Ejercicios de selectividad

Introducción

En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en

• Colección de Eduardo Ramos.
• Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas.
• Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II

Ejercicios

• Ejercicio 1 de Selectividad.
• Ejercicio 2 de Selectividad.

Enunciado

Halla, en función de a, el valor del determinante:

<math>\left|

        \begin{array}{cccc}
          a & a & a & a \\
          2 & a & a & a \\
          3 & 2 & a & a \\
          4 & 3 & 2 & a
        \end{array}
      \right|
</math>

Solución

(%i1) A: matrix([a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a])$
(%i2) determinant(A)$
(%i3) ratsimp(%);

(%o3) <math>a^4-6*a^3+12*a^2-8*a</math>

Ejercicio 3

Enunciado

Sean la recta r y el plano <math>\pi</math> dados por:

<math>r=\left\{\begin{array}{lll}

                   x= & -1 & -\lambda \\
                   y= &    & -\lambda \\
                   z= &    & 2\lambda
                   \end{array}\right.</math>
  

<math> \displaystyle\pi: 2x-3y+z+1=0 </math>

Apartado a

Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano <math>\pi</math>.

Solución

El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano cualesquiera, a partir del vector director de la recta y del vector normal del plano.

(%i1) senoangulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],
      prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),
      modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),
      modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),
      float(dist:prodesc/(modv*modn)))$

En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es (2,-3,1):

(%i2) senoangulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);
(%o2) 0.32732683535399

Apartado b

Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>.

Solución

Para calcular la recta r', proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>, basta tomar dos puntos de la recta r y calcular sus proyecciones sobre <math>\displaystyle\pi</math>.

Calculamos la proyección de A=(-1,0,0)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos P. La recta que pasa por A y es perpendicular al plano es:

<math>s=\left\{\begin{array}{cccc}

                   x= & -1 & + & 2a \\
                   y= &    & - & 3a \\
                   z= &    & & a
                   \end{array}\right.</math>

   (%i1) solve(2*(-1+2*a)-3*(-3*a)+a+1=0,a);
   (%o1) [a=1/14]
   (%i2) a:1/14$
   (%i3) P:[-1+2*a,-3*a,a];
   (%o3) [-6/7,-3/14,1/14]

Calculamos ahora la proyección de B=(-2,-1,2)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos Q. La recta que pasa por B y es perpendicular al plano es:

<math>t=\left\{\begin{array}{cccc}

                   x= & -2 & + & 2b \\
                   y= & -1 & - & 3b \\
                   z= &  2 & + & b
                   \end{array}\right.</math>

   (%i4) solve(2*(-2+2*b)-3*(-1-3*b)+2+b+1=0,b);
   (%o4) [b=-1/7]
   (%i5) b:-1/7$
   (%i6) Q:[-2+2*b,-1-3*b,2+b];
   (%o6) [-16/7,-4/7,13/7]

El vector director de la recta proyección r' sería:

   (%i7) PQ: [first(Q)-first(P),second(Q)-second(P),last(Q)-last(P)];
   (%o7) [-10/7,-5/14,25/14]

Por tanto la recta r' es:

<math>r'=\left\{\begin{array}{cccc}

                   x= & \displaystyle\frac{-6}{7} & + & \displaystyle\frac{-10}{7}u  \\
                   y= & \displaystyle\frac{-3}{14} & + & \displaystyle\frac{-5}{14}u  \\
                   z= & \displaystyle\frac{1}{14} & + & \displaystyle\frac{25}{14}u
                   \end{array}\right.</math>

Enunciado

Halla, en función de a, el valor del determinante:

<math>\left|

        \begin{array}{cccc}
          a & a & a & a \\
          2 & a & a & a \\
          3 & 2 & a & a \\
          4 & 3 & 2 & a
        \end{array}
      \right|
</math>

Solución

(%i1) A: matrix([a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a])$
(%i2) determinant(A)$
(%i3) ratsimp(%);

(%o3) <math>a^4-6*a^3+12*a^2-8*a</math>

Ejercicio 3

Enunciado

Sean la recta r y el plano <math>\pi</math> dados por:

<math>r=\left\{\begin{array}{lll}

                   x= & -1 & -\lambda \\
                   y= &    & -\lambda \\
                   z= &    & 2\lambda
                   \end{array}\right.</math>
  

<math> \displaystyle\pi: 2x-3y+z+1=0 </math>

Apartado a

Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano <math>\pi</math>.

Solución

El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano cualesquiera, a partir del vector director de la recta y del vector normal del plano.

(%i1) senoangulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],
      prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),
      modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),
      modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),
      float(dist:prodesc/(modv*modn)))$

En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es (2,-3,1):

(%i2) senoangulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);
(%o2) 0.32732683535399

Apartado b

Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>.

Solución

Para calcular la recta r', proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>, basta tomar dos puntos de la recta r y calcular sus proyecciones sobre <math>\displaystyle\pi</math>.

Calculamos la proyección de A=(-1,0,0)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos P. La recta que pasa por A y es perpendicular al plano es:

<math>s=\left\{\begin{array}{cccc}

                   x= & -1 & + & 2a \\
                   y= &    & - & 3a \\
                   z= &    & & a
                   \end{array}\right.</math>

   (%i1) solve(2*(-1+2*a)-3*(-3*a)+a+1=0,a);
   (%o1) [a=1/14]
   (%i2) a:1/14$
   (%i3) P:[-1+2*a,-3*a,a];
   (%o3) [-6/7,-3/14,1/14]

Calculamos ahora la proyección de B=(-2,-1,2)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos Q. La recta que pasa por B y es perpendicular al plano es:

<math>t=\left\{\begin{array}{cccc}

                   x= & -2 & + & 2b \\
                   y= & -1 & - & 3b \\
                   z= &  2 & + & b
                   \end{array}\right.</math>

   (%i4) solve(2*(-2+2*b)-3*(-1-3*b)+2+b+1=0,b);
   (%o4) [b=-1/7]
   (%i5) b:-1/7$
   (%i6) Q:[-2+2*b,-1-3*b,2+b];
   (%o6) [-16/7,-4/7,13/7]

El vector director de la recta proyección r' sería:

   (%i7) PQ: [first(Q)-first(P),second(Q)-second(P),last(Q)-last(P)];
   (%o7) [-10/7,-5/14,25/14]

Por tanto la recta r' es:

<math>r'=\left\{\begin{array}{cccc}

                   x= & \displaystyle\frac{-6}{7} & + & \displaystyle\frac{-10}{7}u  \\
                   y= & \displaystyle\frac{-3}{14} & + & \displaystyle\frac{-5}{14}u  \\
                   z= & \displaystyle\frac{1}{14} & + & \displaystyle\frac{25}{14}u
                   \end{array}\right.</math>

Enunciado

Halla, en función de a, el valor del determinante:

<math>\left|

        \begin{array}{cccc}
          a & a & a & a \\
          2 & a & a & a \\
          3 & 2 & a & a \\
          4 & 3 & 2 & a
        \end{array}
      \right|
</math>

Solución

(%i1) A: matrix([a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a])$
(%i2) determinant(A)$
(%i3) ratsimp(%);

(%o3) <math>a^4-6*a^3+12*a^2-8*a</math>

Ejercicio 3

Enunciado

Sean la recta r y el plano <math>\pi</math> dados por:

<math>r=\left\{\begin{array}{lll}

                   x= & -1 & -\lambda \\
                   y= &    & -\lambda \\
                   z= &    & 2\lambda
                   \end{array}\right.</math>
  

<math> \displaystyle\pi: 2x-3y+z+1=0 </math>

Apartado a

Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano <math>\pi</math>.

Solución

El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano cualesquiera, a partir del vector director de la recta y del vector normal del plano.

(%i1) senoangulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],
      prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),
      modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),
      modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),
      float(dist:prodesc/(modv*modn)))$

En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es (2,-3,1):

(%i2) senoangulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);
(%o2) 0.32732683535399

Apartado b

Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>.

Solución

Para calcular la recta r', proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>, basta tomar dos puntos de la recta r y calcular sus proyecciones sobre <math>\displaystyle\pi</math>.

Calculamos la proyección de A=(-1,0,0)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos P. La recta que pasa por A y es perpendicular al plano es:

<math>s=\left\{\begin{array}{cccc}

                   x= & -1 & + & 2a \\
                   y= &    & - & 3a \\
                   z= &    & & a
                   \end{array}\right.</math>

   (%i1) solve(2*(-1+2*a)-3*(-3*a)+a+1=0,a);
   (%o1) [a=1/14]
   (%i2) a:1/14$
   (%i3) P:[-1+2*a,-3*a,a];
   (%o3) [-6/7,-3/14,1/14]

Calculamos ahora la proyección de B=(-2,-1,2)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos Q. La recta que pasa por B y es perpendicular al plano es:

<math>t=\left\{\begin{array}{cccc}

                   x= & -2 & + & 2b \\
                   y= & -1 & - & 3b \\
                   z= &  2 & + & b
                   \end{array}\right.</math>

   (%i4) solve(2*(-2+2*b)-3*(-1-3*b)+2+b+1=0,b);
   (%o4) [b=-1/7]
   (%i5) b:-1/7$
   (%i6) Q:[-2+2*b,-1-3*b,2+b];
   (%o6) [-16/7,-4/7,13/7]

El vector director de la recta proyección r' sería:

   (%i7) PQ: [first(Q)-first(P),second(Q)-second(P),last(Q)-last(P)];
   (%o7) [-10/7,-5/14,25/14]

Por tanto la recta r' es:

<math>r'=\left\{\begin{array}{cccc}

                   x= & \displaystyle\frac{-6}{7} & + & \displaystyle\frac{-10}{7}u  \\
                   y= & \displaystyle\frac{-3}{14} & + & \displaystyle\frac{-5}{14}u  \\
                   z= & \displaystyle\frac{1}{14} & + & \displaystyle\frac{25}{14}u
                   \end{array}\right.</math>