Ver el código de «2010 Ejercicios 5: Programación» - Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11)

== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la función tangente tal que tangente(f,a) es la ecuación de la tangente a la función f en el punto de abscisa a. Por ejemplo,
   (%i1) (f(x):=x^3, tangente(f,2));
   (%o1) y=12*(x-2)+8

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular la tangente a f(x)=ln(tan(|x|) en el punto de abscisa -pi/12.

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir el procedimiento signosTrinomio tal que signosTrinomio(a,b,c) es la tabla de la variación de los signos del trinomio ax^2+bx+c. Por ejemplo,
   (%i1) signosTrinomio(1,-2,1);
   (%o1) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,inf],+]]
   (%i2) signosTrinomio(-1,2,-1);
   (%o2) [[[-inf,1],-],[1,0],[[1,inf],-]]
   (%i3) signosTrinomio(1,-3,2);
   (%o3) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,2],-],[2,0],[[2,inf],+]]
   (%i4) signosTrinomio(-1,3,-2);
   (%o4) [[[-inf,2],-],[2,0],[[2,1],+],[1,0],[[1,inf],-]]
   (%i5) signosTrinomio(1,0,1);
   (%o5) [[[-inf,inf],+]]
   (%i6) signosTrinomio(-1,0,-1);
   (%o6) [[[-inf,inf],-]]
Se supone que a es distinto de cero.

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular la tabla de la variación de los signos del trinomio -6x^2-3x+14/3

== Ejercicio 3 ==

Se lanza un dado cúbico equilibrado hasta que se obtiene la cara 6 por primera vez. Se designa por X la variable aleatorio que cuenta el número de lanzamientos efectuados. Se dice que X es el tiempo de espera del primer 6.

=== Ejercicio 3.1. ===
Definir el procedimiento X() que simule una serie de lanzamientos del dado y devuelva el número de lanzamientos realizados para obtener el 6 por 
primera vez.

=== Ejercicio 3.2. ===
Con la ayuda del bucle for, definir el procedimiento simulacion(n) que simule una serie de n lanzamientos y devuelva la lista de frecuencia de los eventos [X=i] para 1 <= i <= 60. Por ejemplo,
   (%i1) simulacion(1000);
   (%o1) [0,145,115,104,88,61,65,53,51,50,40,28,30,29,27,13,21,18,10,6,8,4,9,3,
          5,1,2,4,3,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,
          0,0,0]

=== Ejercicio 3.3. ===
Definir la función media tal que media(n) es el valor medio de X en n lanzamientos. Calcular tres veces media(1000).

== Ejercicio 4 ==

La conjetura de Goldbach afirma que todo número natural par mayor que 3 se puede escribir como la suma de dos números primos. Por ejemplo,
: 4 = 2 + 2, 20 = 3 + 17, 50 = 3 + 47

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función goldbach tal que goldbach(n) es una descomposición de n como suma de dos números primos. Por ejemplo,
   (%i1) goldbach(20);
   (%o1) [3,17]
Indicación: Iterar los primos desde x=2 hasta n/1 hasta que n-x sea primo.

=== Ejercicio 4.2. ===
Descomponer 2010 como suma de dos primos.

=== Ejercicio 4.3. ===
Definir la función goldbachTodas tal que goldbachTodas(n) es la lista de todas las descomposiciones de n como suma de dos números primos x e y con x<=y. Por ejemplo,
   (%i1) goldbachTodas(20);
   (%o1) [[7,13],[3,17]]

  (%i1)goldbachTodas(n):=block([lista,k],
   lista : [],
   for k from 2 thru n do
      (if primep(k) and primep(n-k) then
                                        (if member([n-k,k],lista) then lista
                                        else lista : cons([k,n-k],lista))),
   reverse(lista))$

   %Otra forma
   (%i1)goldbachTodas(n):=block([lista,k],
   lista : [],
   for k from 2 thru n do
      (if primep(k) and primep(n-k) then
                                        (if k>=n-k then lista
                                        else lista : cons([k,n-k],lista))),
   reverse(lista))$

=== Ejercicio 4.4. ===
Calcular el número de descomposiciones de 2010 como suma de dos primos.
 
  (%i1)goldbachTodas(20);
  (%01)[[3,17],[7,13]]