Ver el código de «Ejercicios 2: Funciones de una variable» - Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11)

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'''Funciones a utilizar:''' ''if...then...else'', ''assume'', ''limit'', ''forget'',  ''plot2d'', ''diff'', ''define'', ''solve'', ''trigexpand'', ''trigsimp'' y ''subst''.

[[Archivo:Ej_seno.png]]

== Ejercicio 1 ==
Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos números reales. Se considera la función <math>f</math> definida sobre los números reales por
:<math>
f(x)=\left\{
\begin{array}{lll}
  \dfrac{e^x-1}{x}  &\mbox{si} & x>0\\
  a\,x+b           &\mbox{si} & x\leq 0
\end{array}
\right.
</math>

=== Ejercicio 1.1 === 
Definir la función <math>f</math> usando el condicional ''if ... then ... else''.

'''Solución:'''
 (%i1)d(x):=if x>0 then (e^x-1)/x else ax+b;

== Ejercicio 1.2 == 
''limit'' no puede evaluar expresiones del tipo ''if...then''. Por ello, para determinar el límite de <math>f</math> en cero por la derecha se necesita precisar en qué intervalo se encuentra <math>x</math>. Esto puede hacerse con la función ''assume''.

Escribir la expresión ''assume(x>0)'', después calcular el límite de <math>f</math> en cero por la derecha. Se puede eliminar la hipótesis sobre <math>x</math> con ''forget(x>0)''.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.3 === 
Deducir el valor de <math>b</math> para el que <math>f</math> es continua en <math>\mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
f(x) se trata de una función a trozos tal que:<br/>
1. Para x > 0, f(x) es un cociente entre funciones continuas en R, por tanto, podrá presentar problemas de discontinuidad en los puntos en los que su denominador se anula, eso sólo ocurre para x=0, pero en ese punto, f(x) presenta otro comportamiento.<br/>
2. Para x<= 0, f(x) es una función lineal, y por tanto, continua en todo R.<br/>
Por consiguiente, el único punto en el que la función a trozos puede presentar problemas es donde cambia de criterio, en x = 0.
Para que f(x) sea continua en x = 0, deben ser iguales los límites laterales de la función en dicho punto:
 solve(limit((exp(x)-1)/x,x,0)=limit(a*x+b,x,0));
Devolviéndonos que b = 1.

=== Ejercicio 1.4 === 
Calcular la derivada de <math>f</math> en cero por la derecha.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.5 === 
Calcular el valor de <math>a</math> para el que <math>f</math> es derivable en cero.

'''Solución:''' 

== Ejercicio 2 ==
Sea <math>g</math> la función real definida por <math>g(x) = 2x-\sqrt{1+x^2}</math>
 (%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$

=== Ejercicio 2.1 === 
Calcular los límites de <math>g</math> en más y menos infinito.

'''Solución:'''
 (%01) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
 (%02) limit(g(x),x,inf);
 (%02) inf
 (%03) limit(g(x),x,-inf);
 (%03) -inf

<math> inf, -inf</math>

=== Ejercicio 2.2 === 
Dibujar la gráfica de la función <math>g</math>.

'''Solución:'''
 (%o4) wxplot2d(g(x), [x,-2,2],[y,-3,3]);[gnuplot_preamble, "set grid "])$
 plot2d: some values were clipped.
 (%t05)  << Graphics >> 
No sale la gráfica.

=== Ejercicio 2.3 === 
Calcular <math>g'(x)</math>.
 
'''Solución:'''
 (%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2);
 (%i2)diff(g(x),x);
 (%02)2-x/sqrt(x^2+1);

=== Ejercicio 2.4 ===
Resolver la ecuación <math>g(x)=0</math>.

'''Solución:'''
 (%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2);
 (%i2) g(0);
 (%02) -1

=== Ejercicio 2.5 === 
Determinar los intervalos de crecimiento de <math>g</math>.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.6 === 
Calcular las ecuaciones reducidas de las asíntotas de <math>g</math>.
 
'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
=== Ejercicio 3.1 === 
Desarrollar <math>cos(3t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

'''Solución:'''

 (%i1) trigexpand(cos(3*t));
 (%o1) cos(t)^3-3*cos(t)*sin(t)^2
 (%i2) trigsimp(%);
 (%o2) 4*cos(t)^3-3*cos(t)

=== Ejercicio 3.2 === 
Desarrollar <math>cos(4t)</math> en función de <math>cos(t)</math>

'''Solución:'''

 (%i3) trigexpand(cos(4*t));
 (%o3) sin(t)^4-6*cos(t)^2*sin(t)^2+cos(t)^4
 (%i4) trigsimp(%);
 (%o4) 8*cos(t)^4-8*cos(t)^2+1

=== Ejercicio 3.3 === 
Desarrollar <math>cos(5t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

'''Solución:'''

 (%i5) trigexpand(cos(5*t));
 (%o5) 5*cos(t)*sin(t)^4-10*cos(t)^3*sin(t)^2+cos(t)^5
 (%i6) trigsimp(%);
 (%o6) 16*cos(t)^5-20*cos(t)^3+5*cos(t)

=== Ejercicio 3.4 === 
Determinar los polinomios <math>T_n</math> de la variable <math>x</math> tales que para todo <math>t \in \mathbb{R}</math>, <math>cos(nt) = T_n(cos\ t)</math> para <math>n \in \{3,4,5\}</math>.

'''Solución:'''
 (%i12) T3(x) := 4*x^3-3*x;
 (%o12) T3(x):=4*x^3-3*x
 (%i13) T4(x) := 8*x^4-8*x^2+1;
 (%o13) T4(x):=8*x^4-8*x^2+1
 (%i14) T5(x) := 16*x^5-20*x^3+5*x;
 (%o14) T5(x):=16*x^5-20*x^3+5*x

=== Ejercicio 3.5 === 
Representar las funciones <math>T_3</math>, <math>T_4</math> y <math>T_5</math> en la misma gráfica.

'''Solución:'''
 --> plot2d([T3(x),T4(x), T5(x)], [x,-1,1])$
 (%i15) wxplot2d([T3(x),T4(x), T5(x)], [x,-1,1])$
 (%t15)(sale el dibujo de la gráfica en Maxima)
[[Archivo:imagen ejercicio 3.5.jpg]]