Ejercicio sobre aplicaciones de las derivadas - Historial de revisiones

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* [[Ejercicio sobre integrales]].
Se considera la función real de variable real definida por: f(x)= x^3-3*x^2+4

a)Determínese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en su punto de inflexión.
b)Determínense los extremos relativos de f.

'''Solución:'''

a) Para calcular el punto de inflexión de la función f(x), debemos calcular su segunda derivada y estudiar los valores de x que la hacen cero.

(%i1) f(x):= x^3 - 3*x^2 + 4;

(%i2) diff(f(x), x, 2);
(%o2) 6 x - 6
(%i3) a:solve(6*x -6=0, x);
(%o3) [x = 1]

Ahora, comprobamos que ciertamente para x=1 existe un punto de inflexión mediante la tercera derivada. Al sustituir dicho punto en ella, el resultado debe ser distinto de cero.

(%i4) diff(f(x), x, 3);
(%o4) 6

* Ahora que ya conocemos el punto de inflexión de la función, vamos a calcular la recta tangente a ella en dicho punto. Dicha recta tangente viene dada por:
y=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)
Por lo tanto, nos queda calcular la primera derivada y sustituir:

(%i5) diff(f(x),x);
(%o5) 3x^2-6x

(%i6) a:f(1);
(%o6) 2

(%i7) f1(x):= 3*x^2-6*x;
(%i8) b:f1(1);
(%o8) - 3

*Por lo tanto, ahora sólo nos queda sustituir los valores:
y=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)
y= -3*(x-1)+ 2

y=-3x +5

b)Para calcular los extremos relativos de la función, resolvemos la primera derivada y estudiamos el signo de la segunda derivada una vez sustituidos los valores, de forma que:
Si f''(x_0)< 0, en x_0 tenemos un máximo.
Si f''(x_0)> 0, en x_0 tenemos un mínimo.

Si llamamos f1 a la primera derivada y f2 a la segunda:
(%i7) f1(x):= 3*x^2-6*x;
(%i9) solve(3*x^2-6*x=0,x);
(%o9) [x = 0, x = 2]

Sustituimos los valores anteriores en la segunda derivada:

(%i10) f2(x):=6* x - 6;
(%i11) f2(0);
(%o11) - 6
(%i12) f2(2);
(%o12) 6

Por lo tanto, para x=0 tenemos un máximo y para x=2 tenemos un minimo relativo.

@@ Línea 29: / Línea 29: @@
 * Ahora que ya conocemos el punto de inflexión de la función, vamos a calcular la recta tangente a ella en dicho punto. Dicha recta tangente viene dada por:
 y=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)
 Por lo tanto, nos queda calcular la primera derivada y sustituir:

@@ Línea 13: / Línea 13: @@
 (%i2) diff(f(x), x, 2);
 (%o2) 6 x - 6
 (%i3) a:solve(6*x -6=0, x);
 (%o3) [x = 1]
 Ahora, comprobamos que ciertamente para x=1 existe un punto de inflexión mediante la tercera derivada. Al sustituir dicho punto en ella, el resultado debe ser distinto de cero.
 (%i4) diff(f(x), x, 3);
 (%o4) 6
@@ Línea 27: / Línea 32: @@
 (%i5) diff(f(x),x);
 (%o5) 3x^2-6x
 (%i6) a:f(1);
 (%o6) 2
 (%i7) f1(x):= 3*x^2-6*x;
 (%i8) b:f1(1);
 (%o8) - 3
 *Por lo tanto, ahora sólo nos queda sustituir los valores:
 y=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)
 y= -3*(x-1)+ 2
 y=-3x +5
@@ Línea 44: / Línea 57: @@
 b)Para calcular los extremos relativos de la función, resolvemos la primera derivada y estudiamos el signo de la segunda derivada una vez sustituidos los valores, de forma que:
-Si f''(x_0)< 0, en x_0 tenemos un máximo.
+* Si f''(x_0)< 0, en x_0 tenemos un máximo.
-Si f''(x_0)> 0, en x_0 tenemos un mínimo.
+* Si f''(x_0)> 0, en x_0 tenemos un mínimo.
 Si llamamos f1 a la primera derivada y f2 a la segunda:
 (%i7) f1(x):= 3*x^2-6*x;
 (%i9) solve(3*x^2-6*x=0,x);
 (%o9) [x = 0, x = 2]
@@ Línea 55: / Línea 71: @@
 (%i10) f2(x):=6* x - 6;
 (%i11) f2(0);
 (%o11) - 6
 (%i12) f2(2);
 (%o12) 6
 Por lo tanto, para x=0 tenemos un máximo y para x=2 tenemos un minimo relativo.

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