2010 Ejercicios 5: Programación

Ejercicio 1

Ejercicio 1.1.

Definir la función tangente tal que tangente(f,a) es la ecuación de la tangente a la función f en el punto de abscisa a. Por ejemplo,

  (%i1) (f(x):=x^3, tangente(f,2));
  (%o1) y=12*(x-2)+8

Solución

    (%i1)tangente(f,a):=
         (define(D(x),diff(f(x),x)),  
          y=ratsimp(f(a)+D(a)*(x-a)))$
    (%i2) f(x):=x^3$
    (%i3) tangente(f,2);
    (%o3) y=12*x-16

Ejercicio 1.2.

Calcular la tangente a f(x)=ln(tan(|x|) en el punto de abscisa -pi/12.

Solución

  (%i1) f(x):=log(tan(abs(x)))$
  (%i2) tangente(f,-%pi/12);
  (%o2) y=(18*%pi^2*x+%pi^3)/864

Ejercicio 2

Ejercicio 2.1.

Definir el procedimiento signosTrinomio tal que signosTrinomio(a,b,c) es la tabla de la variación de los signos del trinomio ax^2+bx+c. Por ejemplo,

  (%i1) signosTrinomio(1,-2,1);
  (%o1) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,inf],+]]
  (%i2) signosTrinomio(-1,2,-1);
  (%o2) [[[-inf,1],-],[1,0],[[1,inf],-]]
  (%i3) signosTrinomio(1,-3,2);
  (%o3) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,2],-],[2,0],[[2,inf],+]]
  (%i4) signosTrinomio(-1,3,-2);
  (%o4) [[[-inf,2],-],[2,0],[[2,1],+],[1,0],[[1,inf],-]]
  (%i5) signosTrinomio(1,0,1);
  (%o5) [[[-inf,inf],+]]
  (%i6) signosTrinomio(-1,0,-1);
  (%o6) [[[-inf,inf],-]]

Se supone que a es distinto de cero.

Solución

  (%i1)signosTrinomio(a,b,c):=block([S,td,td2],
   S:realroots(a*x^2+b*x+c),
   if length(S)=0 then 
       if a>0 then "[[-inf,+inf],+]"
       else "[[-inf,+inf],-]"
   elseif length(S)=1 then
       (td:rhs(first(S)),
       if a>0 then
          [[["-inf",td],"+"],[td,0],[[td,"+inf"],"+"]]
       else 
          [[["-inf",td],"-"],[td,0],[[td,"+inf"],"-"]])
   else
       (td:rhs(first(S)),
       td2:rhs(second(S)),
       if a>0 then [[["-inf",td],"+"],[td,0],[[td,td2],"-"],[td2,0],[[td2,"+inf"],"+"]]
       else [[["-inf",td],"-"],[td,0],[[td,td2],"+"],[td2,0],[[td2,"+inf"],"-"]]))$

Ejercicio 2.2.

Calcular la tabla de la variación de los signos del trinomio -6x^2-3x+14/3

Solución

  (%i1) float(signosTrinomio(-6,-3,14/3));
  (%o1) [[[-inf,-1.166666656732559],-],[-1.166666656732559,0.0],[[-1.166666656732559,0.66666665673256],+],[
        0.66666665673256,0.0],[[0.66666665673256,+inf],-]]

Ejercicio 3

Se lanza un dado cúbico equilibrado hasta que se obtiene la cara 6 por primera vez. Se designa por X la variable aleatorio que cuenta el número de lanzamientos efectuados. Se dice que X es el tiempo de espera del primer 6.

Ejercicio 3.1.

Definir el procedimiento X() que simule una serie de lanzamientos del dado y devuelva el número de lanzamientos realizados para obtener el 6 por primera vez.

Ejercicio 3.2.

Con la ayuda del bucle for, definir el procedimiento simulacion(n) que simule una serie de n lanzamientos y devuelva la lista de frecuencia de los eventos [X=i] para 1 <= i <= 60. Por ejemplo,

  (%i1) simulacion(1000);
  (%o1) [0,145,115,104,88,61,65,53,51,50,40,28,30,29,27,13,21,18,10,6,8,4,9,3,
         5,1,2,4,3,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,
         0,0,0]

Ejercicio 3.3.

Definir la función media tal que media(n) es el valor medio de X en n lanzamientos. Calcular tres veces media(1000).

Ejercicio 4

La conjetura de Goldbach afirma que todo número natural par mayor que 3 se puede escribir como la suma de dos números primos. Por ejemplo,

4 = 2 + 2, 20 = 3 + 17, 50 = 3 + 47

Ejercicio 4.1.

Definir la función goldbach tal que goldbach(n) es una descomposición de n como suma de dos números primos. Por ejemplo,

  (%i1) goldbach(20);
  (%o1) [3,17]

Indicación: Iterar los primos desde x=2 hasta n/1 hasta que n-x sea primo.

 (%i1)goldbach(n):=block([lista,k],
  lista : [],
  for k from 2 thru n do
     (if primep(k) and primep(n-k) then
                                       (if k>=n-k then lista
                                       else lista : cons([k,n-k],lista))),
  first(reverse(lista)))$

Ejercicio 4.2.

Descomponer 2010 como suma de dos primos.

 (%i2)goldbach(2010);
 (%02)[7,2003]

Ejercicio 4.3.

Definir la función goldbachTodas tal que goldbachTodas(n) es la lista de todas las descomposiciones de n como suma de dos números primos x e y con x<=y. Por ejemplo,

  (%i1) goldbachTodas(20);
  (%o1) [[7,13],[3,17]]

 (%i1)goldbachTodas(n):=block([lista,k],
  lista : [],
  for k from 2 thru n do
     (if primep(k) and primep(n-k) then
                                       (if member([n-k,k],lista) then lista
                                       else lista : cons([k,n-k],lista))),
  reverse(lista))$

  %Otra forma
  (%i1)goldbachTodas(n):=block([lista,k],
  lista : [],
  for k from 2 thru n do
     (if primep(k) and primep(n-k) then
                                       (if k>=n-k then lista
                                       else lista : cons([k,n-k],lista))),
  reverse(lista))$

Ejercicio 4.4.

Calcular el número de descomposiciones de 2010 como suma de dos primos.

 (%i1)goldbachTodas(2010);
 (%01)[[7,2003],[11,1999],[13,1997],[17,1993],[23,1987],[31,1979],[37,1973],
      [59,1951],[61,1949],[79,1931],[97,1913],[103,1907],[109,1901],[131,1879],
      [137,1873],[139,1871],[149,1861],[163,1847],[179,1831],[199,1811],[223,1787],
      [227,1783],[233,1777],[251,1759],[257,1753],[263,1747],[269,1741],[277,1733],
      [311,1699],[313,1697],[317,1693],[347,1663],[353,1657],[373,1637],[383,1627],
      [389,1621],[397,1613],[401,1609],[409,1601],[431,1579],[439,1571],[443,1567],
      [457,1553],[461,1549],[467,1543],[479,1531],[487,1523],[499,1511],[521,1489],
      [523,1487],[557,1453],[563,1447],[571,1439],[577,1433],[587,1423],[601,1409],
      [643,1367],[683,1327],[691,1319],[709,1301],[719,1291],[727,1283],[733,1277],
      [751,1259],[761,1249],[773,1237],[787,1223],[797,1213],[809,1201],[823,1187],
      [829,1181],[839,1171],[857,1153],[859,1151],[881,1129],[887,1123],[907,1103],
      [919,1091],[941,1069],[947,1063],[971,1039],[977,1033],[991,1019],[997,1013]]