Ejercicios 5: Programación

Ejercicio 1

Ejercicio 1.1.

Definir la función tangente tal que tangente(f,a) es la ecuación de la tangente a la función f en el punto de abscisa a. Por ejemplo,

  (%i1) (f(x):=x^3, tangente(f,2));
  (%o1) y=12*(x-2)+8

Solución:

Ejercicio 1.2.

Calcular la tangente a f(x)=ln(tan(|x|) en el punto de abscisa -pi/12.

Solución: tangente(ln(tan(abs(x)),-%pi/12);

Ejercicio 2

Ejercicio 2.1.

Definir el procedimiento signosTrinomio tal que signosTrinomio(a,b,c) es la tabla de la variación de los signos del trinomio ax^2+bx+c. Por ejemplo,

  (%i1) signosTrinomio(1,-2,1);
  (%o1) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,inf],+]]
  (%i2) signosTrinomio(-1,2,-1);
  (%o2) [[[-inf,1],-],[1,0],[[1,inf],-]]
  (%i3) signosTrinomio(1,-3,2);
  (%o3) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,2],-],[2,0],[[2,inf],+]]
  (%i4) signosTrinomio(-1,3,-2);
  (%o4) [[[-inf,2],-],[2,0],[[2,1],+],[1,0],[[1,inf],-]]
  (%i5) signosTrinomio(1,0,1);
  (%o5) [[[-inf,inf],+]]
  (%i6) signosTrinomio(-1,0,-1);
  (%o6) [[[-inf,inf],-]]

Se supone que a es distinto de cero.

Solución:

Ejercicio 2.2.

Calcular la tabla de la variación de los signos del trinomio -6x^2-3x+14/3

Solución:

Ejercicio 3

Se lanza un dado cúbico equilibrado hasta que se obtiene la cara 6 por primera vez. Se designa por X la variable aleatorio que cuenta el número de lanzamientos efectuados. Se dice que X es el tiempo de espera del primer 6.

Ejercicio 3.1.

Definir el procedimiento X() que simule una serie de lanzamientos del dado y devuelva el número de lanzamientos realizados para obtener el 6 por primera vez.

Solución: X(n):=block( if random(7)=6 print(“Se ha obtenido el valor 6”) else n=n+1 print(n,”número de lanzamientos hasta el momento));

Ejercicio 3.2.

Con la ayuda del bucle for, definir el procedimiento simulacion(n) que simule una serie de n lanzamientos y devuelva la lista de frecuencia de los eventos [X=i] para 1 <= i <= 60. Por ejemplo,

  (%i1) simulacion(1000);
  (%o1) [0,145,115,104,88,61,65,53,51,50,40,28,30,29,27,13,21,18,10,6,8,4,9,3,
         5,1,2,4,3,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,
         0,0,0]

Solución: simulación(n):=block([lista,k], lista : [], for k from 1 thru n do

 (if random(k) then lista : cons(k,lista)))$

Ejercicio 3.3.

Definir la función media tal que media(n) es el valor medio de X en n lanzamientos. Calcular tres veces media(1000).

Solución: media(n):=block([lista,k], lista: [] for k from 1 thru n do (if random(k) then lista: cons(k,lista))$ mean(lista))$

Ejercicio 4

La conjetura de Goldbach afirma que todo número natural par mayor que 3 se puede escribir como la suma de dos números primos. Por ejemplo,

4 = 2 + 2, 20 = 3 + 17, 50 = 3 + 47

Solución:

Ejercicio 4.1.

Definir la función goldbach tal que goldbach(n) es una descomposición de n como suma de dos números primos. Por ejemplo,

  (%i1) goldbach(20);
  (%o1) [3,17]

Indicación: Iterar los primos desde x=2 hasta n/1 hasta que n-x sea primo.

Solución: Goldbach(n):=block([lista,k], lista: [k], for k from 2 thru n do (if primep(n-x) then lista: cons(k,lista)))

Ejercicio 4.2.

Descomponer 2010 como suma de dos primos.

Solución:

Ejercicio 4.3.

Definir la función goldbachTodas tal que goldbachTodas(n) es la lista de todas las descomposiciones de n como suma de dos números primos x e y con x<=y. Por ejemplo,

(%i1) goldbachTodas(20);
(%o1) [[7,13],[3,17]]

Solución:

Ejercicio 4.4.

Calcular el número de descomposiciones de 2010 como suma de dos primos.

Solución: