Ejercicios de selectividad
De Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11)
En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
- Colección de Eduardo Ramos.
- Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas.
- Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II
Ejercicio
Soluciones
Se consideran las matrices A y B (dadas a continuación), donde t es un número real.
a) Encontrar los valores de t para los que AB es invertible. b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible. c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado? (X,C dadas a continuación). (%i1) A: matrix(
[1,2,t], [1,-1,-1]
); (%o1) matrix([1,2,t],[1,-1,-1]) (%i2) B: matrix(
[1,3], [t,0], [0,2]
); (%o2) matrix([1,3],[t,0],[0,2])
(%i3) X: matrix(
[x], [y], [z]
); (%o3) matrix([x],[y],[z])
(%i4) C: matrix(
[a], [b]
); (%o4) matrix([a],[b])
a)Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.
Para que una matriz sea invertible su derteminante tiene que ser distinto de 0. A continuación calcularemos el producto AB.
(%i5) A.B; (%o5) matrix([2*t+1,2*t+3],[1-t,1]) (%i6) determinant(%); (%o6) -(1-t)*(2*t+3)+2*t+1 (%i7)ratsimp(%); (%o7) 2*t^2+3*t-2
Para los valores de t que se anule el determinate de AB, la matriz no será invertible. (%i8) solve([2*t^2+3*t-2], [t]); (%o8) [t=-2,t=1/2]
Luego si t es distinto de -2 o 1/2 la matriz es ivertible.
b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.
(%i9) B.A;
(%o9) matrix([4,-1,t-3],[t,2*t,t^2],[2,-2,-2])
(%i10) determinant(%);
(%o10) 4*(2*t^2-4*t)-2*t^2-6*(t-3)*t-2*t
(%i11) ratsimp(%);
(%o11) 0
La matriz BA no es invertible pues el determinante se anula para todo valor de t.
c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?
(X,C dadas a continuación).
Para que el sistema sea compatible el rango de A debe ser 3, igual al número de incógnitas, lo que es claramente imposible pues A es una matriz de 2x3 y por lo tanto su rango no puede ser mayor que 2.