Diferencia entre revisiones de «Ejercicios de selectividad»

Revisión del 21:02 13 may 2010

Introducción

En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en

Ejercicios

Solución

Para calcular la recta r', proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>, basta tomar dos puntos de la recta r y calcular sus proyecciones sobre <math>\displaystyle\pi</math>.

Calculamos la proyección de A=(-1,0,0)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos P. La recta que pasa por A y es perpendicular al plano es:

<math>s=\left\{\begin{array}{cccc}

                   x= & -1 & + & 2a \\
                   y= &    & - & 3a \\
                   z= &    & & a
                   \end{array}\right.</math>

   (%i1) solve(2*(-1+2*a)-3*(-3*a)+a+1=0,a);
   (%o1) [a=1/14]
   (%i2) a:1/14$
   (%i3) P:[-1+2*a,-3*a,a];
   (%o3) [-6/7,-3/14,1/14]

Calculamos ahora la proyección de B=(-2,-1,2)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos Q. La recta que pasa por B y es perpendicular al plano es:

<math>t=\left\{\begin{array}{cccc}

                   x= & -2 & + & 2b \\
                   y= & -1 & - & 3b \\
                   z= &  2 & + & b
                   \end{array}\right.</math>

   (%i4) solve(2*(-2+2*b)-3*(-1-3*b)+2+b+1=0,b);
   (%o4) [b=-1/7]
   (%i5) b:-1/7$
   (%i6) Q:[-2+2*b,-1-3*b,2+b];
   (%o6) [-16/7,-4/7,13/7]

El vector director de la recta proyección r' sería:

   (%i7) PQ: [first(Q)-first(P),second(Q)-second(P),last(Q)-last(P)];
   (%o7) [-10/7,-5/14,25/14]

Por tanto la recta r' es:

<math>r'=\left\{\begin{array}{cccc}

                   x= & \displaystyle\frac{-6}{7} & + & \displaystyle\frac{-10}{7}u  \\
                   y= & \displaystyle\frac{-3}{14} & + & \displaystyle\frac{-5}{14}u  \\
                   z= & \displaystyle\frac{1}{14} & + & \displaystyle\frac{25}{14}u
                   \end{array}\right.</math>

@@ Línea 9: / Línea 9: @@
 * [[Ejercicio 2 de Selectividad]].
 * [[Ejercicio 3 de Selectividad]].
-== Ejercicio 3 ==
-=== Enunciado===
-Sean la recta r y el plano <math>\pi</math> dados por:
-: <math>r=\left\{\begin{array}{lll}
-                    x= & -1 & -\lambda \\
-                    y= &    & -\lambda \\
-                    z= &    & 2\lambda
-                    \end{array}\right.</math>
-: <math> \displaystyle\pi: 2x-3y+z+1=0  </math>
-=== Apartado a===
-Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano <math>\pi</math>.
-=== Solución===
-El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano cualesquiera, a partir del vector director de la recta y del vector normal del plano.
- (%i1) senoangulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],
-       prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),
-       modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),
-       modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),
-       float(dist:prodesc/(modv*modn)))$
-En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es (2,-3,1):
- (%i2) senoangulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);
- (%o2) 0.32732683535399
-=== Apartado b ===
-Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>.
 == Solución==

De Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11)

Revisión del 21:02 13 may 2010

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