Diferencia entre revisiones de «Derivabilidad de una función a trozos»
De Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11)
(Página creada con 'Enunciado: Se sabe que la función f:R->R definida como f(x) -x^2+bx+1 si x<=1 ax^2+5x+2a si x>1 es derivable. Determina los valores de a y b.') |
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Se sabe que la función f:R->R definida como | Se sabe que la función f:R->R definida como | ||
| − | + | -x^2+bx+1 si x<=1 y ax^2+5x+2a si x>1 | |
| − | + | es derivable. | |
| − | es derivable. Determina los valores de a y b. | + | Determina los valores de a y b. |
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| + | Solución: | ||
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| + | (%i17) f(x) := if x<=1 then -x^2+b*x+1 elseif x>1 then a*x^2-5*x+2*a; | ||
| + | (%o17) f(x):=if x<=1 then -x^2+b*x+1 elseif x>1 then a*x^2-5*x+2*a | ||
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| + | Para que sea derivable tiene que ser contínua por lo que hacemos los límites | ||
| + | laterales y los igualamos obteniendo una ecuación. | ||
| + | (%i18) assume(x<=1)$ | ||
| + | limit(f(x),x,1,minus); | ||
| + | (%o19) b | ||
| + | (%i20) forget(x<=1)$ | ||
| + | assume(x>1)$ | ||
| + | limit(f(x),x,1,plus); | ||
| + | (%o22) 3*a-5 | ||
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| + | Hacemos las derivadas laterales y las igualamos obteniendo la segunda ecuación. | ||
| + | (%i30) forget(x>1)$ | ||
| + | assume(x<=1)$ | ||
| + | define(dfp(x),diff(f(x),x,1)); | ||
| + | (%o32) dfp(x):=b-2*x | ||
| + | (%i33) limit(dfp(x), x, 1, minus); | ||
| + | (%o33) b-2 | ||
| + | (%i34) forget(x<=1)$ | ||
| + | assume(x>1)$ | ||
| + | define(dfp(x),diff(f(x),x,1)); | ||
| + | (%o36) dfp(x):=2*a*x-5 | ||
| + | (%i39) limit(dfp(x), x, 1, plus); | ||
| + | (%o39) 2*a-5 | ||
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| + | Resolvemos el sistema. | ||
| + | (%i40) linsolve([b=3*a-5, b-2=2*a-5], [a,b]); | ||
| + | (%o40) [a=2,b=1] | ||
Revisión actual del 18:10 8 may 2011
Enunciado: Se sabe que la función f:R->R definida como -x^2+bx+1 si x<=1 y ax^2+5x+2a si x>1 es derivable. Determina los valores de a y b.
Solución:
(%i17) f(x) := if x<=1 then -x^2+b*x+1 elseif x>1 then a*x^2-5*x+2*a; (%o17) f(x):=if x<=1 then -x^2+b*x+1 elseif x>1 then a*x^2-5*x+2*a
Para que sea derivable tiene que ser contínua por lo que hacemos los límites laterales y los igualamos obteniendo una ecuación. (%i18) assume(x<=1)$ limit(f(x),x,1,minus); (%o19) b (%i20) forget(x<=1)$ assume(x>1)$ limit(f(x),x,1,plus); (%o22) 3*a-5
Hacemos las derivadas laterales y las igualamos obteniendo la segunda ecuación. (%i30) forget(x>1)$ assume(x<=1)$ define(dfp(x),diff(f(x),x,1)); (%o32) dfp(x):=b-2*x (%i33) limit(dfp(x), x, 1, minus); (%o33) b-2 (%i34) forget(x<=1)$ assume(x>1)$ define(dfp(x),diff(f(x),x,1)); (%o36) dfp(x):=2*a*x-5 (%i39) limit(dfp(x), x, 1, plus); (%o39) 2*a-5
Resolvemos el sistema. (%i40) linsolve([b=3*a-5, b-2=2*a-5], [a,b]); (%o40) [a=2,b=1]