Ejercicios libres

En esta sección se encuentran ejercicios libremente enunciado por los alumnos y resueltos con los sistemas de software libre.

Autor: Jose David Cruz Margarin Problema:

Dada la función f(x):

1/1+x2 si x <= 1
1 + ln x si x > 1

1. Estudiar su dominio, puntos de corte y asíntotas.

2. Analizar su continuidad y derivabilidad.

Solucion:

1.- Definimos: ( %i1) g(x):=1/(1+x^2); ( %o1) g (x) :=1/1 + x2

( %i2) h(x):=1+log(x); ( %o2)

      h (x) := 1 + log x

El dominio de g es todo R pues, evidentemente, 1 + x2 6= 0 8x 2 R. Pero, por si hubiera alguna duda, el alumno podría utilizar Maxima para comprobar que no existe ninguna solución real (todas sus soluciones son imaginarios puros):

( %i3) solve(1+x^2=0);

( %o3)

      [x = -i; x = i]

( %i4) solve(1+x^2=0); ( %o4)

      [x = -i; x = i]

Maxima es incluso capaz de asegurarnos que 1+x2 es estrictamente positivo (independientemente del valor de x) si utilizamos la función is:

( %i5) is(1+x^2>0); ( %o5)

      true

Para estudiar los puntos de corte con el eje de las abscisas, planteamos

( %i7) solve(g(x)=0,x); ( %o7)

      []

( %i8) solve(h(x)=0,x); ( %o8)

      x = e-1

El único punto de corte es x = 1/e . En cuanto a posibles puntos de corte con el eje vertical, cuando x = 0 nuestra función toma el valor f(0) = g(0) = 1: ( %i9) g(0); ( %o9)

      1

En definitiva: Los puntos de corte de f(x) son (0; 1) y ( 1/e ; 0).

En nuestro caso, la función g(x) no tiene ninguna asíntota vertical, porque su denominador es siempre distinto de cero. La función h(x) tendría una asíntota vertical en x = 0, debido al logaritmo: ( %i10) limit(h(x),x,0,plus); ( %o10)

      -infinito

Pero esto no afecta a f(x) ya que, en los alrededores de x = 0, esta función no toma los valores de h(x), sino de g(x). Por lo tanto, f no tiene ninguna asíntota vertical. Con respecto a asíntotas horizontales, tendremos que estudiar límites de f(x) cuando x -> -infinito (en cuyo caso f = g) y cuando x -> +infinito (en cuyo caso f = h), ( %i11) limit(g(x),x,minf); ( %o11)

      0

( %i12) limit(h(x),x,inf); ( %o12)

        infinito

Por lo tanto, podemos concluir que: f(x) no tiene ninguna asíntota vertical y tiene una asíntota horizontal (la recta y = 0) cuando x -> -infinito.

2.- Las funciones g(x) y h(x) son continuas dentro de sus respectivos dominios, por lo tanto f es continua salvo, eventualmente, en x = 1, el punto que divide las regiones donde f toma los valores de g y de h. Pero los límites laterales de f en este punto son distintos, pues ( %i13) limit(g(x),x,1,minus); ( %o13)

         1/2

( %i14) limit(h(x),x,1,plus); ( %o14)

         1

en consecuencia, f no es continua en x = 1 (tendrá una discontinuidad de salto). Además, f no es derivable en x = 1 (por no ser continua) pero sí en el resto de R (pues tanto g como h lo son para valores de x que estén dentro de sus respectivos dominios). Puesto que ( %i15) diff(g(x),x); ( %o15)

     - 2x/(x2 + 1)2

( %i16) diff(h(x),x); ( %o16)

      1/x