Ver el código de «Ejercicio sobre continuidad de funciones» - Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11)

'''Estudiar la continuidad de la función: f(x)=(x^2)/(x-1) en el punto de abcisas x=1.'''

*******

'''Solución:'''

1. Comprobamos si existe la función en el punto x=1. Para ello sustituimos el valor en la función:

(%i1) f(x):= (x^2-x)/(x-1);
                                         2
                                        x  - x
(%o1)                           f(x) := ------
                                        x - 1
(%i2) f(1);
expt: undefined: 0 to a negative exponent.
#0: f(x=1)
 -- an error. To debug this try: debugmode(true);


Vemos que el programa nos advierte de que la funciónno está definida para dicho punto, por lo tanto, el dominio de dicha función es todo R excepto 1.

2. Ahora comprobamos si existe el límite de la función en x=1.

(%i3) limit((x^2)/(x-1), x, 1);
(%o3)                              infinity

El líminte es infinito, por lo que es una discontinuidad evitable. Hacemos lo siguiente:

(%i4) limit(x(x-1)/(x-1), x, 1);
                                       x(x - 1)
(%o4)                           limit  --------
                                x -> 1  x - 1
(%i5) limit(x, x, 1);
(%o5)                                  1

El límite es igual a 1.

Como conclusión tenemos que la función tiene una discontinuidad evitable en x=1, es decir, la función no tiene imágen en x=1 pero si tiene límite.