Ejercicios 2: Funciones de una variable

Funciones a utilizar: if...then...else, assume, limit, forget, plot2d, diff, define, solve, trigexpand, trigsimp y subst.

Ejercicio 1

Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos números reales. Se considera la función <math>f</math> definida sobre los números reales por

<math>

f(x)=\left\{ \begin{array}{lll}

 \dfrac{e^x-1}{x}  &\mbox{si} & x>0\\
 a\,x+b           &\mbox{si} & x\leq 0

\end{array} \right. </math>

Ejercicio 1.1

Definir la función <math>f</math> usando el condicional if ... then ... else.

Solución:

Ejercicio 1.2

limit no puede evaluar expresiones del tipo if...then. Por ello, para determinar el límite de <math>f</math> en cero por la derecha se necesita precisar en qué intervalo se encuentra <math>x</math>. Esto puede hacerse con la función assume.

Escribir la expresión assume(x>0), después calcular el límite de <math>f</math> en cero por la derecha. Se puede eliminar la hipótesis sobre <math>x</math> con forget(x>0).

Solución:

Ejercicio 1.3

Deducir el valor de <math>b</math> para el que <math>f</math> es continua en <math>\mathbb{R}</math>.

Solución:

Ejercicio 1.4

Calcular la derivada de <math>f</math> en cero por la derecha.

Solución:

Ejercicio 1.5

Calcular el valor de <math>a</math> para el que <math>f</math> es derivable en cero.

Solución:

Ejercicio 2

Sea <math>g</math> la función real definida por <math>g(x) = 2x-\sqrt{1+x^2}</math>

(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$

Ejercicio 2.1

Calcular los límites de <math>g</math> en más y menos infinito.

Solución:

Ejercicio 2.2

Dibujar la gráfica de la función <math>g</math>.

Solución:

Ejercicio 2.3

Calcular <math>g'(x)</math>.

Solución:

Ejercicio 2.4

Resolver la ecuación <math>g(x)=0</math>.

Solución:

Ejercicio 2.5

Determinar los intervalos de crecimiento de <math>g</math>.

Solución:

Ejercicio 2.6

Calcular las ecuaciones reducidas de las asíntotas de <math>g</math>.

Solución:

Ejercicio 3

Ejercicio 3.1

Desarrollar <math>cos(3t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

Solución:

Ejercicio 3.2

Desarrollar <math>cos(4t)</math> en función de <math>cos(t)</math>

Solución:

Ejercicio 3.3

Desarrollar <math>cos(5t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

Solución:

Ejercicio 3.4

Determinar los polinomios <math>T_n</math> de la variable <math>x</math> tales que para todo <math>t \in \mathbb{R}</math>, <math>cos(nt) = T_n(cos\ t)</math> para <math>n \in \{3,4,5\}</math>.

Solución:

Ejercicio 3.5

Representar las funciones <math>T_3</math>, <math>T_4</math> y <math>T_5</math> en la misma gráfica.

Solución: