2010 Ejercicios 6: Matrices con Maxima

Ejercicio 1

Ejercicio 1.1.

Definir la matriz

         [ 2 -1 1]
  M(k) = [-1  k 1]
         [ 1  1 2]

para k en R.

Solución:

(%i1) M:matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2]);
(%o1) matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2])

Ejercicio 1.2.

Calcular el determinante de M(k).

Solución:

(%i1)determinant(M);
(%o1)2*(2*k-1)-k-4

Ejercicio 1.3.

Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.

Solución:

M(k) es invertible si el determinante es distinto de cero.
(%i2)solve(2*(2*k-1)-k-4=0);
(%o2)[k=2]
M(k) es invertible si k es diferente de 2.

Ejercicio 1.4.

Calcular la inversa de M(k).

Solución:

(%i3)invert(M);
(%03)matrix([(2*k-1)/(2*(2*k-1)-k-4),3/(2*(2*k-1)-k-4),(-k-1)/(2*(2*k-1)-k-4)],
            [3/(2*(2*k-1)-k-4),3/(2*(2*k-1)-k-4),-3/(2*(2*k-1)-k-4)],
            [(-k-1)/(2*(2*k-1)-k-4),-3/(2*(2*k-1)-k-4),(2*k-1)/(2*(2*k-1)-k-4)])

Ejercicio 1.5.

Calcular los autovalores de M(k).

Solución:

(%i4)eigenvalues(M);  
(%o4)[[-(sqrt(k^2-2*k+9)-k-1)/2,(sqrt(k^2-2*k+9)+k+1)/2,3],[1,1,1]]

Otra posible forma es calculando las raices del polinomio caracteristico. 
(%i5)charpoly(M,x);
(%o5)2*x+((2-x)*(k-x)-1)*(2-x)-k-4
(%i6)expand(%);
(%o6)-x^3+k*x^2+4*x^2-4*k*x-x+3*k-6
(%i7)solve(%=0,x);
(%o7)[x=-(sqrt(k^2-2*k+9)-k-1)/2,x=(sqrt(k^2-2*k+9)+k+1)/2,x=3]

Ejercicio 1.6.

Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples.

Ejercicio 2

Ejercicio 2.1.

Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden n+1 cuyo término general es

  a(i,j) = binomial(j-1,i-1), si i <= j
         = 0,                 si i >  j

Solución:

 (%i1)d[i,j]:= if i<=j then binomial(j-1,i-1)
                  else 0$
 (%i2)A(n):= block([],
                     (genmatrix(d,n+1,n+1)));
 (%02)A(n):=block([],genmatrix(d,n+1,n+1))

Ejercicio 2.2.

Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).

Solución:

 (%i3)A(1); A(2); A(5);
 (%03) matrix([1,1],[0,1])
       matrix([1,1,1],[0,1,2],[0,0,1])
       matrix([1,1,1,1,1,1],[0,1,2,3,4,5],[0,0,1,3,6,10],[0,0,0,1,4,10],[0,0,0,0,1,5],[0,0,0,0,0,1])

Ejercicio 2.3.

Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).

Solución:

 (%i4)invert(A(1)); invert(A(2)); invert(A(5));
 (%04)matrix([1,-1],[0,1])
      matrix([1,-1,1],[0,1,-2],[0,0,1])
      matrix([1,-1,1,-1,1,-1],[0,1,-2,3,-4,5],[0,0,1,-3,6,-10],[0,0,0,1,-4,10],[0,0,0,0,1,-5],[0,0,0,0,0,1])

Ejercicio 2.4.

Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).

Solución:

Ejercicio 2.5.

Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.

Solución:

Ejercicio 3

El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por

  [ 1 -5]
  [-5  3]

Ejercicio 3.1.

Escribir la matriz A definida por

  [ 1 -5]
  [-5  3]

Solución:

(%i1) A:matrix([1,-5],[-5,3]);

Ejercicio 3.2.

Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.

Solución:

   (%i1) X:matrix([a,b],[c,d]);

Ejercicio 3.3.

Calcular M = AX − XA

Solución:

(%i1) A.X-X.A;
(%o1) matrix([5*b-5*c,-5*d-2*b+5*a],[5*d+2*c-5*a,5*c-5*b])

Ejercicio 3.4.

Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.

Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.

Solución:

(%i1) globalsolve:true$
(%i2) linsolve([5*b-5*c=0, -5*d-2*b+5*a=0, 5*d+2*c-5*a=0, 5*c-5*b=0], [a,b,c,d]);
 solve: dependent equations eliminated: (4 3)
(%o2) [a:(2*%r4+5*%r3)/5,b:%r4,c:%r4,d:%r3]
(%i3) [a,b,c,d];
(%o3) [(2*%r4+5*%r3)/5,%r4,%r4,%r3]

Ejercicio 3.5.

Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0

Solución:

(%i1) B:matrix([(2*%r4+5*%r3)/5,%r4],[%r4,%r3]);

Ejercicio 3.6.

Comprobar que A y B conmutan.

Solución:

(%i1) A.B-B.A;
(%o1) matrix([0,0],[0,0])