Ver el código de «2010 Ejercicios 6: Matrices con Maxima» - Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11)

== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la matriz 
          [ 2 -1 1]
   M(k) = [-1  k 1]
          [ 1  1 2]
para k en R.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el determinante de M(k).

'''Solución:'''
 (%i1)determinant(M);
 (%o1)2*(2*k-1)-k-4

=== Ejercicio 1.3. ===
Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.

'''Solución:'''
 M(k) es invertible si el determinante es distinto de cero.
 (%i2)solve(2*(2*k-1)-k-4=0);
 (%o2)[k=2]
 M(k) es invertible si k es diferente de 2.

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular la inversa de M(k).

'''Solución:'''
 (%i3)invert(M);
 (%03)matrix([(2*k-1)/(2*(2*k-1)-k-4),3/(2*(2*k-1)-k-4),(-k-1)/(2*(2*k-1)-k-4)],
             [3/(2*(2*k-1)-k-4),3/(2*(2*k-1)-k-4),-3/(2*(2*k-1)-k-4)],
             [(-k-1)/(2*(2*k-1)-k-4),-3/(2*(2*k-1)-k-4),(2*k-1)/(2*(2*k-1)-k-4)])

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular los autovalores de M(k).

'''Solución:'''
 (%i4)charpoly(M,x);
 (%o4)2*x+((2-x)*(k-x)-1)*(2-x)-k-4
 (%i5)expand(%);
 (%o5)-x^3+k*x^2+4*x^2-4*k*x-x+3*k-6
 (%i6)solve(%=0,x);
 (%o6)[x=-(sqrt(k^2-2*k+9)-k-1)/2,x=(sqrt(k^2-2*k+9)+k+1)/2,x=3]

=== Ejercicio 1.6. ===
Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples.

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular  superior de orden n+1 cuyo término general es
   a(i,j) = binomial(j-1,i-1), si i <= j
          = 0,                 si i >  j

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.5. ===
Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por
   [ 1 -5]
   [-5  3]

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir la matriz A efinida por
   [ 1 -5]
   [-5  3]

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.2. ===
Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular M = AX − XA

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.4. ===
Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.

Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.5. ===
Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.6. ===
Comprobar que A y B conmutan.

'''Solución:'''