Ejercicios 2: Funciones de una variable

Funciones a utilizar: if...then...else, assume, limit, forget, plot2d, diff, define, solve, trigexpand, trigsimp y subst.

Ejercicio 1

Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos números reales. Se considera la función <math>f</math> definida sobre los números reales por

<math>

f(x)=\left\{ \begin{array}{lll}

 \dfrac{e^x-1}{x}  &\mbox{si} & x>0\\
 a\,x+b           &\mbox{si} & x\leq 0

\end{array} \right. </math>

Ejercicio 1.1

Definir la función <math>f</math> usando el condicional if ... then ... else.

Solución:

(%i1)d(x):=if x>0 then (e^x-1)/x else ax+b;

Ejercicio 1.2

limit no puede evaluar expresiones del tipo if...then. Por ello, para determinar el límite de <math>f</math> en cero por la derecha se necesita precisar en qué intervalo se encuentra <math>x</math>. Esto puede hacerse con la función assume.

Escribir la expresión assume(x>0), después calcular el límite de <math>f</math> en cero por la derecha. Se puede eliminar la hipótesis sobre <math>x</math> con forget(x>0).

Solución:

Ejercicio 1.3

Deducir el valor de <math>b</math> para el que <math>f</math> es continua en <math>\mathbb{R}</math>.

Solución: f(x) se trata de una función a trozos tal que:
1. Para x > 0, f(x) es un cociente entre funciones continuas en R, por tanto, podrá presentar problemas de discontinuidad en los puntos en los que su denominador se anula, eso sólo ocurre para x=0, pero en ese punto, f(x) presenta otro comportamiento.
2. Para x<= 0, f(x) es una función lineal, y por tanto, continua en todo R.
Por consiguiente, el único punto en el que la función a trozos puede presentar problemas es donde cambia de criterio, en x = 0. Para que f(x) sea continua en x = 0, deben ser iguales los límites laterales de la función en dicho punto:

solve(limit((exp(x)-1)/x,x,0)=limit(a*x+b,x,0));

Devolviéndonos que b = 1.

Ejercicio 1.4

Calcular la derivada de <math>f</math> en cero por la derecha.

Solución: 'diff(f(x),x)=diff(f(x),x);

Ejercicio 1.5

Calcular el valor de <math>a</math> para el que <math>f</math> es derivable en cero.

Solución:

Ejercicio 2

Sea <math>g</math> la función real definida por <math>g(x) = 2x-\sqrt{1+x^2}</math>

(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$

Ejercicio 2.1

Calcular los límites de <math>g</math> en más y menos infinito.

Solución:

(%01) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%02) limit(g(x),x,inf);
(%02) inf
(%03) limit(g(x),x,-inf);
(%03) -inf

<math> inf, -inf</math>

Ejercicio 2.2

Dibujar la gráfica de la función <math>g</math>.

Solución:

(%o4) wxplot2d(g(x), [x,-1,3],[y,-3,3]);[gnuplot_preamble, "set grid "])$
plot2d: some values were clipped.
(%t05)  << Graphics >> 

Ejercicio 2.3

Calcular <math>g'(x)</math>.

Solución:

(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2);
(%i2)diff(g(x),x);
(%02)2-x/sqrt(x^2+1);

Ejercicio 2.4

Resolver la ecuación <math>g(x)=0</math>.

Solución:

(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2);
(%i2) g(0);
(%02) -1

Esta solución no es correcta pues el enunciado pide g(x)=0 no g(0). No se porqué el siguiente comando no resuelve la ecuación, ¿alguien lo sabe?

solve(2*x-sqrt(1+x^2)=0,x);

Transformando la ecuación, elevando al cuadrado, obtenemos una ecuación que sí resuelve Maxima:

(%075) solve(3*x^2=1);
(%o76) [x=-1/sqrt(3),x=1/sqrt(3)]

Ejercicio 2.5

Determinar los intervalos de crecimiento de <math>g</math>.

Solución:

h(x):=diff(g(x),x);
h(x);
wxplot2d([g(x),h(x)],[x,-10,10],[y,-10,10]);

Los intervales de crecimiento y decrecimiento están determinados por el signo de la derivada primera (gráfica roja). De esta forma dónde la derivada es positiva la función crece y dónde es negativa decrece. Como vemos en la gráfica la derivada primera siempre es positiva y la función (en azul) siempre es creciente.

Ejercicio 2.6

Calcular las ecuaciones reducidas de las asíntotas de <math>g</math>.

Solución:

Calculamos las asíntotas oblicuas ya que vimos que no existen horizontales (ejercicio 2.1) Asíntota por la derecha

m:limit(g(x)/x,x,inf);
n:limit(g(x)-m*x,x,inf);
y:m*x-n;

y=x;

Asíntota por la izquierda

m:limit(g(x)/x,x,-inf);
n:limit(g(x)-m*x,x,-inf);
y:m*x-n;

y=3x;

Ejercicio 3

Ejercicio 3.1

Desarrollar <math>cos(3t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

Solución:

(%i1) trigexpand(cos(3*t));
(%o1) cos(t)^3-3*cos(t)*sin(t)^2
(%i2) trigsimp(%);
(%o2) 4*cos(t)^3-3*cos(t)

Ejercicio 3.2

Desarrollar <math>cos(4t)</math> en función de <math>cos(t)</math>

Solución:

(%i3) trigexpand(cos(4*t));
(%o3) sin(t)^4-6*cos(t)^2*sin(t)^2+cos(t)^4
(%i4) trigsimp(%);
(%o4) 8*cos(t)^4-8*cos(t)^2+1

Ejercicio 3.3

Desarrollar <math>cos(5t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

Solución:

(%i5) trigexpand(cos(5*t));
(%o5) 5*cos(t)*sin(t)^4-10*cos(t)^3*sin(t)^2+cos(t)^5
(%i6) trigsimp(%);
(%o6) 16*cos(t)^5-20*cos(t)^3+5*cos(t)

Ejercicio 3.4

Determinar los polinomios <math>T_n</math> de la variable <math>x</math> tales que para todo <math>t \in \mathbb{R}</math>, <math>cos(nt) = T_n(cos\ t)</math> para <math>n \in \{3,4,5\}</math>.

Solución:

(%i12) T3(x) := 4*x^3-3*x;
(%o12) T3(x):=4*x^3-3*x
(%i13) T4(x) := 8*x^4-8*x^2+1;
(%o13) T4(x):=8*x^4-8*x^2+1
(%i14) T5(x) := 16*x^5-20*x^3+5*x;
(%o14) T5(x):=16*x^5-20*x^3+5*x

Ejercicio 3.5

Representar las funciones <math>T_3</math>, <math>T_4</math> y <math>T_5</math> en la misma gráfica.

Solución:

--> plot2d([T3(x),T4(x), T5(x)], [x,-1,1])$
(%i15) wxplot2d([T3(x),T4(x), T5(x)], [x,-1,1])$
(%t15)(sale el dibujo de la gráfica en Maxima)