Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11) - Contribuciones del usuario [es]

Ejercicios de selectividad

2010-05-06T13:48:46Z

Rosdomrui: /* Solución */

En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Enunciado==

Se consideran las matrices A y B (dadas a continuación), donde t es un número real.

a) Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?
(X,C dadas a continuación).

(%i1) A: matrix(
[1,2,t],
[1,-1,-1]
);

(%o1) matrix([1,2,t],[1,-1,-1])
(%i2) B: matrix(
[1,3],
[t,0],
[0,2]
);

(%o2) matrix([1,3],[t,0],[0,2])

(%i3) X: matrix(
[x],
[y],
[z]
);
(%o3) matrix([x],[y],[z])

(%i4) C: matrix(
[a],
[b]
);
(%o4) matrix([a],[b])

== Solución==

a)Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

Para que una matriz sea invertible su derteminante tiene que ser distinto
de 0.
A continuación calcularemos el producto AB.

(%i5) A.B;

(%o5) matrix([2*t+1,2*t+3],[1-t,1])

(%i6) determinant(%);

(%o6) -(1-t)*(2*t+3)+2*t+1

(%i7)ratsimp(%);

(%o7) 2*t^2+3*t-2

Para los valores de t que se anule el determinate de AB, la matriz no será
invertible.

(%i8) solve([2*t^2+3*t-2], [t]);

(%o8) [t=-2,t=1/2]

Luego si t es distinto de -2 o 1/2 la matriz es ivertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

(%i9) B.A;

(%o9) matrix([4,-1,t-3],[t,2*t,t^2],[2,-2,-2])

(%i10) determinant(%);

(%o10) 4*(2*t^2-4*t)-2*t^2-6*(t-3)*t-2*t

(%i11) ratsimp(%);

(%o11) 0

La matriz BA no es invertible pues el determinante se anula para todo valor de t.
c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?.

Para que el sistema sea compatible el rango de A debe ser 3, igual al número de
incógnitas, lo que es claramente imposible pues A es una matriz de 2x3 y por lo
tanto su rango no puede ser mayor que 2.

Ejercicios de selectividad

2010-05-06T13:40:54Z

Rosdomrui: /* Ejercicio */

En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Enunciado==

Se consideran las matrices A y B (dadas a continuación), donde t es un número real.

a) Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?
(X,C dadas a continuación).

(%i1) A: matrix(
[1,2,t],
[1,-1,-1]
);

(%o1) matrix([1,2,t],[1,-1,-1])
(%i2) B: matrix(
[1,3],
[t,0],
[0,2]
);

(%o2) matrix([1,3],[t,0],[0,2])

(%i3) X: matrix(
[x],
[y],
[z]
);
(%o3) matrix([x],[y],[z])

(%i4) C: matrix(
[a],
[b]
);
(%o4) matrix([a],[b])

== Solución==

a)Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

Para que una matriz sea invertible su derteminante tiene que ser distinto
de 0.
A continuación calcularemos el producto AB.

(%i5) A.B;

(%o5) matrix([2*t+1,2*t+3],[1-t,1])

(%i6) determinant(%);

(%o6) -(1-t)*(2*t+3)+2*t+1

(%i7)ratsimp(%);

(%o7) 2*t^2+3*t-2

Para los valores de t que se anule el determinate de AB, la matriz no será
invertible.

(%i8) solve([2*t^2+3*t-2], [t]);

(%o8) [t=-2,t=1/2]

Luego si t es distinto de -2 o 1/2 la matriz es ivertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

(%i9) B.A;

(%o9) matrix([4,-1,t-3],[t,2*t,t^2],[2,-2,-2])

(%i10) determinant(%);

(%o10) 4*(2*t^2-4*t)-2*t^2-6*(t-3)*t-2*t

(%i11) ratsimp(%);

(%o11) 0

La matriz BA no es invertible pues el determinante se anula para todo valor de t.
c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?
(X,C dadas a continuación).

Para que el sistema sea compatible el rango de A debe ser 3, igual al número de
incógnitas, lo que es claramente imposible pues A es una matriz de 2x3 y por lo
tanto su rango no puede ser mayor que 2.

Ejercicios de selectividad

2010-05-06T13:34:38Z

Rosdomrui:

En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Ejercicio==
#[[Producto e invertibilidad de matrices]]

Se consideran las matrices A y B (dadas a continuación), donde t es un número real.

a) Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?
(X,C dadas a continuación).

(%i1) A: matrix(
[1,2,t],
[1,-1,-1]
);

(%o1) matrix([1,2,t],[1,-1,-1])
(%i2) B: matrix(
[1,3],
[t,0],
[0,2]
);

(%o2) matrix([1,3],[t,0],[0,2])

(%i3) X: matrix(
[x],
[y],
[z]
);
(%o3) matrix([x],[y],[z])

(%i4) C: matrix(
[a],
[b]
);
(%o4) matrix([a],[b])

== Solución==

a)Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

Para que una matriz sea invertible su derteminante tiene que ser distinto
de 0.
A continuación calcularemos el producto AB.

(%i5) A.B;

(%o5) matrix([2*t+1,2*t+3],[1-t,1])

(%i6) determinant(%);

(%o6) -(1-t)*(2*t+3)+2*t+1

(%i7)ratsimp(%);

(%o7) 2*t^2+3*t-2

Para los valores de t que se anule el determinate de AB, la matriz no será
invertible.

(%i8) solve([2*t^2+3*t-2], [t]);

(%o8) [t=-2,t=1/2]

Luego si t es distinto de -2 o 1/2 la matriz es ivertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

(%i9) B.A;

(%o9) matrix([4,-1,t-3],[t,2*t,t^2],[2,-2,-2])

(%i10) determinant(%);

(%o10) 4*(2*t^2-4*t)-2*t^2-6*(t-3)*t-2*t

(%i11) ratsimp(%);

(%o11) 0

La matriz BA no es invertible pues el determinante se anula para todo valor de t.
c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?
(X,C dadas a continuación).

Para que el sistema sea compatible el rango de A debe ser 3, igual al número de
incógnitas, lo que es claramente imposible pues A es una matriz de 2x3 y por lo
tanto su rango no puede ser mayor que 2.

Ejercicios de selectividad

2010-05-06T13:33:04Z

Rosdomrui:

En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Ejercicio==
#[[Producto e invertibilidad de matrices]]

Se consideran las matrices A y B (dadas a continuación), donde t es un número real.

a) Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?
(X,C dadas a continuación).
(%i1) A: matrix(
[1,2,t],
[1,-1,-1]
);
(%o1) matrix([1,2,t],[1,-1,-1])
(%i2) B: matrix(
[1,3],
[t,0],
[0,2]
);
(%o2) matrix([1,3],[t,0],[0,2])

(%i3) X: matrix(
[x],
[y],
[z]
);
(%o3) matrix([x],[y],[z])

(%i4) C: matrix(
[a],
[b]
);
(%o4) matrix([a],[b])
== Solución==

a)Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

Para que una matriz sea invertible su derteminante tiene que ser distinto
de 0.
A continuación calcularemos el producto AB.

(%i5) A.B;
(%o5) matrix([2*t+1,2*t+3],[1-t,1])
(%i6) determinant(%);
(%o6) -(1-t)*(2*t+3)+2*t+1
(%i7)ratsimp(%);
(%o7) 2*t^2+3*t-2

Para los valores de t que se anule el determinate de AB, la matriz no será
invertible.
(%i8) solve([2*t^2+3*t-2], [t]);
(%o8) [t=-2,t=1/2]

Luego si t es distinto de -2 o 1/2 la matriz es ivertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

(%i9) B.A;
(%o9) matrix([4,-1,t-3],[t,2*t,t^2],[2,-2,-2])
(%i10) determinant(%);
(%o10) 4*(2*t^2-4*t)-2*t^2-6*(t-3)*t-2*t
(%i11) ratsimp(%);
(%o11) 0

La matriz BA no es invertible pues el determinante se anula para todo valor de t.
c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?
(X,C dadas a continuación).

Para que el sistema sea compatible el rango de A debe ser 3, igual al número de
incógnitas, lo que es claramente imposible pues A es una matriz de 2x3 y por lo
tanto su rango no puede ser mayor que 2.

Ejercicios de selectividad

2010-05-06T13:30:56Z

Rosdomrui:

En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Ejercicio==
#[[Producto e invertibilidad de matrices]]

== Soluciones ==
# [[Sistemas de ecuaciones]].

Se consideran las matrices A y B (dadas a continuación), donde t es un número real.

a) Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.
b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.
c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?
(X,C dadas a continuación).
(%i1) A: matrix(
[1,2,t],
[1,-1,-1]
);
(%o1) matrix([1,2,t],[1,-1,-1])
(%i2) B: matrix(
[1,3],
[t,0],
[0,2]
);
(%o2) matrix([1,3],[t,0],[0,2])

(%i3) X: matrix(
[x],
[y],
[z]
);
(%o3) matrix([x],[y],[z])

(%i4) C: matrix(
[a],
[b]
);
(%o4) matrix([a],[b])

a)Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

Para que una matriz sea invertible su derteminante tiene que ser distinto
de 0.
A continuación calcularemos el producto AB.

(%i5) A.B;
(%o5) matrix([2*t+1,2*t+3],[1-t,1])
(%i6) determinant(%);
(%o6) -(1-t)*(2*t+3)+2*t+1
(%i7)ratsimp(%);
(%o7) 2*t^2+3*t-2

Para los valores de t que se anule el determinate de AB, la matriz no será
invertible.
(%i8) solve([2*t^2+3*t-2], [t]);
(%o8) [t=-2,t=1/2]

Luego si t es distinto de -2 o 1/2 la matriz es ivertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

(%i9) B.A;
(%o9) matrix([4,-1,t-3],[t,2*t,t^2],[2,-2,-2])
(%i10) determinant(%);
(%o10) 4*(2*t^2-4*t)-2*t^2-6*(t-3)*t-2*t
(%i11) ratsimp(%);
(%o11) 0
La matriz BA no es invertible pues el determinante se anula para todo valor de t.
c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?
(X,C dadas a continuación).

Para que el sistema sea compatible el rango de A debe ser 3, igual al número de
incógnitas, lo que es claramente imposible pues A es una matriz de 2x3 y por lo
tanto su rango no puede ser mayor que 2.

Sistemas de ecuaciones

2010-05-05T16:16:00Z

Rosdomrui: /* Enunciado */

== Enunciado ==

''Planteamiento y resolución de un sistema de ecuaciones''.

''Un cajero automático contiene 95 billetes de 1.000, 2.000, y 5.000 pesetas y un total de 200.000 pesetas. Si el número total de billetes de mil es el doble que el número de billetes de mil es el doble que el número de billetes de 2.000 averiguar cuántos billetes hay de cada tipo.''

== Solución ==
Las variables son:
* número de billetes de 1.000 pesetas=x
* número de billetes de 2.000 pesetas=y
* número de billetes de 5.000 pesetas=z
* número de billetes en total=95

Las ecuaciones son
* x+y+z=95
* 1000x+2000y+5000z=200000
* x=2y

La solución con Maxima es
(%i1) linsolve([x+y+z=95, 1000*x+2000*y+5000*z=200000, x=2*y], [x,y,z]);
(%o1) [x=50,y=25,z=20]

Sistemas de ecuaciones

2010-05-05T16:15:35Z

Rosdomrui:

== Enunciado ==

''Planteamiento y resolución de un sistema de ecuaciones''.

''Un cajero automático contiene 95 billetes de 1.000, 2.000, y 5.000 pesetas y un total
de 200.000 pesetas. Si el número total de billetes de mil es el doble que el número de
billetes de mil es el doble que el número de billetes de 2.000 averiguar cuántos billetes
hay de cada tipo.''

== Solución ==
Las variables son:
* número de billetes de 1.000 pesetas=x
* número de billetes de 2.000 pesetas=y
* número de billetes de 5.000 pesetas=z
* número de billetes en total=95

Las ecuaciones son
* x+y+z=95
* 1000x+2000y+5000z=200000
* x=2y

La solución con Maxima es
(%i1) linsolve([x+y+z=95, 1000*x+2000*y+5000*z=200000, x=2*y], [x,y,z]);
(%o1) [x=50,y=25,z=20]

Sistemas de ecuaciones

2010-05-05T16:14:25Z

Rosdomrui: Página creada con '== Enunciado == Planteamiento y resolución de un sistema de ecuaciones. Un cajero automático contiene 95 billetes de 1.000, 2.000, y 5.000 pesetas y un total de 200.000 peset…'

== Enunciado ==
Planteamiento y resolución de un sistema de ecuaciones.

Un cajero automático contiene 95 billetes de 1.000, 2.000, y 5.000 pesetas y un total
de 200.000 pesetas. Si el número total de billetes de mil es el doble que el número de
billetes de mil es el doble que el número de billetes de 2.000 averiguar cuántos billetes
hay de cada tipo.

== Solución ==
Las variables son:
* número de billetes de 1.000 pesetas=x
* número de billetes de 2.000 pesetas=y
* número de billetes de 5.000 pesetas=z
* número de billetes en total=95

Las ecuaciones son
* x+y+z=95
* 1000x+2000y+5000z=200000
* x=2y

La solución con Maxima es
(%i1) linsolve([x+y+z=95, 1000*x+2000*y+5000*z=200000, x=2*y], [x,y,z]);
(%o1) [x=50,y=25,z=20]

Ejercicios de selectividad

2010-05-05T16:11:02Z

Rosdomrui: