Ejercicios 4: Sucesiones y recursión

Ejercicio 1

Ejercicio 1.1.

La sucesión de Fibonacci está definida como

<math> f(n) = \left\{

\begin{array}{ll}
  0,             & \mbox{si } n=0, \\
  1,             & \mbox{si } n=1, \\ 
  f(n-1)+f(n-2), & \mbox{si }n>1
\end{array}

\right. </math>

Definir f[n] como la sucesión de Fibonacci.

Solución:

(%i1) f[0] : 0$
(%i2) f[1] : 1$
(%i3) f[n] : f[n-1]+f[n-2]$

Ejercicio 1.2.

Definir la lista l1 cuyos elementos son los 20 primeros términos de la sucesión de Fibonacci.

Solución:

(%i4) l1: makelist ([n,f[n]],n,0,20);
(%o4) [[0,0],[1,1],[2,f[2]],[3,f[3]],[4,f[4]],[5,f[5]],[6,f[6]],[7,f[7]],[8,f[8]],[9,f[9]],
[10,f[10]],[11,f[11]],[12,f[12]],[13,f[13]],[14,f[14]],[15,f[15]],[16,f[16]],[17,f[17]],
[18,f[18]],[19,f[19]],[20,f[20]]]

Ejercicio 1.3.

Calcular el término que ocupa la posición 20 en la sucesión de Fibonacci.

Solución:

Ejercicio 1.4.

Calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b.

Solución:

Ejercicio 1.5.

Definir la sucesión g, que calcule el término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b. Usando la función g, calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci.

Solución:

Ejercicio 1.6.

Comprobar si se puede obtener el término 800 de la sucesión de Fibonacci mediante alguna de las dos funciones f ó g.

Solución:

Ejercicio 2

Ejercicio 2.1.

Definir s[n] como la suma de los n primeros términos de la sucesión (-1)^(k+1)/k!

Solución: sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n);

Ejercicio 2.2.

Calcular los valores exactos de s[1], s[2], s[5] y s[9].

Solución: s[1]; s[2]; s[5]; s[9];

Ejercicio 2.3.

Calcular los valores decimales aproximados de s[20] y s[50].

Solución:

Ejercicio 2.4.

Cargar el paquete simplify_sum y calcular la suma de la serie s[n].

Solución: load(simplify_sum)$ 'sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n)=simplify_sum(sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n));

Ejercicio 3

Un banco presta un capital K al t por ciento aunual, que se reembolsa en N años, con anualidades x constante. Sea c[0]=K y sea c[n] el capital pendiente de pagar después de la n-ésima anualidad. Entonces,

c[n+1] = (1+t)*c[n]-x

Ejercicio 3.1.

Expresar c[n] de manera explícita en función de n, K, t y x.

Solución: c[n]:=(1+t)*c[n-1]-x;

Ejercicio 3.2.

Se sabe que c[N]=0. Deducir el valor de x en función de K, t y N.

Solución:

Ejercicio 3.3.

Calcular el importe de una anualidad, cuando K = 100000, t = 5,5% y N = 15.

Solución: solve_rec(c[n]=(1+0.055)*c[n-1]-x,c[n],c[0]=100000);

Ejercicio 4

Ejercicio 4.1.

Definir la función f(x) = x/(3-2x).

Solución: f[x]:=x/(3-2*x);

Ejercicio 4.2.

Definir la sucesión u[n] tal que <math>u_0 = 2</math> y <math>u_{n+1} = f(u_n)</math>.

Solución: u[0]:2$ u[n]:=f[u[n]];

Ejercicio 4.3.

Calcular u[1], u[2] y u[9].

Solución: u[1]; u[2]; u[9];

Ejercicio 4.4.

Dibujar, en la misma gráfica, la función f, la recta de ecuación y=x y los puntos de coordenada (u[k],f(u[k])) para 0<=k<=15.

Solución: L:makelist([u[k],f(u[k])),k,0,15)$ wxplot2d([f(x),x, [discrete,L]],[x,0,%pi/2],[y,0,2]);

Ejercicio 4.5.

Conjeturar la monotonía de la sucesión u[n] y su limite.

Solución: limit(u[n],n,inf);

Ejercicio 4.6.

Resolver la ecuación f(x)=x. Llamar a las raices a y b.

Solución:

Ejercicio 4.7.

Definir la sucesión w[n] = (u[n]-a)/(u[n]-b)

Solución: w[n]:=(u[n]-a)/(u[n]-b);

Ejercicio 4.8.

Calcular los 10 primeros términos de la sucesión w[n].

Solución: makelist([n,v[n]],n,0,9);

Ejercicio 4.9.

Comprobar que w[n] es una progresión geométrica y calcular su razón.

Solución: solve_rec(w[n]=(u[n]-a)/(u[n]-b),w[n]);

Ejercicio 4.10.

Deducir la expresión de u[n] en función de n.

Solución: ratsimp(%);