Ver el código de «Estudio de una función definida a trozos» - Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11)

 '''Enunciado: '''

 Dada la función f(x) =(1/(1+x^2) si x<=1 y 1+lnx si x>1)
 1. Estudiar su dominio, puntos de corte y asíntotas.
 2. Analizar su continuidad y su derivabilidad, calcular su función derivada primera.
 3. Determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como sus máximos
    y mínimos relativos.
 4. Representar su gráfica.

 '''Solución: '''
 Dominio, puntos de corte, asíntotas
 ( %i1) g(x):=1/(1+x^2);
 ( %i2) h(x):=1+log(x);
 El dominio de g es todo R 
 ( %i3) solve(1+x^2=0);
 ( %i4) solve(1+x^2=0);
 ( %i5) is(1+x^2>0);
 
 Para estudiar los puntos de corte con el eje de las abscisas,
 ( %i7) solve(g(x)=0,x);
 ( %i8) solve(h(x)=0,x);
 El único punto de corte es x = 1

 Puntos de corte con el eje vertical, cuando x = 0,
 ( %i9) g(0);

 Asintotas verticales, horizontales y oblicuas
 ( %i10) limit(h(x),x,0,plus);
 ( %i11) limit(g(x),x,minf);
 ( %i12) limit(h(x),x,inf);
 f(x) no tiene ninguna asíntota vertical y tiene una asíntota horizontal (la
 recta y = 0) cuando x tiende a menos infito.

 Continuidad, derivabilidad
 Las funciones g(x) y h(x) son continuas dentro de sus respectivos dominios, por
 lo tanto f es continua salvo, eventualmente, en x = 1, el punto que divide las regiones
 donde f toma los valores de g y de h. Pero los límites laterales de f en este
 punto son distintos, pues
 ( %i13) limit(g(x),x,1,minus);
 ( %i14) limit(h(x),x,1,plus);
 f no es continua en x = 1 (tendrá una discontinuidad de salto).
 Además, f no es derivable en x = 1 (por no ser continua) pero sí en el resto de
 R (pues tanto g como h lo son para valores de x que estén dentro de sus respectivos
 dominios). Puesto que
 ( %i15) diff(g(x),x);
 ( %i16) diff(h(x),x);

 Crecimiento, extremos relativos
 ( %i22) assume(x>1);
 ( %i23) is(1/x>0);
 f es decreciente en el intervalo 1, más infinito y en el resto es creciente.

 Para hallar máximos y mínimos relativos, calculemos los puntos críticos de f:
 ( %i24) solve( diff(g(x),x)=0, x);
 ( %i25) solve( diff(h(x),x)=0, x);
 Tiene punto crítico en x=0, para ver si es un mínimo o un máximo estudiamos el signo de la segunda derivada.
 ( %i26) diff(g(x),x,2);
 ( %i27) %,x=0;
 f tiene un máximo relativo en x = 0.

 Representación:
 ( %i33) f(x):= if(x<1) then g(x) else h(x);
 ( %i34) plot2d(f(x),[x,-5,5]);
 ( %i35) plot2d(’(f(x)),[x,-5,5], [gnuplot_preamble, "set zeroaxis"],
 [gnuplot_term, ps], [gnuplot_out_file, "grafica.eps"]);