Enunciado:
Dada la función f(x) =(1/(1+x^2) si x<=1 y 1+lnx si x>1)
1. Estudiar su dominio, puntos de corte y asíntotas.
2. Analizar su continuidad y su derivabilidad, calcular su función derivada primera.
3. Determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como sus máximos
y mínimos relativos.
4. Representar su gráfica.
Solución:
Dominio, puntos de corte, asíntotas
( %i1) g(x):=1/(1+x^2);
( %i2) h(x):=1+log(x);
El dominio de g es todo R
( %i3) solve(1+x^2=0);
( %i4) solve(1+x^2=0);
( %i5) is(1+x^2>0);
Para estudiar los puntos de corte con el eje de las abscisas,
( %i7) solve(g(x)=0,x);
( %i8) solve(h(x)=0,x);
El único punto de corte es x = 1
Puntos de corte con el eje vertical, cuando x = 0,
( %i9) g(0);
Asintotas verticales, horizontales y oblicuas
( %i10) limit(h(x),x,0,plus);
( %i11) limit(g(x),x,minf);
( %i12) limit(h(x),x,inf);
f(x) no tiene ninguna asíntota vertical y tiene una asíntota horizontal (la
recta y = 0) cuando x tiende a menos infito.
Continuidad, derivabilidad
Las funciones g(x) y h(x) son continuas dentro de sus respectivos dominios, por
lo tanto f es continua salvo, eventualmente, en x = 1, el punto que divide las regiones
donde f toma los valores de g y de h. Pero los límites laterales de f en este
punto son distintos, pues
( %i13) limit(g(x),x,1,minus);
( %i14) limit(h(x),x,1,plus);
f no es continua en x = 1 (tendrá una discontinuidad de salto).
Además, f no es derivable en x = 1 (por no ser continua) pero sí en el resto de
R (pues tanto g como h lo son para valores de x que estén dentro de sus respectivos
dominios). Puesto que
( %i15) diff(g(x),x);
( %i16) diff(h(x),x);
Crecimiento, extremos relativos
( %i22) assume(x>1);
( %i23) is(1/x>0);
f es decreciente en el intervalo 1, más infinito y en el resto es creciente.
Para hallar máximos y mínimos relativos, calculemos los puntos críticos de f:
( %i24) solve( diff(g(x),x)=0, x);
( %i25) solve( diff(h(x),x)=0, x);
Tiene punto crítico en x=0, para ver si es un mínimo o un máximo estudiamos el signo de la segunda derivada.
( %i26) diff(g(x),x,2);
( %i27) %,x=0;
f tiene un máximo relativo en x = 0.
Representación:
( %i33) f(x):= if(x<1) then g(x) else h(x);
( %i34) plot2d(f(x),[x,-5,5]);
( %i35) plot2d(’(f(x)),[x,-5,5], [gnuplot_preamble, "set zeroaxis"],
[gnuplot_term, ps], [gnuplot_out_file, "grafica.eps"]);
