donde t es un número real.
a) Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.
b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.
c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado? (X,C dadas a continuación).
(%i1) A: matrix(
[1,2,t], [1,-1,-1]
);
(%o1) matrix([1,2,t],[1,-1,-1]) (%i2) B: matrix(
[1,3], [t,0], [0,2]
);
(%o2) matrix([1,3],[t,0],[0,2])
(%i3) X: matrix(
[x], [y], [z]
); (%o3) matrix([x],[y],[z])
(%i4) C: matrix(
[a], [b]
); (%o4) matrix([a],[b])
Solución
a)Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.
Para que una matriz sea invertible su derteminante tiene que ser distinto de 0. A continuación calcularemos el producto AB.
(%i5) A.B;
(%o5) matrix([2*t+1,2*t+3],[1-t,1])
(%i6) determinant(%);
(%o6) -(1-t)*(2*t+3)+2*t+1
(%i7)ratsimp(%);
(%o7) 2*t^2+3*t-2
Para los valores de t que se anule el determinate de AB, la matriz no será invertible.
(%i8) solve([2*t^2+3*t-2], [t]);
(%o8) [t=-2,t=1/2]
Luego si t es distinto de -2 o 1/2 la matriz es ivertible.
b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.
(%i9) B.A;
(%o9) matrix([4,-1,t-3],[t,2*t,t^2],[2,-2,-2])
(%i10) determinant(%);
(%o10) 4*(2*t^2-4*t)-2*t^2-6*(t-3)*t-2*t
(%i11) ratsimp(%);
(%o11) 0
La matriz BA no es invertible pues el determinante se anula para todo valor de t. c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?.
Para que el sistema sea compatible el rango de A debe ser 3, igual al número de
incógnitas, lo que es claramente imposible pues A es una matriz de 2x3 y por lo
tanto su rango no puede ser mayor que 2.
Enunciado
- [[Ejercicio 2: Halla, en función de a, el valor del determinante:
<math>\left|\begin{array}{cccc}
a & a & a & a \\
2 & a & a & a \\
3 & 2 & a & a \\
4 & 3 & 2 & a
\end{array}\right|</math> ]]
Solución
(%i1) A: matrix([a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a])$
(%i2) determinant(A)$
(%i3) ratsimp(%);
(%o3) a^4-6*a^3+12*a^2-8*a
Enunciado
- [[Ejercicio 3: Sean la recta r y el plano <math>\pi</math> dados por:
<math>r=\left\{\begin{array}{lll}
x= & -1 & -\lambda \\
y= & & -\lambda \\
z= & & 2\lambda
\end{array}\right.</math>
<math> \displaystyle\pi: 2x-3y+z+1=0 </math>
Apartado a
Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano <math>\pi</math>.
Solución
El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano cualesquiera, a partir del vector director de la recta y del vector normal del plano.
(%i1) senoangulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],
prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),
modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),
modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),
float(dist:prodesc/(modv*modn)))$
En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es(2,-3,1):
(%i2) senoangulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);
(%o2) 0.32732683535399
Apartado b
Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>.
Solución
Para calcular la recta r', proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>, basta tomar dos puntos de la recta r y calcular sus proyecciones sobre <math>\displaystyle\pi</math>.
Calculamos la proyección de A=(-1,0,0)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos P. La recta que pasa por A y es perpendicular al plano es:
<math>s=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & -1 & + & 2a \\
y= & & - & 3a \\
z= & & & a
\end{array}\right.</math>
(%i1) solve(2*(-1+2*a)-3*(-3*a)+a+1=0,a); (%o1) [a=1/14] (%i2) a:1/14$ (%i3) P:[-1+2*a,-3*a,a]; (%o3) [-6/7,-3/14,1/14]
Calculamos ahora la proyección de B=(-2,-1,2)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos Q. La recta que pasa por B y es perpendicular al plano es:
<math>t=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & -2 & + & 2b \\
y= & -1 & - & 3b \\
z= & 2 & + & b
\end{array}\right.</math>
(%i4) solve(2*(-2+2*b)-3*(-1-3*b)+2+b+1=0,b); (%o4) [b=-1/7] (%i5) b:-1/7$ (%i6) Q:[-2+2*b,-1-3*b,2+b]; (%o6) [-16/7,-4/7,13/7]
El vector director de la recta proyección r' sería:
(%i7) PQ: [first(Q)-first(P),second(Q)-second(P),last(Q)-last(P)]; (%o7) [-10/7,-5/14,25/14]
Por tanto la recta r' es:
<math>r'=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & \displaystyle\frac{-6}{7} & + & \displaystyle\frac{-10}{7}u \\
y= & \displaystyle\frac{-3}{14} & + & \displaystyle\frac{-5}{14}u \\
z= & \displaystyle\frac{1}{14} & + & \displaystyle\frac{25}{14}u
\end{array}\right.</math>