Ver el código de «Ejercicios 6: Matrices con Maxima» - Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11)

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la matriz 

<math>
M_k =
\left(
 \begin{array}{ccc}
   2 & -1 & 1 \\
  -1 & k  & 1 \\
   1 & 1  & 2
 \end{array}
\right)
</math>

para <math>k \in \mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
 Mk:matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2]);

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el determinante de M(k).

'''Solución:'''
 determinant(Mk);

=== Ejercicio 1.3. ===
Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.

'''Solución:'''
Los valores que harán invertible a la matriz serán todos aquellos para los cuales |A| sea distinto de 0. Mediante Maxima podemos determinar qué valores anulan el determinante:
 solve(determinant(Mk)=0);
Esa operación nos dice que el determinante es 0 para k = 2, por tanto, para todo k distinto de 2, la matriz será invertible.

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular la inversa de M(k).

'''Solución:'''
 invert(Mk);

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular los autovalores de M(k).

'''Solución:'''
En primer lugar hallaremos el polinomio característico de la matriz, es decir, el polinomio resultante de |A-xI|
 charpoly(Mk,x);
Los autovalores serán las raíces de ese polinomio:
 solve(%=0,x);
Aparece el autovalor 3 y otros dos autovalores que dependen del parámetro k.

=== Ejercicio 1.6. ===
Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples.
M(k) tendrá autovalores múltiples cuando los dos autovalores dependientes de k coincidan. Si igualamos las dos primeras componentes del resultado anterior (los dos autovalores dependientes de k), despejaremos el valor de k que hace doble el autovalor. 
 solve(%[1]=%[2],k);
Como la ecuación en k es de 2º grado, no tendremos un valor solución, sino dos. Según Maxima, esos valores son (1 + i * 2 * sqrt(2)) y (1 - i * 2 * sqrt(2)).

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden k+1 cuyo término general es

<math>
a_{i,j} = 
 \left\{
  \begin{array}{cl}
   \binom{j-1}{i-1}, & \mbox{si } i \leq j \\
   0,                & \mbox{si } i > j
  \end{array}
 \right.
</math>

'''Solución:'''
 (%i1) a[i,j] := if i <= j then binomial (j-1,i-1) else 0$
       A(n) := genmatrix (a,n+1,n+1);
 (%i2) 
 (%o2) A(n):=genmatrix(a,n+1,n+1)

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''
 (%i3) A(1);
 (%o3) matrix([1,1],[0,1])
 \[\begin{pmatrix}1 & 1\cr 0 & 1\end{pmatrix}\]

 (%i4) A(2);
 (%o4) matrix([1,1,1],[0,1,2],[0,0,1])
 \[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\cr 0 & 1 & 2\cr 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

 (%i5) A(5);
 (%o5) matrix([1,1,1,1,1,1],[0,1,2,3,4,5],[0,0,1,3,6,10],[0,0,0,1,4,10],[0,0,0,0,1,5],[0,0,0,0,0,1])
 \[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\cr 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\cr 0 & 0 & 1 & 3 & 6 & 10\cr 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 10\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 5\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

 invert(A(1));
 invert(A(2));
 invert(A(5));

Comprobamos:
 A(1).invert(A(1));
 A(2).invert(A(2));
 A(5).invert(A(5));

=== Ejercicio 2.4. ===
Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.5. ===
Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por

<math>
\left(
 \begin{array}{cc}
    1 & -5 \\
   -5 &  3
 \end{array}
\right)
</math>

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir la matriz A definida por

<math>
\left(
 \begin{array}{cc}
    1 & -5 \\
   -5 &  3
 \end{array}
\right)
</math>

'''Solución:'''
 (%i1) A:matrix([1,-5],[-5,3])$

=== Ejercicio 3.2. ===
Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.

'''Solución:'''
 (%i2) X:matrix([a,b],[c,d])$

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular M = AX − XA

'''Solución:'''
 (%i3) M:A.X-X.A;
 (%o3) matrix([5*b-5*c,-5*d-2*b+5*a],[5*d+2*c-5*a,5*c-5*b])

=== Ejercicio 3.4. ===
Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.

Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.

'''Solución:'''
 (%i4) S:[5*b-5*c=0,-5*d-2*b+5*a=0,5*d+2*c-5*a=0,5*c-5*b=0]$
 (%i5) globalsolve:true$
 (%i6) solve(S,[a,b,c,d]);
 solve: dependent equations eliminated: (4 3)
 (%o6) [a:(2*%r2+5*%r1)/5,b:%r2,c:%r2,d:%r1]

=== Ejercicio 3.5. ===
Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0

'''Solución:'''
 (%i7) B:matrix([(2*%r2+5*%r1)/5,%r2],[%r2,%r1]);

=== Ejercicio 3.6. ===
Comprobar que A y B conmutan.

'''Solución:'''
 (%i10) is(A.B=B.A);
 (%o10) true