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| Línea 3: |
Línea 3: |
| | Autor: Jose David Cruz Margarin | | Autor: Jose David Cruz Margarin |
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| − | '''Problema:
| + | Problema: |
| − | Sea f(x)=(x^2-9)/x'''
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| − | 1.- Halla los puntos de corte de f(x) con los ejes de coordenadas.
| + | Dada la función |
| | + | f(x) = 1/1+x2 si x <= 1 |
| | + | 1 + ln x si x > 1 |
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| − | 2.- Presenta una lista con los valores de f(n); n = 100; 200; 300; : : : 1500. ¿Cuál piensas que es el límite de f(x) en +1? Confírmalo con wxMaxima. | + | 1. Estudiar su dominio, puntos de corte y asíntotas. |
| | + | 2. Analizar su continuidad y su derivabilidad, calcular su función derivada primera. |
| | + | 3. Determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como sus máximos |
| | + | y mínimos relativos. |
| | + | 4. Representar su gráfica. |
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| − | 3.- Estudia las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de f(x).
| + | [[Archivo:Ejemplo.jpg]] |
| − | | |
| − | 4.- Representa de forma conjunta la gráfica de f(x) y de la recta y = x.
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| − | | |
| − | 5.- Halla la función derivada de f(x) y la recta tangente a f(x) en el punto a = 3.
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| − | | |
| − | 6.- Representar de forma conjunta a la gráfica de f(x) y la de esta recta tangente.
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| − | Calcula una primitiva de f(x).
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| − | | |
| − | '''
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| − | Solucion:'''
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| − | | |
| − | 1.- Comenzamos definiendo f(x):
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| − | ( %i1) f(x):=(x^2-9)/x;
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| − | ( %o1)
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| − | f (x) :=
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| − | <math>x2-9/x</math>
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| − | | |
| − | 118 Problema resuelto 1: estudio y representación de una función
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| − | Sus puntos de corte con OX verifican f(x) = 0:
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| − | ( %i2) solve(f(x)=0,x);
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| − | ( %o2)
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| − | [x = 3; x = 3]
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| − | así que tenemos (3; 0) y (3; 0). Los puntos de corte con OY verifican x = 0, pero
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| − | ( %i3) f(0);
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| − | Division by 0
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| − | #0: f(x=0)
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| − | - an error. Quitting. To debug this try debugmode(true);
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| − | Evidentemente, el punto x = 0 no está en el dominio, pues el denominador se hace cero
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| − | (y Maxima nos da el error anterior).
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| − | Valores de f(n)
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| − | Podríamos calcular uno a uno los valores de f(n) pero es más rápido, como
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| − | vimos en el tema anterior, utilizar la función “map”, que es especialmente apropiada
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| − | para crear tablas de valores:
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| − | ( %i4) lista:makelist(100*n,n,1,15);
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| − | ( %o4)
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| − | [100; 200; 300; 400; 500; 600; 700; 800; 900; 1000; 1100; 1200; 1300; 1400; 1500] | |
| − | ( %i5) tabla:map(f,lista);
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| − | ( %o5)
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| − | �9991
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| − | 100
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| − | ;
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| − | 39991
| |
| − | 200
| |
| − | ;
| |
| − | 29997
| |
| − | 100
| |
| − | ;
| |
| − | 159991
| |
| − | 400
| |
| − | ;
| |
| − | 249991
| |
| − | 500
| |
| − | ;
| |
| − | 119997
| |
| − | 200
| |
| − | ;
| |
| − | 489991
| |
| − | 700
| |
| − | ;
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| − | 639991
| |
| − | 800
| |
| − | ;
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| − | 89999
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| − | 100
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| − | ;
| |
| − | 999991
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| − | 1000
| |
| − | ;
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| − | 1209991
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| − | 1100
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| − | ;
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| − | 479997
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| − | 400
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| − | ;
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| − | 16899130( %i6) %,numer;
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| − | ( %o6)
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| − | [99;909999999999997; 199;95500000000001; 299;97000000000003; 399;97750000000002; 499;982000000000Parece que | |
| − | l��m
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| − | x!+1
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| − | f(x) = +1;
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| − | pero es mejor confirmarlo con Maxima. Efectivamente:
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| − | 119
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| − | ( %i7) limit(f(x),x,inf);
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| − | ( %o7)
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| − | 1
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| − | Asíntotas
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| − | Como vemos a continuación, f(x) tiene una asíntota vertical en x = 0, de hecho
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| − | l��m
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| − | x!0+
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| − | f(x) = 1 l��m
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| − | x!0
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| − | f(x) = +1
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| − | ( %i8) limit(f(x),x,0);
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| − | ( %o8)
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| − | und
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| − | ( %i9) limit(f(x),x,0,plus);
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| − | ( %o9)
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| − | 1
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| − | ( %i10) limit(f(x),x,0,minus);
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| − | ( %o10)
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| − | 1
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| − | Por otra parte, f(x) no tiene asíntotas horizontales en +1(como vimos, el límite
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| − | es +1) y tampoco en 1, como vemos ahora:
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| − | ( %i11) limit(f(x),x,minf);
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| − | ( %o11)
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| − | 1
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| − | Y, por otro lado, puesto que
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| − | ( %i12) limit(f(x)/x,x,inf);
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| − | ( %o12)
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| − | 1
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| − | f(x) tiene una asíntota oblicua, de la forma y = 1 � x + a, donde a viene dado por el
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| − | siguiente límite:
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| − | 120 Problema resuelto 1: estudio y representación de una función
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| − | ( %i13) limit(f(x)-1*x,x,inf);
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| − | ( %o13)
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| − | 0
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| − | Por tanto, la asíntota oblicua es y = x.
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| − | Gráfica
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| − | Representaremos f(x) junto con su asíntota, y = x. A base de prueba y error, se
| |
| − | encontrarán los intervalos de x e y adecuados, en este caso se tomará x 2 [20; 20],
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| − | y 2 [20; 100]:
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| − | ( %i14) plot2d([f(x),x],[x,-20,20],[y,-20,20],[gnuplot_preamble,"set
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| − | zeroaxis;"]);
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| − | ( %o14)
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| − | Figura A.1: Gráfica de la función x29
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| − | 2 junto a su asíntota oblicua y = x
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| − | Derivada y recta tangente
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| − | A continuación, calculamos la derivada de f(x), definimos el punto a = 3 y
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| − | hallamos f0(a).
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| − | ( %i15) diff(f(x),x);
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| − | ( %o15)
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| − | 2
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| − | x2 9
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| − | x2
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| − | 121
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| − | ( %i16) ratsimp(%);
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| − | ( %o16)
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| − | x2 + 9
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| − | x2
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| − | ( %i17) a:3;
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| − | ( %o17)
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| − | 3
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| − | ( %i18) ”(diff(f(x),x)),x=a;
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| − | ( %o18)
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| − | 2
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| − | Obsérvese que (como se comentó en los apuntes de este tema) antes de sustituir el valor
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| − | x = a en la derivada, es necesario utilizar un doble operador comilla (”), que se obtiene
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| − | pulsando dos veces en la tecla ?. Este operador se puede interpretar como «el resultado
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| − | de evaluar la siguiente expresión» (en este caso, la derivada de f(x)). En general, la
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| − | última entrada se puede interpretar como «sustituir x = a en el resultado de calcular la
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| − | derivada de f(x)».
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| − | También podríamos haber utilizado este operador para definir una función, a la que
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| − | podríamos llamar Df(x), que representaría a la primera derivada de f(x). Esto lo haremos
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| − | más abajo, como ejemplo. Y como se puede ver aprovecharemos para simplificar la
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| − | derivada (con la función “ratsimp” antes de definir Df(x)). Así, la definición se puede
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| − | leer como «Df(x) se define como el resultado (doble comilla) de simplificar (ratsimp)
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| − | la derivada (diff ) de f(x)»
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| − | Una vez que conocemos la pendiente, m = f0(a) = 2, podemos escribir la recta
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| − | tangente como
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| − | y f(a) = m � (x a)
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| − | ( %i19) Df(x):=”(ratsimp(diff(f(x),x)));
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| − | ( %o19)
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| − | Df (x) :=
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| − | x2 + 9
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| − | x2
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| − | ( %i20) m:Df(a);
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| − | ( %o20)
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| − | 2
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| − | ( %i21) y-f(a)=m*(x-a);
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| − | ( %o21)
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| − | y = 2 (x 3)
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| − | 122 Problema resuelto 1: estudio y representación de una función
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| − | ( %i22) expand(%);
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| − | ( %o22)
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| − | y = 2 x 6
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| − | Y (utilizando el menú de wxMaxima, si así lo deseamos), podemos representar la
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| − | gráfica:
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| − | ( %i23) plot2d([f(x),2*x-6],[x,-20,20],[y,-20,20],[gnuplot_preamble,"set
| |
| − | zeroaxis;"]);
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| − | ( %o23)
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| − | El resultado se puede apreciar en la figura A.2
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| − | Figura A.2: Gráfica de la función x29
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| − | 2 junto su recta tengente en x = 3
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| − | Primitiva y área
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| − | Calcular una primitiva es fácil. Recurramos o no al sistema de menús de wxMaxima,
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| − | tendremos:
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| − | ( %i24) integrate(f(x),x);
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| − | ( %o24)
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| − | x2
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| − | 2 9 log x
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| − | Para el cálculo de áreas, observamos que f(x) > 0 en [3;+1), pues hemos visto que
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| − | f(3) = 0 y si x > 3 el numerador y el denominador de f(x) son estrictamente positivos
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| − | 123
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| − | | |
| − | Sus puntos de corte con OX verifican f(x) = 0:
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| − | ( %i2) solve(f(x)=0,x);
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| − | ( %o2)
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| − | [x = -3; x = 3]
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