Ejercicios de selectividad

Introducción

En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en

• Colección de Eduardo Ramos.
• Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas.
• Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II

Ejercicio 1

Enunciado

Se consideran las matrices A y B (dadas a continuación), donde t es un número real.

1. Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.
2. Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.
3. Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?

(X,C dadas a continuación).

(%i1) A: matrix([1,2,t], 
                [1,-1,-1]);
(%o1) matrix([1,2,t],[1,-1,-1])
(%i2) B: matrix([1,3], 
                [t,0], 
                [0,2]);
(%o2) matrix([1,3],[t,0],[0,2])

(%i3) X: matrix([x], 
                [y], 
                [z]);
(%o3) matrix([x],[y],[z])
(%i4) C: matrix([a], 
                [b]);
(%o4) matrix([a],[b])

Solución

1. Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

Para que una matriz sea invertible su derteminante tiene que ser distinto de 0. A continuación calcularemos el producto AB.

(%i5) A.B;
(%o5) matrix([2*t+1,2*t+3],[1-t,1])
(%i6) determinant(%);
(%o6) -(1-t)*(2*t+3)+2*t+1
(%i7)ratsimp(%);
(%o7) 2*t^2+3*t-2

Para los valores de t que se anule el determinate de AB, la matriz no será invertible.

(%i8) solve([2*t^2+3*t-2], [t]);
(%o8) [t=-2,t=1/2]

Luego si t es distinto de -2 o 1/2 la matriz es ivertible.

2. Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

(%i9) B.A;
(%o9) matrix([4,-1,t-3],[t,2*t,t^2],[2,-2,-2])
(%i10) determinant(%);
(%o10) 4*(2*t^2-4*t)-2*t^2-6*(t-3)*t-2*t
(%i11) ratsimp(%);
(%o11) 0

La matriz BA no es invertible pues el determinante se anula para todo valor de t.

3. Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?.

Para que el sistema sea compatible el rango de A debe ser 3, igual al número de incógnitas, lo que es claramente imposible pues A es una matriz de 2x3 y por lo tanto su rango no puede ser mayor que 2.

Ejercicio 2

Enunciado

• Halla, en función de a, el valor del determinante:

     <math>\left|\begin{array}{cccc}
             a & a & a & a \\
             2 & a & a & a \\
             3 & 2 & a & a \\
             4 & 3 & 2 & a
             \end{array}\right|</math> 

Solución

(%i1) A: matrix([a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a])$
(%i2) determinant(A)$
(%i3) ratsimp(%);
(%o3) a^4-6*a^3+12*a^2-8*a

Ejercicio 3

Enunciado

Sean la recta r y el plano <math>\pi</math> dados por:

   <math>r=\left\{\begin{array}{lll}
                   x= & -1 & -\lambda \\
                   y= &    & -\lambda \\
                   z= &    & 2\lambda
                   \end{array}\right.</math>
  
   <math> \displaystyle\pi: 2x-3y+z+1=0  </math>

Apartado a

Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano <math>\pi</math>.

Solución

El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano cualesquiera, a partir del vector director de la recta y del vector normal del plano.

     (%i1) senoangulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],
     prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),
     modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),
     modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),
     float(dist:prodesc/(modv*modn)))$

En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es (2,-3,1):

(%i2) senoangulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);

(%o2) 0.32732683535399

Apartado b

 Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>.

Solución

Para calcular la recta r', proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>, basta tomar dos puntos de la recta r y calcular sus proyecciones sobre <math>\displaystyle\pi</math>.

Calculamos la proyección de A=(-1,0,0)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos P. La recta que pasa por A y es perpendicular al plano es:

<math>s=\left\{\begin{array}{cccc}

                   x= & -1 & + & 2a \\
                   y= &    & - & 3a \\
                   z= &    & & a
                   \end{array}\right.</math>

   (%i1) solve(2*(-1+2*a)-3*(-3*a)+a+1=0,a);
   (%o1) [a=1/14]
   (%i2) a:1/14$
   (%i3) P:[-1+2*a,-3*a,a];
   (%o3) [-6/7,-3/14,1/14]

Calculamos ahora la proyección de B=(-2,-1,2)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos Q. La recta que pasa por B y es perpendicular al plano es:

<math>t=\left\{\begin{array}{cccc}

                   x= & -2 & + & 2b \\
                   y= & -1 & - & 3b \\
                   z= &  2 & + & b
                   \end{array}\right.</math>

   (%i4) solve(2*(-2+2*b)-3*(-1-3*b)+2+b+1=0,b);
   (%o4) [b=-1/7]
   (%i5) b:-1/7$
   (%i6) Q:[-2+2*b,-1-3*b,2+b];
   (%o6) [-16/7,-4/7,13/7]

El vector director de la recta proyección r' sería:

   (%i7) PQ: [first(Q)-first(P),second(Q)-second(P),last(Q)-last(P)];
   (%o7) [-10/7,-5/14,25/14]

Por tanto la recta r' es:

<math>r'=\left\{\begin{array}{cccc}

                   x= & \displaystyle\frac{-6}{7} & + & \displaystyle\frac{-10}{7}u  \\
                   y= & \displaystyle\frac{-3}{14} & + & \displaystyle\frac{-5}{14}u  \\
                   z= & \displaystyle\frac{1}{14} & + & \displaystyle\frac{25}{14}u
                   \end{array}\right.</math>