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| | En esta sección se encuentran ejercicios libremente enunciado por los alumnos y resueltos con los sistemas de software libre. | | En esta sección se encuentran ejercicios libremente enunciado por los alumnos y resueltos con los sistemas de software libre. |
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| − | Autor: Jose David Cruz Margarin
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| − | Problema:'''
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| − | Dada la función f(x):
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| − | 1/1+x2 si x <= 1
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| − | 1 + ln x si x > 1
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| − | 1. Estudiar su dominio, puntos de corte y asíntotas.
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| − | 2. Analizar su continuidad y derivabilidad.
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| − | '''Solucion:'''
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| − | '''1.-''' Definimos:
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| − | ( %i1) g(x):=1/(1+x^2);
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| − | ( %o1)
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| − | g (x) :=1/1 + x2
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| − | ( %i2) h(x):=1+log(x);
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| − | ( %o2)
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| − | h (x) := 1 + log x
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| − | El dominio de g es todo R pues, evidentemente, 1 + x2 6= 0 8x 2 R. Pero, por
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| − | si hubiera alguna duda, el alumno podría utilizar Maxima para comprobar que no
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| − | existe ninguna solución real (todas sus soluciones son imaginarios puros):
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| − | ( %i3) solve(1+x^2=0);
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| − | ( %o3)
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| − | [x = -i; x = i]
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| − | ( %i4) solve(1+x^2=0);
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| − | ( %o4)
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| − | [x = -i; x = i]
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| − | Maxima es incluso capaz de asegurarnos que 1+x2 es estrictamente positivo (independientemente
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| − | del valor de x) si utilizamos la función is:
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| − | ( %i5) is(1+x^2>0);
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| − | ( %o5)
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| − | true
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| − | Para estudiar los puntos de corte con el eje de las abscisas, planteamos
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| − | ( %i7) solve(g(x)=0,x);
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| − | ( %o7)
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| − | []
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| − | ( %i8) solve(h(x)=0,x);
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| − | ( %o8)
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| − | x = e-1
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| − | El único punto de corte es x = 1/e . En cuanto a posibles puntos de corte con el eje
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| − | vertical, cuando x = 0 nuestra función toma el valor f(0) = g(0) = 1:
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| − | ( %i9) g(0);
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| − | ( %o9)
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| − | 1
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| − | En definitiva:
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| − | Los puntos de corte de f(x) son (0; 1) y ( 1/e ; 0).
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| − | En nuestro caso, la función g(x) no tiene ninguna asíntota vertical, porque su denominador
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| − | es siempre distinto de cero. La función h(x) tendría una asíntota vertical
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| − | en x = 0, debido al logaritmo:
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| − | ( %i10) limit(h(x),x,0,plus);
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| − | ( %o10)
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| − | -infinito
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| − | Pero esto no afecta a f(x) ya que, en los alrededores de x = 0, esta función no toma los
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| − | valores de h(x), sino de g(x). Por lo tanto, f no tiene ninguna asíntota vertical.
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| − | Con respecto a asíntotas horizontales, tendremos que estudiar límites de f(x)
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| − | cuando x -> -infinito (en cuyo caso f = g) y cuando x -> +infinito (en cuyo caso f = h)
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| − | ( %i11) limit(g(x),x,minf);
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| − | ( %o11)
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| − | 0
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| − | ( %i12) limit(h(x),x,inf);
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| − | ( %o12)
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| − | infinito
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| − | Por lo tanto, podemos concluir que:
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| − | f(x) no tiene ninguna asíntota vertical y tiene una asíntota horizontal (la
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| − | recta y = 0) cuando x -> -infinito.
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| − | '''2.-''' Las funciones g(x) y h(x) son continuas dentro de sus respectivos dominios, por
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| − | lo tanto f es continua salvo, eventualmente, en x = 1, el punto que divide las regiones
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| − | donde f toma los valores de g y de h. Pero los límites laterales de f en este
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| − | punto son distintos, pues:
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| − | ( %i13) limit(g(x),x,1,minus);
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| − | ( %o13)
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| − | 1/2
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| − | ( %i14) limit(h(x),x,1,plus);
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| − | ( %o14)
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| − | 1
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| − | en consecuencia, f no es continua en x = 1 (tendrá una discontinuidad de salto).
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| − | Además, f no es derivable en x = 1 (por no ser continua) pero sí en el resto de
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| − | R (pues tanto g como h lo son para valores de x que estén dentro de sus respectivos
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| − | dominios). Puesto que:
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| − | ( %i15) diff(g(x),x);
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| − | ( %o15)
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| − | - 2x/(x2 + 1)2
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| − | ( %i16) diff(h(x),x);
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| − | ( %o16)
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| − | 1/x
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| − | '''Representacion grafica:'''
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| − | Para representar la gráfica de f, podemos definir:
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| − | ( %i33) f(x):= if(x<1) then g(x) else h(x);
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| − | ( %o33)
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| − | f (x) := if x < 1 then g (x) else h (x)
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| − | El problema es que Maxima no está preparado para representar directamente este tipo
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| − | de funciones, siendo necesario encapsular f(x) en una expresión de la forma “’(f(x))”.
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| − | ( %i34) plot2d(f(x),[x,-5,5]);
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| − | Maxima was unable to evaluate the predicate:
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| − | ** error while printing error message **
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| − | Maxima was unable to evaluate the predicate:~%~M
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| − | #0: f(x=x)
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| − | - an error. Quitting. To debug this try debugmode(true);
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| − | ( %i35) plot2d(’(f(x)),[x,-5,5], [gnuplot_preamble, "set zeroaxis"],
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| − | [gnuplot_term, ps], [gnuplot_out_file, "grafica.eps"]);
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| − | ( %o35)
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| − | [[Archivo:Ejemplo.jpg]]
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