Ver el código de «Ejercicios 4: Sucesiones y recursión» - Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11)

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
La sucesión de Fibonacci está definida como 

<math>
f(n) =
\left\{
 \begin{array}{ll}
   0,             & \mbox{si } n=0, \\
   1,             & \mbox{si } n=1, \\ 
   f(n-1)+f(n-2), & \mbox{si }n>1
 \end{array}
\right.
</math>

Definir f[n] como la sucesión de Fibonacci. 

'''Solución:'''
 (%i1) f[0] : 0$
 (%i2) f[1] : 1$
 (%i3) f[n] : f[n-1]+f[n-2]$

=== Ejercicio 1.2. ===
Definir la lista l1 cuyos elementos son los 20 primeros términos de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
 (%i4) l1: makelist ([n,f[n]],n,0,20);
 (%o4) [[0,0],[1,1],[2,f[2]],[3,f[3]],[4,f[4]],[5,f[5]],[6,f[6]],[7,f[7]],[8,f[8]],[9,f[9]],
 [10,f[10]],[11,f[11]],[12,f[12]],[13,f[13]],[14,f[14]],[15,f[15]],[16,f[16]],[17,f[17]],
 [18,f[18]],[19,f[19]],[20,f[20]]]

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el término que ocupa la posición 20 en la sucesión de Fibonacci. 

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.5. ===
Definir la sucesión g, que calcule el término n-ésimo de  la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b. Usando la función g, calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Comprobar si se puede  obtener el término 800 de la sucesión de Fibonacci mediante alguna de las dos funciones f ó g.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir s[n] como la suma de los n primeros términos de la sucesión (-1)^(k+1)/k!

'''Solución:'''
sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n);

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular los valores exactos de s[1], s[2], s[5] y s[9].

'''Solución:'''
s[1];
s[2];
s[5];
s[9];

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular los valores decimales aproximados de s[20] y s[50].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Cargar el paquete simplify_sum y calcular la suma de la serie s[n].

'''Solución:'''
load(simplify_sum)$
'sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n)=simplify_sum(sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n));

== Ejercicio 3 ==

Un banco presta un capital K al t por ciento aunual, que se reembolsa en N años, con anualidades x constante. Sea c[0]=K y sea c[n] el capital pendiente de pagar después de la n-ésima anualidad. Entonces, 
: c[n+1] = (1+t)*c[n]-x

=== Ejercicio 3.1. ===
Expresar c[n] de manera explícita en función de n, K, t y x.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.2. ===
Se sabe que c[N]=0. Deducir el valor de x en función de K, t y N.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular el importe de una anualidad, cuando K = 100000, t = 5,5% y  N = 15.

'''Solución:'''

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función f(x) = x/(3-2x).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.2. ===
Definir la sucesión u[n] tal que <math>u_0 = 2</math> y <math>u_{n+1} = f(u_n)</math>. 

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.3. ===
Calcular u[1], u[2] y u[9].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.4. ===
Dibujar, en la misma gráfica, la función f, la recta de ecuación y=x y los puntos de coordenada (u[k],f(u[k])) para 0<=k<=15.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.5. ===
Conjeturar la monotonía de la sucesión u[n] y su limite.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.6. ===
Resolver la ecuación f(x)=x. Llamar a las raices a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.7. ===
Definir la sucesión w[n] = (u[n]-a)/(u[n]-b)

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.8. ===
Calcular los 10 primeros términos de la sucesión w[n].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.9. ===
Comprobar que w[n] es una progresión geométrica y calcular su razón.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.10. ===
Deducir la expresión de u[n] en función de n.

'''Solución:'''