Ejercicios 6: Matrices con Maxima

Ejercicio 1

Ejercicio 1.1.

Definir la matriz

<math> M_k = \left(

\begin{array}{ccc}
  2 & -1 & 1 \\
 -1 & k  & 1 \\
  1 & 1  & 2
\end{array}

\right) </math>

para <math>k \in \mathbb{R}</math>.

Solución:

Mk:matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2]);

Ejercicio 1.2.

Calcular el determinante de M(k).

Solución:

determinant(Mk);

Ejercicio 1.3.

Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.

Solución: Los valores que harán invertible a la matriz serán todos aquellos para los cuales |A| sea distinto de 0. Mediante Maxima podemos determinar qué valores anulan el determinante:

solve(determinant(Mk)=0);

Esa operación nos dice que el determinante es 0 para k = 2, por tanto, para todo k distinto de 2, la matriz será invertible.

Ejercicio 1.4.

Calcular la inversa de M(k).

Solución:

invert(Mk);

Ejercicio 1.5.

Calcular los autovalores de M(k).

Solución: En primer lugar hallaremos el polinomio característico de la matriz, es decir, el polinomio resultante de |A-xI|

charpoly(Mk,x);

Los autovalores serán las raíces de ese polinomio:

solve(%=0,x);

Aparece el autovalor 3 y otros dos autovalores que dependen del parámetro k.

Ejercicio 1.6.

Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples. M(k) tendrá autovalores múltiples cuando los dos autovalores dependientes de k coincidan. Si igualamos las dos primeras componentes del resultado anterior (los dos autovalores dependientes de k), despejaremos el valor de k que hace doble el autovalor.

solve(%[1]=%[2],k);

Como la ecuación en k es de 2º grado, no tendremos un valor solución, sino dos. Según Maxima, esos valores son (1 + i * 2 * sqrt(2)) y (1 - i * 2 * sqrt(2)).

Ejercicio 2

Ejercicio 2.1.

Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden k+1 cuyo término general es

<math> a_{i,j} =

\left\{
 \begin{array}{cl}
  \binom{j-1}{i-1}, & \mbox{si } i \leq j \\
  0,                & \mbox{si } i > j
 \end{array}
\right.

</math>

Solución:

(%i1) a[i,j] := if i <= j then binomial (j-1,i-1) else 0$
      A(n) := genmatrix (a,n+1,n+1);
(%i2) 
(%o2) A(n):=genmatrix(a,n+1,n+1)

Ejercicio 2.2.

Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).

Solución:

(%i3) A(1);
(%o3) matrix([1,1],[0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1\cr 0 & 1\end{pmatrix}\]

(%i4) A(2);
(%o4) matrix([1,1,1],[0,1,2],[0,0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\cr 0 & 1 & 2\cr 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

(%i5) A(5);
(%o5) matrix([1,1,1,1,1,1],[0,1,2,3,4,5],[0,0,1,3,6,10],[0,0,0,1,4,10],[0,0,0,0,1,5],[0,0,0,0,0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\cr 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\cr 0 & 0 & 1 & 3 & 6 & 10\cr 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 10\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 5\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

Ejercicio 2.3.

Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).

Solución:

invert(A(1));
invert(A(2));
invert(A(5));

Comprobamos:

A(1).invert(A(1));
A(2).invert(A(2));
A(5).invert(A(5));

Ejercicio 2.4.

Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).

Solución:

b[i,j] := if i <= j then (-1)^(i+j)*binomial(j-1,i-1) else 0;
B(n) := genmatrix (b,n+1,n+1);

Ejercicio 2.5.

Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.

Solución:

for n from 0 thru 9 do print(A(n).B(n));

Comprobamos que la conjetura es correcta.

Ejercicio 3

El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por

<math> \left(

\begin{array}{cc}
   1 & -5 \\
  -5 &  3
\end{array}

\right) </math>

Ejercicio 3.1.

Escribir la matriz A definida por

<math> \left(

\begin{array}{cc}
   1 & -5 \\
  -5 &  3
\end{array}

\right) </math>

Solución:

(%i1) A:matrix([1,-5],[-5,3])$

Ejercicio 3.2.

Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.

Solución:

(%i2) X:matrix([a,b],[c,d])$

Ejercicio 3.3.

Calcular M = AX − XA

Solución:

(%i3) M:A.X-X.A;
(%o3) matrix([5*b-5*c,-5*d-2*b+5*a],[5*d+2*c-5*a,5*c-5*b])

Ejercicio 3.4.

Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.

Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.

Solución:

(%i4) S:[5*b-5*c=0,-5*d-2*b+5*a=0,5*d+2*c-5*a=0,5*c-5*b=0]$
(%i5) globalsolve:true$
(%i6) solve(S,[a,b,c,d]);
solve: dependent equations eliminated: (4 3)
(%o6) [a:(2*%r2+5*%r1)/5,b:%r2,c:%r2,d:%r1]

Ejercicio 3.5.

Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0

Solución:

(%i7) B:matrix([(2*%r2+5*%r1)/5,%r2],[%r2,%r1]);

Ejercicio 3.6.

Comprobar que A y B conmutan.

Solución:

(%i10) is(A.B=B.A);
(%o10) true