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| Línea 11: |
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| − |
| |
| − | Tema 1:
| |
| − | Ejercicio 1
| |
| − | Ejercicio 1.1
| |
| − | Definir la constante .
| |
| − | Solución:
| |
| − | a:(20+14*sqrt(2))^(1/3);
| |
| − | a:a+(20-14*sqrt(2))^(1/3);
| |
| − | ________________________________________
| |
| − | Ejercicio 1.2
| |
| − | Calcular el valor numérico de a. ¿A qué entero se aproxima?
| |
| − | Solución:
| |
| − | float(%);
| |
| − | Se aproxima al entero 4.
| |
| − | Ejercicio 2
| |
| − | Ejercicio 2. Escribir el número en la forma , donde a,b,c y d son números racionales.
| |
| − | Nota: Cambiar el valor de la variable %piargs a true y usar radcan para la simplificación de radicales.
| |
| − | Solución:
| |
| − | radcan((sin(pi/3)+cos(pi/3))^9);
| |
| − | Ejercicio 3
| |
| − | Calcular la cifra 149 del número π.
| |
| − | Solución:
| |
| − | fpprec : 149;
| |
| − | bfloat(1000*%pi);
| |
| − | set_display(ascii)$bfloat(1000*%pi);set_display(xml)$
| |
| − | Ejercicio 4
| |
| − | Se considera el polinomio p = x4 − x3 − 7x2 − 8x − 6.
| |
| − | (%i1) p:x^4-x^3-7*x^2-8*x-6$
| |
| − | Ejercicio 4.1.
| |
| − | Calcular las raíces reales de p.
| |
| − | Solución:
| |
| − | solve(x^4-x^3-7*x^2-8*x-6);
| |
| − | Ejercicio 4.2
| |
| − | Factorizar al máximo el polinomio p.
| |
| − | Solución:
| |
| − | factor(x^4-x^3-7*x^2-8*x-6);
| |
| − | Ejercicio 5
| |
| − | Sea .
| |
| − | (%i1) z: ((1-%i*sqrt(3))/(1+%i))^20$
| |
| − | Ejercicio 5.1
| |
| − | Calcular la parte real y la parte imaginaria de z.
| |
| − | Solución:
| |
| − | rectform(z);
| |
| − | Ejercicio 5.2
| |
| − | Calcular el módulo y el argumento de z.
| |
| − | Solución:
| |
| − | abs(z);
| |
| − | carg(z);
| |
| − | Ejercicio 6
| |
| − | Ejercicio 6.1
| |
| − | Con la ayuda de la representación gráfica, conjeturar el número de soluciones de la ecuación
| |
| − | sinx = 1 − x4.
| |
| − | Solución:
| |
| − | wxplot2D([1-x^4,x],[x,-2,2])$
| |
| − | Ejercicio 6.2
| |
| − | Dar una aproximación de cada solución.
| |
| − | Solución:
| |
| − | find_root(1-x^4,x,-2,2);
| |
| − | Ejercicio 7
| |
| − | Resolver el siguiente sistema lineal en función de los parámetros a,b y c:
| |
| − |
| |
| − | Solución:
| |
| − | sist:[x+a*y+a^2*z=0,x+b*y+b^2*z=0,x+c*y+c^2*z=1];
| |
| − | solve(sist,[x,y,z]);
| |
| − |
| |
| − | Tema 2:
| |
| − | Ejercicio 1
| |
| − | Sean a y b dos números reales. Se considera la función f definida sobre los números reales por
| |
| − |
| |
| − | Ejercicio 1.1
| |
| − | Definir la función f usando el condicional if ... then ... else.
| |
| − | Solución:
| |
| − | f(x):= if x>0 then (e^x-1)/x
| |
| − | elseif x<=0 then a*x+b;
| |
| − | Ejercicio 1.2
| |
| − | limit no puede evaluar expresiones del tipo if...then. Por ello, para determinar el límite de f en cero por la derecha se necesita precisar en qué intervalo se encuentra x. Esto puede hacerse con la función assume.
| |
| − | Escribir la expresión assume(x>0), después calcular el límite de f en cero por la derecha. Se puede eliminar la hipótesis sobre x con forget(x>0).
| |
| − | Solución:
| |
| − | assume(x>0,(e^x-1)/x);
| |
| − | assume(x<=0,a*x+b);
| |
| − | limit((e^x-1)/x,x,0, plus);
| |
| − | Ejercicio 1.3
| |
| − | Deducir el valor de b para el que f es continua en .
| |
| − | Solución:
| |
| − |
| |
| − | Ejercicio 1.4
| |
| − | Calcular la derivada de f en cero por la derecha.
| |
| − | Solución:
| |
| − | 'diff(f(x),x)=diff(f(x),x);
| |
| − | Ejercicio 1.5
| |
| − | Calcular el valor de a para el que f es derivable en cero.
| |
| − | Solución:
| |
| − |
| |
| − | Ejercicio 2
| |
| − | Sea g la función real definida por
| |
| − | (%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
| |
| − | Ejercicio 2.1
| |
| − | Calcular los límites de g en más y menos infinito.
| |
| − | Solución:
| |
| − | limit(g(x),x,minf);
| |
| − | limit(g(x),x,inf);
| |
| − | Ejercicio 2.2
| |
| − | Dibujar la gráfica de la función g.
| |
| − | Solución:
| |
| − | plot2d(g(x),[x,-2,2],[y,-5,5]);
| |
| − | Ejercicio 2.3
| |
| − | Calcular g'(x).
| |
| − | Solución:
| |
| − | diff(g(x),x);
| |
| − | Ejercicio 2.4
| |
| − | Resolver la ecuación g(x) = 0.
| |
| − | Solución:
| |
| − | solve(g(x),x);
| |
| − |
| |
| − | Ejercicio 2.5
| |
| − | Determinar los intervalos de crecimiento de g.
| |
| − | Solución:
| |
| − |
| |
| − | Ejercicio 2.6
| |
| − | Calcular las ecuaciones reducidas de las asíntotas de g.
| |
| − | Solución:
| |
| − |
| |
| − | Ejercicio 3
| |
| − | Ejercicio 3.1
| |
| − | Desarrollar cos(3t) en función de cos(t).
| |
| − | Solución:
| |
| − | cos(3*x), trigexpand=true,expand;
| |
| − | Ejercicio 3.2
| |
| − | Desarrollar cos(4t) en función de cos(t)
| |
| − | Solución:
| |
| − | cos(4*x), trigexpand=true,expand;
| |
| − | Ejercicio 3.3
| |
| − | Desarrollar cos(5t) en función de cos(t).
| |
| − | Solución:
| |
| − | cos(5*x), trigexpand=true,expand;
| |
| − | Ejercicio 3.4
| |
| − | Determinar los polinomios Tn de la variable x tales que para todo , para .
| |
| − | Solución:
| |
| − |
| |
| − | Ejercicio 3.5
| |
| − | Representar las funciones T3, T4 y T5 en la misma gráfica.
| |
| − | Solución:
| |
| − |
| |
| − | Tema 3:
| |
| − | Ejercicio 1
| |
| − | Ejercicio 1.1.
| |
| − | Asignarle a la variable a el valor 2460 y a la b el 3030.
| |
| − | Solución
| |
| − | a:2460$ b: 3030$
| |
| − | Ejercicio 1.2.
| |
| − | Calcular el conjunto D1 de los divisores positivos de a.
| |
| − | Solución
| |
| − | divisors(a);
| |
| − | Ejercicio 1.3.
| |
| − | Calcular el conjunto D2 de los divisores positivos de b.
| |
| − | Solución
| |
| − | divisors(b);
| |
| − | Ejercicio 1.4.
| |
| − | Calcular, usando la función intersection, el conjunto D de los divisores comunes de a y b.
| |
| − | Solución
| |
| − | S_1: divisors(a);
| |
| − | S_2:divisors(b);
| |
| − | intersection(S_1,S_2);
| |
| − | Ejercicio 1.5.
| |
| − | Calcular el máximo común divisor de a y b.
| |
| − | Solución
| |
| − | Ejercicio 1.6.
| |
| − | Calcular el mínimo común múltiplo de a y b.
| |
| − | Solución
| |
| − | lcm(a,b);
| |
| − | Ejercicio 2
| |
| − | Ejercicio 2.1.
| |
| − | Asignarle a la variable n el valor 2008!
| |
| − | Solución
| |
| − | n: 2008!;
| |
| − | Ejercicio 2.2.
| |
| − | ¿Cuántas cifras tiene n en base 10?
| |
| − | Solución
| |
| − |
| |
| − | Ejercicio 2.3.
| |
| − | Calcular la descomposición de n en productos de factores primos.
| |
| − | Solución
| |
| − | ifactors(n);
| |
| − | Ejercicio 2.4.
| |
| − | ¿Con cuántos ceros termina n?
| |
| − | Solución
| |
| − |
| |
| − | Ejercicio 3
| |
| − | Ejercicio 3.1.
| |
| − | Escribir un programa para asignarle a la variable sol3 el término que ocupa la posición 2008 en la sucesión de números primos ordenados de manera creciente.
| |
| − | Solución
| |
| − |
| |
| − | Ejercicio 4
| |
| − | Ejercicio 4.1
| |
| − | Escribir un programa para asignarle a la variable sol4 el número de primos inferiores a 100000.
| |
| − | Solución
| |
| − | for i from 1 step 1 thru 100000 do (print(i,”=”,factor(i)));
| |
| − | Ejercicio 5
| |
| − | Ejercicio 5.1.
| |
| − | Escribir un programa para asignarle a la variable sol5 el término que ocupa la posición 9592 en la sucesión de números primos ordenados de manera creciente.
| |
| − | Solución
| |
| − |
| |
| − | Ejercicio 5.2.
| |
| − | Comprobar si sol5 es el mayor primo menor que 100000.
| |
| − | Solución
| |
| − | prev_prime(100000);
| |
| − |
| |
| − | Tema 4:
| |
| − | Ejercicio 1
| |
| − | Ejercicio 1.1.
| |
| − | La sucesión de Fibonacci está definida como
| |
| − |
| |
| − | Definir f[n] como la sucesión de Fibonacci.
| |
| − | Solución:
| |
| − | f[0]:0$
| |
| − | f[1]:1$
| |
| − | f[n]=f[n-1]+f[n-2]$
| |
| − | Ejercicio 1.2.
| |
| − | Definir la lista l1 cuyos elementos son los 20 primeros términos de la sucesión de Fibonacci.
| |
| − | Solución:
| |
| − | makelist([k,f[k]],k,0,19);
| |
| − | Ejercicio 1.3.
| |
| − | Calcular el término que ocupa la posición 20 en la sucesión de Fibonacci.
| |
| − | Solución:
| |
| − | f[20];
| |
| − | Ejercicio 1.4.
| |
| − | Calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b.
| |
| − | Solución:
| |
| − |
| |
| − | Ejercicio 1.5.
| |
| − | Definir la sucesión g, que calcule el término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b. Usando la función g, calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci.
| |
| − | Solución:
| |
| − |
| |
| − | Ejercicio 1.6.
| |
| − | Comprobar si se puede obtener el término 800 de la sucesión de Fibonacci mediante alguna de las dos funciones f ó g.
| |
| − | Solución:
| |
| − | f[800];
| |
| − | Ejercicio 2
| |
| − | Ejercicio 2.1.
| |
| − | Definir s[n] como la suma de los n primeros términos de la sucesión (-1)^(k+1)/k!
| |
| − | Solución:
| |
| − | sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n);
| |
| − | Ejercicio 2.2.
| |
| − | Calcular los valores exactos de s[1], s[2], s[5] y s[9].
| |
| − | Solución:
| |
| − | s[1];
| |
| − | s[2];
| |
| − | s[5];
| |
| − | s[9];
| |
| − | Ejercicio 2.3.
| |
| − | Calcular los valores decimales aproximados de s[20] y s[50].
| |
| − | Solución:
| |
| − |
| |
| − | Ejercicio 2.4.
| |
| − | Cargar el paquete simplify_sum y calcular la suma de la serie s[n].
| |
| − | Solución:
| |
| − | load(simplify_sum)$
| |
| − | 'sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n)=simplify_sum(sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n));
| |
| − | Ejercicio 3
| |
| − | Un banco presta un capital K al t por ciento anual, que se reembolsa en N años, con anualidades x constante. Sea c[0]=K y sea c[n] el capital pendiente de pagar después de la n-ésima anualidad. Entonces,
| |
| − | c[n+1] = (1+t)*c[n]-x
| |
| − | Ejercicio 3.1.
| |
| − | Expresar c[n] de manera explícita en función de n, K, t y x.
| |
| − | Solución:
| |
| − | c[n]:=(1+t)*c[n-1]-x;
| |
| − | Ejercicio 3.2.
| |
| − | Se sabe que c[N]=0. Deducir el valor de x en función de K, t y N.
| |
| − | Solución:
| |
| − |
| |
| − | Ejercicio 3.3.
| |
| − | Calcular el importe de una anualidad, cuando K = 100000, t = 5,5% y N = 15.
| |
| − | Solución:
| |
| − | solve_rec(c[n]=(1+0.055)*c[n-1]-x,c[n],c[0]=100000);
| |
| − | Ejercicio 4
| |
| − | Ejercicio 4.1.
| |
| − | Definir la función f(x) = x/(3-2x).
| |
| − | Solución:
| |
| − | f[x]:=x/(3-2*x);
| |
| − | Ejercicio 4.2.
| |
| − | Definir la sucesión u[n] tal que u0 = 2 y un + 1 = f(un).
| |
| − | Solución:
| |
| − | u[0]:2$
| |
| − | u[n]:=f[u[n]];
| |
| − | Ejercicio 4.3.
| |
| − | Calcular u[1], u[2] y u[9].
| |
| − | Solución:
| |
| − | u[1];
| |
| − | u[2];
| |
| − | u[9];
| |
| − | Ejercicio 4.4.
| |
| − | Dibujar, en la misma gráfica, la función f, la recta de ecuación y=x y los puntos de coordenada (u[k],f(u[k])) para 0<=k<=15.
| |
| − | Solución:
| |
| − | L:makelist([u[k],f(u[k])),k,0,15)$
| |
| − | wxplot2d([f(x),x, [discrete,L]],[x,0,%pi/2],[y,0,2]);
| |
| − | Ejercicio 4.5.
| |
| − | Conjeturar la monotonía de la sucesión u[n] y su limite.
| |
| − | Solución:
| |
| − | limit(u[n],n,inf);
| |
| − | Ejercicio 4.6.
| |
| − | Resolver la ecuación f(x)=x. Llamar a las raices a y b.
| |
| − | Solución:
| |
| − |
| |
| − | Ejercicio 4.7.
| |
| − | Definir la sucesión w[n] = (u[n]-a)/(u[n]-b)
| |
| − | Solución:
| |
| − | w[n]:=(u[n]-a)/(u[n]-b);
| |
| − | Ejercicio 4.8.
| |
| − | Calcular los 10 primeros términos de la sucesión w[n].
| |
| − | Solución:
| |
| − | makelist([n,v[n]],n,0,9);
| |
| − | Ejercicio 4.9.
| |
| − | Comprobar que w[n] es una progresión geométrica y calcular su razón.
| |
| − | Solución:
| |
| − | solve_rec(w[n]=(u[n]-a)/(u[n]-b),w[n]);
| |
| − | Ejercicio 4.10.
| |
| − | Deducir la expresión de u[n] en función de n.
| |
| − | Solución:
| |
| − | ratsimp(%);
| |
| − |
| |
| − | Tema 5:
| |
| − | Ejercicio 1
| |
| − | Ejercicio 1.1.
| |
| − | Definir la función tangente tal que tangente(f,a) es la ecuación de la tangente a la función f en el punto de abscisa a. Por ejemplo,
| |
| − | (%i1) (f(x):=x^3, tangente(f,2));
| |
| − | (%o1) y=12*(x-2)+8
| |
| − | Solución:
| |
| − | tangente(f,a):=block([a],a:2, f(a)+diff(f(a)*(x-a));
| |
| − | Ejercicio 1.2.
| |
| − | Calcular la tangente a f(x)=ln(tan(|x|) en el punto de abscisa -pi/12.
| |
| − | Solución:
| |
| − | tangente(ln(tan(abs(x)),-%pi/12);
| |
| − | Ejercicio 2
| |
| − | Ejercicio 2.1.
| |
| − | Definir el procedimiento signosTrinomio tal que signosTrinomio(a,b,c) es la tabla de la variación de los signos del trinomio ax^2+bx+c. Por ejemplo,
| |
| − | (%i1) signosTrinomio(1,-2,1);
| |
| − | (%o1) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,inf],+]]
| |
| − | (%i2) signosTrinomio(-1,2,-1);
| |
| − | (%o2) [[[-inf,1],-],[1,0],[[1,inf],-]]
| |
| − | (%i3) signosTrinomio(1,-3,2);
| |
| − | (%o3) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,2],-],[2,0],[[2,inf],+]]
| |
| − | (%i4) signosTrinomio(-1,3,-2);
| |
| − | (%o4) [[[-inf,2],-],[2,0],[[2,1],+],[1,0],[[1,inf],-]]
| |
| − | (%i5) signosTrinomio(1,0,1);
| |
| − | (%o5) [[[-inf,inf],+]]
| |
| − | (%i6) signosTrinomio(-1,0,-1);
| |
| − | (%o6) [[[-inf,inf],-]]
| |
| − | Se supone que a es distinto de cero.
| |
| − | Solución:
| |
| − |
| |
| − | Ejercicio 2.2.
| |
| − | Calcular la tabla de la variación de los signos del trinomio -6x^2-3x+14/3
| |
| − | Solución:
| |
| − | Ejercicio 3
| |
| − | Se lanza un dado cúbico equilibrado hasta que se obtiene la cara 6 por primera vez. Se designa por X la variable aleatorio que cuenta el número de lanzamientos efectuados. Se dice que X es el tiempo de espera del primer 6.
| |
| − | Ejercicio 3.1.
| |
| − | Definir el procedimiento X() que simule una serie de lanzamientos del dado y devuelva el número de lanzamientos realizados para obtener el 6 por primera vez.
| |
| − | Solución:
| |
| − | X(n):=block(
| |
| − | if random(7)=6 print(“Se ha obtenido el valor 6”)
| |
| − | else n=n+1 print(n,”número de lanzamientos hasta el momento));
| |
| − | Ejercicio 3.2.
| |
| − | Con la ayuda del bucle for, definir el procedimiento simulacion(n) que simule una serie de n lanzamientos y devuelva la lista de frecuencia de los eventos [X=i] para 1 <= i <= 60. Por ejemplo,
| |
| − | (%i1) simulacion(1000);
| |
| − | (%o1) [0,145,115,104,88,61,65,53,51,50,40,28,30,29,27,13,21,18,10,6,8,4,9,3,
| |
| − | 5,1,2,4,3,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,
| |
| − | 0,0,0]
| |
| − | Solución:
| |
| − | simulación(n):=block([lista,k],
| |
| − | lista : [],
| |
| − | for k from 1 thru n do
| |
| − | (if random(k) then lista : cons(k,lista)))$
| |
| − | Ejercicio 3.3.
| |
| − | Definir la función media tal que media(n) es el valor medio de X en n lanzamientos. Calcular tres veces media(1000).
| |
| − | Solución:
| |
| − | media(n):=block([lista,k],
| |
| − | lista: []
| |
| − | for k from 1 thru n do
| |
| − | (if random(k) then lista: cons(k,lista))$
| |
| − | mean(lista))$
| |
| − | Ejercicio 4
| |
| − | La conjetura de Goldbach afirma que todo número natural par mayor que 3 se puede escribir como la suma de dos números primos. Por ejemplo,
| |
| − | 4 = 2 + 2, 20 = 3 + 17, 50 = 3 + 47
| |
| − | Solución:
| |
| − | Ejercicio 4.1.
| |
| − | Definir la función goldbach tal que goldbach(n) es una descomposición de n como suma de dos números primos. Por ejemplo,
| |
| − | (%i1) goldbach(20);
| |
| − | (%o1) [3,17]
| |
| − | Indicación: Iterar los primos desde x=2 hasta n/1 hasta que n-x sea primo.
| |
| − | Solución:
| |
| − | Goldbach(n):=block([lista,k],
| |
| − | lista: [k],
| |
| − | for k from 2 thru n do
| |
| − | (if primep(n-x) then lista: cons(k,lista)))
| |
| − | Ejercicio 4.2.
| |
| − | Descomponer 2010 como suma de dos primos.
| |
| − | Solución:
| |
| − | Goldbach(2010);
| |
| − | Ejercicio 4.3.
| |
| − | Definir la función goldbachTodas tal que goldbachTodas(n) es la lista de todas las descomposiciones de n como suma de dos números primos x e y con x<=y. Por ejemplo,
| |
| − | (%i1) goldbachTodas(20);
| |
| − | (%o1) [[7,13],[3,17]]
| |
| − | Solución:
| |
| − | goldbachTodas(n):=block([lista,k],
| |
| − | lista:[],
| |
| − | (if primep(k) then lista : cons(k,lista)))$
| |
| − | Ejercicio 4.4.
| |
| − | Calcular el número de descomposiciones de 2010 como suma de dos primos.
| |
| − | Solución:
| |
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| − | Tema 6:
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| − | Ejercicio 1
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| − | Ejercicio 1.1.
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| − | Definir la matriz
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| − | para .
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| − | Solución:
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| − | M:matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2]);
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| − | Ejercicio 1.2.
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| − | Calcular el determinante de M(k).
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| − | Solución:
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| − | Determinant(M);
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| − | Ejercicio 1.3.
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| − | Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.
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| − | Solución:
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| − | invert(M);
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| − | Ejercicio 1.4.
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| − | Calcular la inversa de M(k).
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| − | Solución:
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| − | Invert(M);
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| − | Ejercicio 1.5.
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| − | Calcular los autovalores de M(k).
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| − | Solución:
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| − | solve(%=0,x);
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| − | factor(charpoly(M,x));
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| − | eigenvalues(M);
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| − | Ejercicio 1.6.
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| − | Determinar los k para los que M(k) tiene autovalores múltiples.
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| − | Ejercicio 2
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| − | Ejercicio 2.1.
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| − | Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden n+1 cuyo término general es
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| − | Solución:
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| − | a[i,j]=
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| − | Ejercicio 2.2.
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| − | Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).
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| − | Solución:
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| − | Ejercicio 2.3.
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| − | Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).
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| − | Solución:
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| − | Ejercicio 2.4.
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| − | Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).
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| − | Solución:
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| − | Ejercicio 2.5.
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| − | Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.
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| − | Solución:
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| − | Ejercicio 3
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| − | El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por
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| − | Ejercicio 3.1.
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| − | Escribir la matriz A definida por
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| − | Solución:
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| − | A:[(1,-5),(-5,3)];
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| − | Ejercicio 3.2.
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| − | Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.
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| − | Solución:
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| − | X:[(a,b),(c,d)];
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| − | Ejercicio 3.3.
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| − | Calcular M = AX − XA
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| − | Solución:
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| − | M:A.X-X.A;
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| − | Ejercicio 3.4.
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| − | Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.
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| − | Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.
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| − | Solución:
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| − | globalsolve:true$
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| − | Ejercicio 3.5.
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| − | Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0
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| − | Solución:
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| − | Ejercicio 3.6.
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| − | Comprobar que A y B conmutan.
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| − | Solución:
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