2010 Ejercicios de introducción a Maxima

Fonciones y variables a utilizar: float, is, expand, fpprec, bfloat, solve, factor, rectform, abs, carg, plot2D y find_root.

Ejercicio 1

Ejercicio 1.1

Definir la constante <math>a = (20+14\sqrt{2})^{1/3} + (20-14\sqrt{2})^{1/3}</math>.

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Solución:

(%i1) a : (20+14*sqrt(2))^(1/3) + (20-14*sqrt(2))^(1/3);
(%o1) (7*2^(3/2)+20)^(1/3)+(20-7*2^(3/2))^(1/3)

Ejercicio 1.2

Calcular el valor numérico de a. ¿A qué entero se aproxima?

Solución:

(%i2) float(a);
(%o2) 3.999999999999996

(%i3) round(%);
(%o3) 4

Ejercicio 2

Ejercicio 2. Escribir el número <math>\left(sin\frac{\pi}{3}+cos\frac{\pi}{3}\right)^9</math> en la forma <math>a + b \ast c^d</math>, donde <math>a, b, c</math> y <math>d</math> son números racionales.

Nota: Cambiar el valor de la variable %piargs a true y usar radcan para la simplificación de radicales.

Solución:

 (%i1)radcan ((sin(%pi/3)+cos(%pi/3))^9);
 (%01)(17*3^(5/2)+265)/32)

Ejercicio 3

Calcular la cifra 149 del número <math>\pi</math>.

Solución:

(%i1) fpprec : 149;bfloat(%pi);
(%o1) 149
(%o2) 3.1415926535897932384626433832[92 digits]0938446095505822317253594081b0

Ejercicio 4

Se considera el polinomio <math>p = x^4-x^3-7x^2-8x-6</math>.

(%i1) p:x^4-x^3-7*x^2-8*x-6;
(%o1) x^4-x^3-7*x^2-8*x-6

Ejercicio 4.1.

Calcular las raices reales de <math>p</math>.

Solución:

(%i2) realroots(p);
(%o2) [x=-55222251/33554432,x=122331115/33554432]

Ejercicio 4.2

Factorizar al máximo el polinomio <math>p</math>.

Solución:

(%i3) factor(p);
(%o3) (x^2-2*x-6)*(x^2+x+1)

Ejercicio 5

Sea <math>z=\left(\frac{1-i\sqrt 3}{1+i}\right)^{20}</math>.

(%i1) z: ((1-%i*sqrt(3))/(1+%i))^20$

Ejercicio 5.1

Calcular la parte real y la parte imaginaria de <math>z</math>.

Solución:

(%i2) realpart(z);
(%o2) 512

(%i3) imagpart(z)$
(%i4) radcan(%);
(%o4) 512*sqrt(3)

Ejercicio 5.2

Calcular el módulo y el argumento de <math>z</math>.

Solución:

(%i5) ratsimp(abs(z));ratsimp(carg(z));
(%o5) 1024
(%o6) %pi/3

Ejercicio 6

Ejercicio 6.1

Con la ayuda de la representación gráfica, conjeturar el número de soluciones de la ecuación

<math>\sin x=1-x^4</math>.

Solución:

(%i1) (%i1) wxplot2d([sin(x),1-x^4], [x,-1.5,1.5], [y,-2,2],
[gnuplot_preamble, "set xrange [-1.5:1.5]; set yrange [-2:2]; set grid;"]);

A la vista de la gráfica, la ecuación tendrá 2 soluciones.

Ejercicio 6.2

Dar una aproximación de cada solución.

Solución:

Observando la gráfica podemos estimar que las soluciones serán -1,2 y 0,7.

Podemos aproximar las soluciones tanto como queramos acotando el dominio de la representación gráfica como se ve a continuación. 
Con lo que las soluciones están en los intervalos:
(-1.180, -1.175)
(0.750, 0.755)

Ejercicio 7

Resolver el siguiente sistema lineal en función de los parámetros <math>a, b</math> y <math>c</math>:

<math>

\left\{ \begin{array}{l} x+ay+a^2 z=0 \\ x+by+b^2 z=0 \\ x+cy+c^2z=1 \end{array} \right. </math>

Solución:

(%i1)sist:[x+a*y+a^2*z=0, x+b*y+b^2*z=0, x+c*y+c^2*z=1]$
(%i2)solve(sist, [x,y,z]);
(%o2)[[x=(a*b)/(c^2-b*c+a*(b-c)),
       y=-(b+a)/(c^2-b*c+a*(b-c)),
       z=1/(c^2-b*c+a*(b-c))]]